1、湖北省武汉市2015届高三二月调考数学试卷（理科）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数的共轭复数是（）A1iB1+iC1+iD1i2（5分）已知集合A=y|y=log2x，x1，B=y|y=（）x，x1，则AB=（）Ay|0yBy|0y1Cy|y1D3（5分）若函数f（x）=在2，+）上有意义，则实数a的取值范围为（）Aa=1Ba1Ca1Da04（5分）若几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD5（5分）10件产品中有3件次品，不放回地抽取2次，在第1次抽出的是次品的前提下，则第2次抽出正品的概率是（）A
2、BCD6（5分）dx=（）A2（1）B+1C1D27（5分）已知m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若，则B若mn，m，n，则C若mn，ma，则nD若mn，m，n，则8（5分）已知点P是双曲线y2=1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则=（）ABCD9（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+a2=c2+ab，则内角C=（）ABCD或10（5分）已知点P为曲线xyx2y+3=0上任意一点，O为坐标原点，则|OP|的最小值为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分请将答
3、案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分（一）必考题（11-14题）11（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为12（5分）（1+x）（1x）10 展开式中x3的系数为13（5分）已知向量=（2，7），=（2，4），若存在实数，使得（），则实数为14（5分）已知实数x，y满足约束条件，若目标函数z=（a1）x+ay在点（1，0）处取得最大值，则实数a的取值范围为（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑如果全选，则按第15题作答结果计分）（选修4-1：几何证明选讲）1
4、5（5分）已知AB是O的弦，P是AB上一点，AB=6，PA=4，OP=3，则O的半径R=（选修4-4：坐标系与参数方程）16在极坐标系中，点P（2，）到直线l：sin（）=1的距离是三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知函数f（x）=2sinxcos（x）+asin（2x+）（a为常数）的图象经过点（，）（）求a的值及函数f（x）的最小正周期；（）解不等式f（x）018（12分）已知an是由正数组成的数列，其前n项和Sn与an之间满足：an+=（n1且nN*）（）求数列an的通项an；（）设bn=（）nan，求数列bn的前n项和Tn19（1
5、2分）在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为正三角形且边长为a，侧棱AA1=2a，点A在下底面的射影是A1B1C1的中心O（）求证：AA1B1C1；（）求二面角B1AA1C1所成角的余弦值20（12分）某工厂的一个车间有5台同一型号机器均在独立运行，一天中每台机器发生故障的概率为0.1，若每一天该车间获取利润y（万元）与“不发生故障”的机器台数n（nN，n5）之间满足关系式：y=（）求某一天中有两台机器发生故障的概率；（）求这个车间一天内可能获取利润的均值（精确到0.01）21（13分）如图，F1，F2是椭圆C：+=1的左右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于
6、x轴上方的两点，且满足=2（）求椭圆C的方程；（）求直线AF1的方程；（）求四边形ABF2F1的面积22（14分）已知e=2.71828是自然对数的底数（）求函数f（x）=ln（x+1）x+在0，+）上的最小值；（）求证ln2；（）求证ln2+ln3+ln4+ln（n+1）（n1，nN）湖北省武汉市2015届高三二月调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数的共轭复数是（）A1iB1+iC1+iD1i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、共轭复数的
7、定义即可得出解答：解：复数=1+i的共轭复数为1i，故选：D点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题2（5分）已知集合A=y|y=log2x，x1，B=y|y=（）x，x1，则AB=（）Ay|0yBy|0y1Cy|y1D考点：交集及其运算 专题：计算题分析：首先根据对数函数和指数函数的特点求出集合A和B，然后再求两个集合的交集即可解答：解：集合A=y|y=log2x，x1，A=（0，+）B=y|y=（）x，x1，B=（0，）AB=（0，）故选A点评：本题考查了交集运算以及函数的至于问题，要注意集合中的自变量的取值范围，确定各自的值域3（5分）若函数f（x）=在2，+）上有意义
8、，则实数a的取值范围为（）Aa=1Ba1Ca1Da0考点：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：根据函数成立的条件，解参数即可解答：解：函数f（x）=在2，+）上有意义，ax20在2，+）上恒成立，即a在2，+）恒成立，01，a1，故选：C点评：本题主要考查函数恒成立问题，根据函数的定义域是解决本题的关键4（5分）若几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆锥被轴截面截去一半所剩的几何体，结合数据求出该几何体的体积解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是圆锥被轴截面截
