1、江苏省泰州中学2020-2021学年上学期期初检测高二数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一焦点的距离为（ ）A2 B3 C5D72过点P(2,4)作圆(x1)2(y1)21的切线，则切线方程为()A3x4y40 B4x3y40Cx2或4x3y40 Dy4或3x4y403设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积是（ ）A1 B C2D4已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（ ）ABC或 D或5已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，
2、则的最小值为（ ）A B C D 6若双曲线 的渐近线与圆无交点，则的离心率的取值范围为（ ）A B C D7在中，角所对应的边分别为，已知，则( )A B2 C D18如图，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，动直线l交椭圆C于两点，且始终满足，作交MN于点H，则的取值范围是( )ABC D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分9如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，截面与直线平行，与交于点E，则下列判断正确的是（ ）AE为的中点 B平面 C与所成的角为 D三棱锥与四棱锥的体积之比等于.10三角形有
3、一个角是，这个角的两边长分别为8和5，则（ ）A三角形另一边长为7B三角形的周长为20C三角形内切圆周长为 D三角形外接圆面积为11在平面直角坐标系中，动点到两个定点和的距离之积等于8，记点的轨迹为曲线，则（ ）A曲线经过坐标原点B曲线关于轴对称C曲线关于轴对称 D若点在曲线上，则12已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆相交于点、，则（ ）A当时，的面积为B不存在使为直角三角形C存在使四边形面积最大 D存在，使的周长最大三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13在中，若三边的比是，则此三角形的最大角为_14椭圆的左、右焦点分别为，直线经过交椭圆于，两点，则的周长为_15已知直线与椭
4、圆交于、两点，若，则的取值范围是_16已知抛物线的准线方程为，在抛物线上存在两点关于直线对称，且为坐标原点，则的值为_四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，_?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18（12分）如图，在四面体ABCD中，ABC是等边三角形，平面ABC平面ABD，点M为棱AB的中点，AB2，AD2，BAD90.(1)求证：ADBC；(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(
5、3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值19.（12分）已知抛物线上的焦点为.（1）求抛物线的标准方程；（2）过作斜率为的直线交曲线于、两点，若，求直线的方程.20（12分）在平面直角坐标系中，已知双曲线C的焦点为、，实轴长为.（1）求双曲线C的标准方程；（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，求直线l的方程.21.（12分）已知椭圆：的上顶点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为.（1）求椭圆的离心率；（2）若直线与椭圆相交于、两点，若的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程.22（12分）设动圆经过点，且与圆为圆心）相内切（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设经过的直线与
6、轨迹交于、两点，且满足的点也在轨迹上，求四边形的面积江苏省泰州中学期初检测高二数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一焦点的距离为（ ）A2B3C5D7【答案】B2过点P(2,4)作圆(x1)2(y1)21的切线，则切线方程为()A3x4y40 B4x3y40Cx2或4x3y40 Dy4或3x4y40【答案】C3设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积是（ ）A1BC2D【答案】A【解析】由双曲线定义得则的面积是故选A4已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是
7、（ ）ABC或 D或【答案】C【详解】当焦点在x轴上时，根据，可得焦点坐标为得 ，则抛物线的标准方程为，当焦点在y轴上时，根据，可得焦点坐标为，则抛物线的标准方程为.故选：C5已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为( )A B C D 【答案】A【解析】试题分析：将化为，则抛物线与双曲线的公共焦点为，则，即双曲线的标准方程为，设，则在单调递增，则当时，最小值Error! No bookmark name given.；故选A6若双曲线 的渐近线与圆无交点，则的离心率的取值范围为（ ）ABCD【答案】C双曲线渐近线为bxay0与圆（x3）2+y21无交点，
8、圆心到渐近线的距离大于半径，即8b2a2，8（c2-a2）a2，即8 e故答案为：C7在中，角所对应的边分别为，已知，则( )A B2 C D1【答案】B【详解】由正弦定理：，又得到，即在中， 故，即故故选：B8如图，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，动直线l交椭圆C于两点，且始终满足，作交MN于点H，则的取值范围是( )ABC D【答案】C【详解】设直线，与椭圆方程联立得，得，因为 ，代入整理得，原点到直线的距离 所以点H在圆上运动，记线段AB的中点为D，直线与圆相切，则，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的
9、得0分，部分选对的得3分。9如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，截面与直线平行，与交于点E，则下列判断正确的是（ ）AE为的中点 B平面C与所成的角为D三棱锥与四棱锥的体积之比等于.【答案】ABD【详解】连接交于点连接，如图因为四边形是正方形，所以为的中点又/平面，平面，且平面平面所以/，所以为的中点，故A正确由底面，底面，所以，又，平面所以平面，故B正确与所成的角即与所成的角，即故C错，又，所以，故D正确故选：ABD10三角形有一个角是，这个角的两边长分别为8和5，则（ ）A三角形另一边长为7B三角形的周长为20C三角形内切圆周长为 D三角形外接圆面积为【答案】ABD【详解】可得另一边长为
