1、2012届天河区普通高中毕业班综合测试（三）理科数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分共4页满分150分考试时间120分钟注意事项：1选择题答案的序号填涂在答题卡指定的位置上，非选择题应在答题卡上对应的位置作答. 超出答题区域书写的答案无效 2作选考题时，按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑参考数据：锥体的体积公式锥体，其中是锥体的底面积，是锥体的高第I卷（选择题 共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设全集，集合，则等于A B C D2. 是虚数单位，若，则等于A1
2、BC D 3函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，则所得函数的解析式是A B C D 4已知数列为等差数列，且，为数列的前项和，则S13的值为A100 B99C 104D 1025实数满足若目标函数取得最大值4，则实数的值为A2 B3 C4 D6某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，若甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为A24 B36C48D607一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 A B C D8已知函数的图象关于点对称，且函数为奇函数，则下列结论：点的坐标为；当时，恒成立；关于的方程有且只
3、有两个实根。其中正确结论的题号为A B C D第II卷（非选择题 共110分）二、填空题：（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题 (913题)9已知向量、的夹角为，且，则_.10. 运行如右图所示的程序框图,则输出的值为_.11.直线与抛物线围成的图形的面积等于_.12.已知双曲线（）的离心率为2，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为_.13.以下三个命题：若，则；若，则；若，则，其中正确命题的序号是_.（二）选做题 (1415题，考生只能从中选做一题)14（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为；在极坐标系（以原点为极点，以轴正
4、半轴为极轴）中，曲线的方程为， 则与两交点的距离为_.15（几何证明选讲选做题）如右图，已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割线，圆心到的距离为，则切线的长为_.三、解答题（本大题共6小题，满分80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（本小题满分12分）已知函数，(I) 求函数的最小正周期及单调增区间；()在中，角A、B、C所对的边分别是、，又，的面积等于，求边长的值17（本小题满分l2分）如图,一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域.用力旋转转盘,转盘停止转动时,箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动),且箭头A指向每个区域的可能性都是相等
5、的.在一次家庭抽奖的活动中,要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘,得分情况记为(a,b)(假设儿童和成人的得分互不影响,且每个家庭只能参加一次活动).()求某个家庭得分为(5,3)的概率；()若游戏规定:一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和,且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品.求某个家庭获奖的概率；()若共有4个家庭参加家庭抽奖活动.在()的条件下,记获奖的家庭数为X,求X的分布列及数学期望.18（本小题满分l4分）如图，在矩形中，为的中点，将沿折起，使；再过点作，且()求证：；()求直线与所成角的正弦值；()求点到的距离19（本小题满分l4分）为了加强环保建设，提高
6、社会效益和经济效益，广州市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入辆()求经过年，该市被更换的公交车总数；()若该市计划7年内完成全部更换，求的最小值20(本小题满分l4分)设,在平面直角坐标系中,已知向量向量，,动点的轨迹为曲线E.（I）求曲线E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状； (II) 已知，直线与曲线E交于不同的两点M、N， 则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的实
7、数的值；若不存在，请说明理由.21(本小题满分l4分) 设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质. （I）设函数，（），其中为实数 求证：函数具有性质； 求函数的单调区间； (II)已知函数具有性质，给定， 设为实数，且， 若，求的取值范围。2012年广州市天河区普通高中毕业班综合测试(三)数 学(理科)参考答案一、选择题D C B CA B A C二、填空题9 1011 12131415 三、解答题16、解：（1）因为 2分故的最小正周期为 3分即 5分所以，函数的增区间为 6分（2） 8分 10分由余弦定理 Ks5u 12分17、 解
8、：()记事件A：某个家庭得分情况为（5，3）.所以某个家庭得分情况为（5，3）的概率为. Ks5u2分（）记事件B：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括（5，3），（5，5），（3，5）共3类情况. 所以所以某个家庭获奖的概率为. 4分()由（）可知，每个家庭获奖的概率都是5分 10分所以X分布列为：X01234P12分18、（1）证明：折叠前，矩形中，连接，中， 即， 1分 ，交线为， ， 3分而 4分（2） 由（1）知， 是直线与所成的角，6分在中， 8分故直线与所成角的正弦值为。 9分（3）设点到的距离为，且，四边形为平行四边形，从而，故点到的距离等于点到的距离， 11分，作，
9、交线为， ，则是D到面ABCE的距离，而 Ks5u12分由 13分 点到的距离为 14分19（本小题满分14分）解：（1）设分别为第年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，依题意，是首项为128，公比为的等比数列， 2分是首项为400，公差为的等差数列 3分的前项和， 5分的前项和 6分所以经过年，该市更换的公交车总数为 8分（2）若计划7年内完成全部更换，所以， 9分所以 11分即，所以. 13分又，所以的最小值为147. 14分20、解:（1）向量，,所以, 即. 21世纪教育网 2分当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时, 方程表示的是圆当时,方程表示椭圆; 当时,方程表示双曲线
10、. 6分(2).当时, 曲线E方程为椭圆,为椭圆的下焦点，直线过椭圆的上焦点，则的周长=4a=8 7分设的内切圆的径，因此最大，就最大，8分设M，N,不妨0, 0，所以对任意的都有，在上递增。 8分又。 9分当时，且， 11分 12分13分综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。14分（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，从而在区间上单调递增。 8分当时，有，得，同理可得，所以由的单调性知、，从而有|，符合题设。 10分当时，于是由及的单调性知，所以|，与题设不符。12分当时，同理可得，进而得|，与题设不符。因此综合、得所求的的取值范围是（0，1）。14分Ks5u