9、去一半所得的几何体，底面圆的半径为1，高为2，所以该几何体的体积为V几何体=122=故选：B点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体体积的应用问题，是基础题目5（5分）10件产品中有3件次品，不放回地抽取2次，在第1次抽出的是次品的前提下，则第2次抽出正品的概率是（）ABCD考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：概率与统计分析：根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案解答：解：根据题意，在第一次抽到次品后，还有有2件次品，7件正品；则第二次抽到正品的概率为P=故选：B点评：本题考查概率的计算，解题时注意题干“在第一次抽到次品条件下”
10、的限制6（5分）dx=（）A2（1）B+1C1D2考点：定积分 专题：导数的概念及应用分析：先根据二倍角公式，化简原函数，再根据定积分的计算法则计算即可解答：解：=cosxsinx，dx=（cosxsinx）dx=（sinx+cosx）|=+01=1故选：C点评：本题考查了定积分的计算和三角函数的化简，属于基础题7（5分）已知m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若，则B若mn，m，n，则C若mn，ma，则nD若mn，m，n，则考点：空间中直线与平面之间的位置关系 分析：用具体事物比如教室作为长方体，再根据面面平行的判定定理及线面平行的性质定理判断解答：解：A不正
11、确，比如教室的一角三个面相互垂直；B不正确，由面面平行的判定定理知m与n必须是相交直线；C不正确，由线面平行的性质定理知可能n；D正确，由mn，ma得n，因n，得故选D点评：本题考查了线面平行的性质定理和面面平行的判定定理，利用具体的事物可培养立体感8（5分）已知点P是双曲线y2=1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则=（）ABCD考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设P（m，n），则n2=1，即m24n2=4，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即
12、可得到解答：解：设P（m，n），则n2=1，即m24n2=4，由双曲线y2=1的渐近线方程为y=x，则由解得交点A（，）；由解得交点B（，）=（，），=（，），则有=+=+=（m24n2）=4=故选A点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题9（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+a2=c2+ab，则内角C=（）ABCD或考点：余弦定理 专题：解三角形分析：利用余弦定理表示出cosC，把已知等式变形后代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数解答：解：在ABC中，b2+a2
13、=c2+ab，即b2+a2c2=ab，cosC=，则C=，故选：B点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键10（5分）已知点P为曲线xyx2y+3=0上任意一点，O为坐标原点，则|OP|的最小值为（）ABCD考点：两点间的距离公式；函数的最值及其几何意义 专题：计算题；函数的性质及应用分析：根据两点间的距离公式，利用配方法进行转化即可得到结论解答：解：设P（x，y），则|OP|=，当且仅当，即取等号，故|OP|的最小值是，故选：A点评：本题主要考查两点间的距离的求解，利用配方法将式子进行配方是解决本题的关键二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，
14、每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分（一）必考题（11-14题）11（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为32考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a的值，当a=32时，满足条件a31，退出循环，输出a的值为32解答：解：模拟执行程序，可得a=1，b=2不满足条件a31，a=2不满足条件a31，a=4不满足条件a31，a=8不满足条件a31，a=16不满足条件a31，a=32满足条件a31，退出循环，输出a的值为32故答案为：32点评：本题主要考查了程序框图和
15、算法，正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查12（5分）（1+x）（1x）10 展开式中x3的系数为75考点：二项式系数的性质 专题：二项式定理分析：把（1x）10 按照二项式定理展开，可得（1+x）（1x）10 展开式中x3的系数解答：解：（1+x）（1x）10=（1+x）（1x+x2x3+x10），故（1+x）（1x）10 展开式中x3的系数为+=75，故答案为：75点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题13（5分）已知向量=（2，7），=（2，4），若存在实数，使得（），则实数为考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系