10、，三角形的周长为20，则A正确，B正确；设内切圆半径为，则，则，则内切圆周长为，则C不正确；设外接圆半径为，则，,其面积为，则D正确11在平面直角坐标系中，动点到两个定点和的距离之积等于8，记点的轨迹为曲线，则（ ）A曲线经过坐标原点B曲线关于轴对称C曲线关于轴对称 D若点在曲线上，则【答案】BCD【详解】设，由已知，即，平方得，不满足方程，故选项A错误；用换，方程不变，所以曲线关于轴对称，故B正确；同理用换，方程不变，所以曲线关于轴对称，故C正确；令，得，即，所以，故，D正确.故选：BCD.12已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆相交于点、，则（ ）A当时，的面积为B不存在使为直角三角形
11、C存在使四边形面积最大 D存在，使的周长最大【答案】AC【详解】如图：对于A选项，经计算显然正确；对于B选项，时，可以得出，当时，根据对称性，存在使为直角三角形，故B错误；对于C选项，根据椭圆对称性可知，当时，四边形面积最大，故C正确；对于D选项，由椭圆的定义得：的周长；，当过点时取等号；即直线过椭圆的右焦点时，的周长最大；此时直线；但，所以不存在，使的周长最大.故D错误.故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在中，若三边的比是，则此三角形的最大角为_.【答案】， 14椭圆的左、右焦点分别为，直线经过交椭圆于，两点，则的周长为_.【答案】20【详解】由椭圆的焦点在轴上，
12、的周长为.故答案为：2015已知直线与椭圆交于、两点，若，则的取值范围是_【答案】【详解】直线过原点，结合椭圆图形的对称性可知、两点关于原点对称，方法一：设、，则，即，方法二：利用参数方程，设、，则【点睛】该题考查的是有关一个点与椭圆上两个关于原点对称的点所构成的向量的数量积的取值范围的问题，在解题的过程中，注意两点关于原点对称这个条件非常关键，也可以应用参数方程来设点的坐标.16已知抛物线的准线方程为，在抛物线上存在两点关于直线对称，且为坐标原点，则的值为_.【答案】【详解】拋物线的准线方程为，可知抛物线的方程为：设点，的中点为，则两式相减可得，所以，解得，可得，则，可得.故答案为：四、解答
13、题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，_?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分17解：方案一：选条件由和余弦定理得由及正弦定理得于是，由此可得由，解得因此，选条件时问题中的三角形存在，此时方案二：选条件由和余弦定理得由及正弦定理得于是，由此可得，由，所以因此，选条件时问题中的三角形存在，此时方案三：选条件由和余弦定理得由及正弦定理得于是，由此可得由，与矛盾因此，选条件时问题中的三角形不存在18（1
14、2分）如图，在四面体ABCD中，ABC是等边三角形，平面ABC平面ABD，点M为棱AB的中点，AB2，AD2，BAD90.(1)求证：ADBC；(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值解：(1)证明：因为平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，ADAB，AD平面ABD，所以AD平面ABC.因为BC平面ABC，所以ADBC.(2)取棱AC的中点N，连接MN，ND.又因为M为棱AB的中点，所以MNBC.所以DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角在RtDAM中，AD2，AM1，所以DM.因为AD平面ABC，所以ADAC.在RtDAN中，AN
15、1，所以DN.在等腰三角形DMN中，MN1，可得cosDMN.所以异面直线BC与MD所成角的余弦值为.(3)连接CM.因为ABC为等边三角形，M为边AB的中点，所以CMAB，CM.因为平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，CM平面ABC，所以CM平面ABD，所以CDM为直线CD与平面ABD所成的角在RtCAD中，CD4.在RtCMD中，sinCDM.所以直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.19.（12分）已知抛物线上的焦点为.（1）求抛物线的标准方程；（2）过作斜率为的直线交曲线于、两点，若，求直线的方程.【解析】（）即曲线的方程为：；（）设过的斜率为的直线方程为：， 联立 . 令
16、、，所以，由题可知：，即：, 即得， 由，得： ，所求直线的方程为：.20（12分）在平面直角坐标系中，已知双曲线C的焦点为、，实轴长为.（1）求双曲线C的标准方程；（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，求直线l的方程.【答案】（1）（2）.【解析】（1）双曲线的标准方程为C：.（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，当直线斜率不存在时，直线方程为，则由双曲线对称性可知线段的中点在轴上，所以不满足题意；当斜率存在时，设直线方程为，设，则，化简可得，因为有两个交点，所以 化简可得恒成立，所以，因为恰好为线段的中点，则，化简可得，所以直线方程为，即
17、.21.（12分）已知椭圆：的上顶点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为.（1）求椭圆的离心率；（2）若直线与椭圆相交于、两点，若的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程.【解析】（1）由题，椭圆上顶点的坐标为，左右顶点的坐标分别为、，即，则，又，所以椭圆的离心率；（2）设，由得：， ，又原点到直线的距离，解得，满足，椭圆的方程为.22（12分）设动圆经过点，且与圆为圆心）相内切（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设经过的直线与轨迹交于、两点，且满足的点也在轨迹上，求四边形的面积【详解】（）由已知可得,圆的圆心，半径为，由圆与圆相内切，得，由椭圆定义可知，动圆圆心的轨迹是以，为焦点且长轴长为的椭圆，其方程为（）设直线的方程为，一定存在），代入，并整理得，所以判别式恒成立，设，由韦达定理可得,设，,则 由，得，即，即，又点在轨迹上，故，即，解得，（舍负），因为,所以四边形为平行四边形,所以平行四边形的面积为,即,因为，所以四边形的面积为【点睛】本题考查椭圆的定义及其几何性质、直线与椭圆的位置关系；重点考查学生的运算求解能力；方程思想和韦达定理的应用与向量的坐标运算相结合是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.