1、21 椭 圆2.1.1 椭圆及其标准方程内 容 标 准学 科 素 养1.了解椭圆标准方程的推导2.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程.利用直观想象发展逻辑推理提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 椭圆的定义预习教材P32，思考并完成以下问题在现实生活中，我们经常看到香皂盒、浴盆、体育场的跑道，油罐车的横切面，橄榄球等，这些物品都给我们以椭圆形的印象，那么如何设计出这些椭圆形的物品呢？(1)取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹
2、是一个什么图形？提示：圆(2)如果把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2 处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？提示：椭圆(3)在问题(2)中，移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？提示：把细绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离和等于常数 知识梳理 把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于的点的轨迹叫做椭圆，这叫做椭圆的焦点，叫做椭圆的焦距几点说明：(1)F1，F2 是两个不同的定点(2)M 是椭圆上任意一点，且|MF1|MF2|常数(3)通常这个常数记为 2a，焦距记为 2c 且 2a2c.(4)如果 2a2
3、c，则 M 的轨迹是线段 F1F2.(5)如果 2ab0)焦点(c,0)与(c,0)与a，b，c的关系c2x2a2y2b21(ab0)(0，c)(0，c)a2b2自我检测1下列说法中，正确的是()A到点 M(3,0)，N(3,0)的距离之和等于 4 的点的轨迹是椭圆B到点 M(0，3)，N(0,3)的距离之和等于 6 的点的轨迹是椭圆C到点 M(3,0)，N(3,0)的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆D到点 M(0，3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆答案：C2若椭圆方程为x210y261，则其焦点在_轴上，焦点坐标为_答案：x(2,0)，(2,0)探究一 求椭圆的标准方程阅读教材
4、P34例 1已知椭圆的两个焦点坐标分别是(2,0)，(2,0)，并且经过点52，32，求它的标准方程题型：待定系数法求椭圆的标准方程方法步骤：根据条件设出所求椭圆的标准方程根据已知条件建立 a，b，c 的方程(组)解出 a，b 的值即可得出椭圆的标准方程例 1 根据下列条件，求椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)解析(1)法一：因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为x2a2y2b21(ab0)因为 2a 542 54210，所以 a5.又 c4，所以 b2a2c225169
5、，故所求椭圆的标准方程为x225y291.法二：设所求椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)因为椭圆过点(5,0)，所以25a21，即 a225.又因为 c4 及 b2a2c225169，故所求椭圆的标准方程为x225y291.(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0)又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以 4a2 0b21，0a2 1b21，解得a24，b21.故所求椭圆的标准方程为y24x21.方法技巧 1.利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤：(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求 a，b，c 的等量关系；(4)求 a，b 的值，
6、代入所设方程2当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为 mx2ny21(mn，m0，n0)因为它包括焦点在 x 轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算跟踪探究 1.根据下列条件，求椭圆的标准方程(1)经过两点 A(0,2)，B12，3；(2)经过点(2，3)且与椭圆 9x24y236 有共同的焦点解析：(1)设所求椭圆的方程为x2my2n1(m0，n0，且 mn)椭圆过点 A(0,2)，B12，3，0m4n1，14m3n1，解得m1，n4.即所求椭圆的方程为 x2y241.(2)椭圆 9x24y236 的焦点为(0，5)，(0，5)，可设所求椭圆方程为x2m y2m51(m0)又
7、椭圆经过点(2，3)，则有4m9m51，解得 m10 或 m2(舍去)，即所求椭圆的标准方程为x210y2151.探究二 椭圆的定义及其应用教材 P36练习 3 题已知经过椭圆x225y2161 的右焦点 F2 作垂直于 x 轴的直线 AB，交椭圆于 A，B 两点，F1 是椭圆的左焦点(1)求AF1B 的周长；(2)如果 AB 不垂直于 x 轴，AF1B 的周长有变化吗？为什么？解析：由已知得 a5，b4，所以 c a2b23.(1)AF1B 的周长为|AF1|BF1|AB|AF1|AF2|BF1|BF2|，由椭圆的定义得|AF1|BF1|AB|4a，所以AF1B 的周长为 4a20.(2)当
8、 AB 不垂直于 x 轴时，AF1B 的周长不会变化这是因为两式仍然成立，AF1B 的周长为 20，这是定值例 2 设 P 是椭圆x225y27541 上一点，F1，F2 是椭圆的焦点，若F1PF260，求F1PF2 的面积解析 由题意知 a5，b5 32，c a2b252.设|PF1|m，|PF2|n，P 是椭圆x225y27541 上一点，F1，F2 是椭圆的两焦点，mn10.在F1PF2 中，由余弦定理得 m2n22mncos 604c2，即 m2n2mn25，由得 mn25，SPF1F212mnsin 6025 34.方法技巧 1.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|