16、专题：平面向量及应用分析：由垂直关系可得（）=0，由坐标运算可得的方程，解方程可得解答：解：向量=（2，7），=（2，4），=（2+2，7+4），存在实数，使得（），（）=2（2+2）4（7+4）=0，解得=故答案为：点评：本题考查数量积与向量的垂直关系，属基础题14（5分）已知实数x，y满足约束条件，若目标函数z=（a1）x+ay在点（1，0）处取得最大值，则实数a的取值范围为（，考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）若a=0，则目标函数
17、为z=x，即x=z，此时满足目标函数z=（a1）x+ay在点（1，0）处取得最大值，若a0，则由z=（a1）x+ay得，y=x，若a0，此时目标函数的斜率k=0，平移目标函数可知此时当目标函数经过点A（1，0）时，直线截距最小，z最大，若a0，要使目标函数z=（a1）x+ay在点（1，0）处取得最大值，则满足目标函数的斜率k=1，即a，此时满足0a，综上a，故实数a的取值范围是（，故答案为：（，点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法根据目标函数z=（a1）x+ay在点（1，0）处取得最大值，确定直线的位置是解决本题的关键注意要进行分类讨论（二）选考题（请考生
18、在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑如果全选，则按第15题作答结果计分）（选修4-1：几何证明选讲）15（5分）已知AB是O的弦，P是AB上一点，AB=6，PA=4，OP=3，则O的半径R=5考点：与圆有关的比例线段 专题：立体几何分析：过点O作OCAB，交AB于点C，连结OA，由垂径定理和勾股定理求出OCAB，PC=PAAC=，OC=，由此能求出O的半径R解答：解：过点O作OCAB，交AB于点C，连结OA，AB是O的弦，P是AB上一点，AB=6，PA=4，OP=3，OCAB，PC=PAAC=4=，OC=，R=OA=5故答案为：5点评：
19、本题考查圆的半径的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意垂径定理和勾股定理的合理运用（选修4-4：坐标系与参数方程）16在极坐标系中，点P（2，）到直线l：sin（）=1的距离是3考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：由极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出解答：解：点P（2，）化为P，即P直线l：sin（）=1化为：=1，xy+2=0点P（2，）到直线l：sin（）=1的距离=3故答案为：3点评：本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离公式，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知函数f（x）=
20、2sinxcos（x）+asin（2x+）（a为常数）的图象经过点（，）（）求a的值及函数f（x）的最小正周期；（）解不等式f（x）0考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）由已知可得2sincos（）+asin=，从而解得a=1，由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin2x+，由周期公式即可求最小正周期T（2）由f（x）0，知：sin2x，由正弦函数的图象解得2k2x2k+（kZ），即可得f（x）0的解集解答：解：（1）函数f（x）=2sinxcos（x）+asin（2x+）（a为常数）的图象经过点（，），则有：2sincos
21、（）+asin=，故解得：a=1，f（x）=2sinxcos（x）+sin（2x+），=2sinx（cosxcos+sinxsin）+sin2xcos+cos2xsin，=2sin2xcos+（2sin2x+cos2x）sin，=sin2x+sin，=sin2x+，最小正周期T=6分（2）由f（x）0，知：sin2x，2k2x2k+（kZ），f（x）0的解集为：k，k+（kZ）12分点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查18（12分）已知an是由正数组成的数列，其前n项和Sn与an之间满足：an+=（n1且nN*）（）求数列an的通项an；（）设
22、bn=（）nan，求数列bn的前n项和Tn考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（I）由an+=（n1且nN*），两边平方化为当n2时，an=SnSn1可得anan1=1，利用等差数列的通项公式即可得出（II）bn=an=，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出解答：解：（I）an+=（n1且nN*），两边平方化为，a10，解得a1=1当n2时，an=SnSn1=，化为（an+an1）（anan11）=0，an+an10，anan1=1，数列an为等差数列，an=1+（n1）1=n（II）bn=an=，数列bn的前n项和Tn=+，=+，=+，Tn=1+=点评：
23、本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为正三角形且边长为a，侧棱AA1=2a，点A在下底面的射影是A1B1C1的中心O（）求证：AA1B1C1；（）求二面角B1AA1C1所成角的余弦值考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）由已知得B1C1A1O，AOB1C1，由此能证明B1C1面A1AO，从而得到B1C1AA1（）过B1作B1DAA1，交AA1于D，连结DC1，由已知得B1DC1是二面角B1AA1
24、C1的平面角，由此能求出二面角B1AA1C1所成角的余弦值解答：（）证明：A在底面A1B1C1上射影是下底面正A1B1C1的中心O，B1C1A1O，又AO平面A1B1C1，AOB1C1，B1C1和两相交直线AO，A1O均垂直，B1C1面A1AO，又AA1面A1AO，B1C1AA1（）解：过B1作B1DAA1，交AA1于D，连结DC1，AA1B1C1，AA1DB1，AA1面DB1C1，AA1DC1，B1DC1是二面角B1AA1C1的平面角，又A在底面A1B1C1上的投影是A1B1C1的中心，AA1=AB1=2a，在AA1B1中，由AA1=AB1=2a，由面积法知：=，同理DC1=，在C1DB1中
25、，由余弦定理得cosB1DC1=，二面角B1AA1C1所成角的余弦值为点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养20（12分）某工厂的一个车间有5台同一型号机器均在独立运行，一天中每台机器发生故障的概率为0.1，若每一天该车间获取利润y（万元）与“不发生故障”的机器台数n（nN，n5）之间满足关系式：y=（）求某一天中有两台机器发生故障的概率；（）求这个车间一天内可能获取利润的均值（精确到0.01）考点：函数模型的选择与应用 专题：应用题；函数的性质及应用分析：（）利用相互独立事件的概率公式，求某一天中有两台机器发生故障的概率；（）利用
26、每一天该车间获取利润y（万元）与“不发生故障”的机器台数n（nN，n5）之间满足关系式：y=，结合相互独立事件的概率公式，求这个车间一天内可能获取利润的均值解答：解：（）一天中每台机器发生故障的概率为0.1，某一天中有两台机器发生故障的概率为=0.0729；（）每一天该车间获取利润y（万元）与“不发生故障”的机器台数n（nN，n5）之间满足关系式：y=又P0=0.95，P1=0.50.94，这个车间一天内可能获取利润的均值P012+P19+P26+（P3+P4+P5）（6）=P012+P19+P26+（1P0P1P2）（6）=18P0+15P1+12P2610.42万元点评：本题考查函数模型的
27、选择与应用，考查相互独立事件的概率公式，正确运用相互独立事件的概率公式，是关键21（13分）如图，F1，F2是椭圆C：+=1的左右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足=2（）求椭圆C的方程；（）求直线AF1的方程；（）求四边形ABF2F1的面积考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：对于（），由焦距得c的值，由长轴长得a2的值，结合b2=a2c2，即可得椭圆C的方程对于（），延长AB，与x轴交于点M，由BF2为MAF1的中位线，得M的坐标，由此设直线AB的方程，联立椭圆+=1，消去x，得到关于y的
28、一元二次方程，由韦达定理，得y1+y2及y1y2，又由=2，得y1与y2的关系式，于是得y1，y2，m的值，继而求得x1的值，可得AF1的斜率，即可得直线AF1的方程对于（），易知四边形ABF2F1为梯形由（）得x2的值，从而得到|AF1|及|BF2|，再计算点M到直线AF1的距离，即可根据梯形的面积公式计算出梯形ABF2F1的面积解答：解：（）设F1（c，0），F2（c，0），由题意，得，即，从而b2=a2c2=5，所以椭圆C的方程为（）由（）知，F1（2，0），F2（2，0）设A（x1，y1），B（x2，y2），延长AB，与x轴交于点M，由=2知，BF2为MAF1的中位线，|MF2|=|F
29、1F2|，得M（6，0），如右图所示设直线AB的方程为x=my+6，联立，消去x，整理，得（9+5m2）y2+60my+135=0，由韦达定理，得又由=2，得（2x1，y1）=2（2x2，y2），y1=2y2联立、，得，从而，于是AF1的斜率，直线AF1的方程为（）易知四边形ABF2F1为梯形由（）知，从而|AF1|=，|BF2|=又点F2（2，0）到直线AF1：的距离，点评：1本题综合性较强，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的相交关系及四边形面积的求法等，充分挖掘图形的几何特征是求解本题的突破口2对于相交弦问题，常利用根与系数的关系（即韦达定理）探究坐标之间的关系；对于向量共线问题，常共
30、线的充要条件转化为坐标之间的关系3对于四边形面积的求解，一般先判断四边形的形状，再确定求解方式，或将四边形转化为两个三角形处理22（14分）已知e=2.71828是自然对数的底数（）求函数f（x）=ln（x+1）x+在0，+）上的最小值；（）求证ln2；（）求证ln2+ln3+ln4+ln（n+1）（n1，nN）考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（）由已知可得f（x）=1+x，当x0，+）时f（x）0，得函数f（x）在0，+）上单调性，即可得到函数的最小值；（）可用分析法证明ln2；（）亦可用分析法证明ln2+ln3+ln4+ln（n+1）
31、（n1，nN）解答：解：（）由于函数f（x）=ln（x+1）x+，则f（x）=1+x=，故当x0，+）时f（x）0，则函数f（x）在0，+）上是增函数，故函数f（x）=ln（x+1）x+在0，+）上的最小值为0；（）证明：要证ln2，只需证ln4，只需证ln，而由（）知ln（x+1）x（x0）所以ln1+（1）（1）只需证（1），即需证明4（e1）0.9e2而e=2.71828是自然对数的底数，故4（e1）0.9e2恒成立，从而ln2得证；（）要证ln2+ln3+ln4+ln（n+1）（n1，nN）成立，只需证ln（n+1）（）（n1，nN）恒成立，只需证2xln（x+1）+x（x1）恒成立，令g（x）=2xln（x+1）+x（x1），则g（x）=2ln（x+1）+2x=2ln（x+1）+（x1），故g（x）在1，+）上是增函数所以g（x）g（1）=2ln21+1+=0，故g（x）在1，+）上是增函数，故g（x）g（1）=2ln2+=0，从而2xln（x+1）+x（x1）恒成立，即ln2+ln3+ln4+ln（n+1）（n1，nN）成立点评：本题考查函数在闭区间上的最值的求法，解题时要注意导数性质的合理运用以及不等式证明中的分析法的应用