9、MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则点 M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2a.(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解2椭圆中的焦点三角形椭圆上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1，F2 构成的PF1F2，称为焦点三角形解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解跟踪探究 2.椭圆方程为x24 y231，F1，F2 为椭圆的焦点，P 是椭圆上一点若 SF1PF2 3，求F1PF2 的大小，思考F
10、1PF2 可以等于 90吗？解析：由已知得 a2，b 3，c1设|PF1|m，|PF2|n，F1PF2，则mn4，m2n22mncos 4，12mnsin 3，2得 mn(1cos)6，得1cos sin 2 63，即2cos22sin 2cos 22 3，即cos 2sin 2 3，tan 2 33，230，60，即F1PF260.cos m2n24c22mnmn22mn42mn 6mn16mn22112，03，即 不可能等于 90.探究三 与椭圆有关的轨迹问题阅读教材 P3435例 2、例 3(1)如图，在圆 x2y24 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足当点
11、P 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么？为什么？题型：代入法求轨迹方程方法步骤：设出 M 的坐标(x，y)确定点 M 的几何性质(M 是线段 PD 的中点)由 M 的性质得出 P 点的坐标(x,2y)代入已知圆 x2y24 即得 M 的轨迹方程，从而得到 M 的轨迹是椭圆(2)如图，设点 A，B 的坐标分别为(5,0)，(5,0)直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是49，求点 M 的轨迹方程题型：直接法求动点的轨迹方程方法步骤：设点 M 的坐标(x，y)确定点的几何性质 kAMkBM49.将 M 的几何性质坐标化得出动点 M 的轨迹方程例 3 如图，在圆 C：(x
12、1)2y225 内有一点 A(1,0)，Q 为圆 C 上一点，AQ 的垂直平分线与 C，Q 的连线交于点 M，求点 M 的轨迹方程解析 由题意知点 M 在线段 CQ 上，从而有|CQ|MQ|MC|.又点 M 在 AQ 的垂直平分线上，则|MA|MQ|，|MA|MC|CQ|5.A(1,0)，C(1,0)，点 M 的轨迹是以 A，C 为焦点的椭圆，且 2a5，c1，a52，b2a2c2254 1214，故椭圆的方程为x2254y22141.方法技巧 1.求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例所用方法为定义法2对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线
13、的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法3代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点 P(x，y)与另一个已知曲线 C：F(x，y)0 上的动点 Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点 Q 的坐标用点 P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线 C 的方程F(x，y)0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)跟踪探究 3.点 M 与定点 F(2,0)的距离和它到定直线 x8 的距离的比是 12，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形解析：设点 M 的坐标为(x
14、，y)，d 是点 M 到直线 x8 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合 PM|MF|d 12，由此得 x22y2|8x|12.两边平方，并化简得 3x24y248，即x216y2121.所以，点 M 的轨迹是长轴、短轴分别为 8,4 3的椭圆.课后小结(1)求椭圆的标准方程常用待定系数法首先，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，可用两种方法来解决问题(2)求轨迹方程的常用方法：直接法当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件转换成 x，y 间的关系式，从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法定义法若动点运动的几何条件满足某种已知曲线
15、的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法相关点法(代入法)有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法素养培优1忽视椭圆定义中的条件致误到两定点 F1(2,0)和 F2(2,0)的距离之和为 4 的点的轨迹是()A椭圆 B线段C圆D以上都不对易错分析 到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆的前提条件是定值大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆考查直观想象及逻辑推理自我纠正 到两定点 F1(2,0)和 F2(2,0)的距离之和为 4 的点的轨迹是线段|F1F2|4，故选 B.答案：B2忽视椭圆标准方程的条件致误“2m0，8m0，m28m，所以 2m8 且 m5.因此应为必要不充分条件，故选 B.答案：B04 课时 跟踪训练