1、一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（ ） A B C D【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，故选C.考点：集合的运算. 2.已知为虚数单位，则复数在复平面所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A考点：复数的运算.3.已知函数关于直线对称，且周期为2，当时，则 （ ） A0 B C D1【答案】B【解析】试题分析：由题意可得，故选B.Com考点：函数的周期性与对称性.4.已知，则“”是“”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必
2、要条件【答案】C【解析】试题分析：由，得；由，得，则“”是“”的充要条件，故选C.考点：充要条件的判断.5.已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A若，则 B若，则 C若，则 D若，则【答案】B考点：空间中直线与平面的平行与垂直关系.6.圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A B C D【答案】A【解析】试题分析：因为圆心关于直线的对称点为，所以圆关于直线对称的圆的方程为，故选A.考点：圆的标准方程.7.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的
3、人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（ ） A10 B9 C8 D7【答案】A考点：分层抽样. 8.依次连接正六边形各边的中点，得到一个小正六边形，再依次连接这个小正六边形各边的中点，得到一个更小的正六边形，往原正六边形内随机撒一粒种子，则种子落在最小的正六边形内的概率为（ ） A B C D【答案】B【解析】试题分析：如图，原正六边形为，最小的正六边形为.设，由已知得，则，则，即中间的正六边形的边长等于；以此类推，最小的正六边形的边长等于，所以由几何概型得，种子落在最小的正六边形内的概率为，故选B.考点：几何概型. 9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是
4、（ ） A B C D【答案】【解析】试题分析：根据几何体的三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥.则，则，在中，由余弦定理得：，则，所以，所以三棱锥中，面积最大的面是，其面积为.考点：简单几何体的三视图.10.设均为正数，且，则的最小值为（ ） A16 B15 C10 D9【答案】D考点：基本不等式. 【方法点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于中档题.本题解答的关键是根据条件中整理得到，根据基本不等式，把上述关系转化为关于的一元二次不等式，通过解不等式得到的范围，再利用不等式的性质变形得到的范围，得其最小值.11.一弹性小球从100高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下，设它
5、第次着地时，共经过了，则当时，有（ ） A的最小值为100 B的最大值为400 C D【答案】C考点：等比数列的前项和公式的应用.【方法点睛】本题主要考查了等比数列的前项和公式的应用，属于中档题.本题解答的关键是通过列举出小球第一次、第二次和第三次落地时经过路程的表达式，归纳出小球经过的路程实质上是一个等比数列的前项和，这种方法通常称为列举归纳法，也是解决数列应用问题的基本解题方法，最后通过等比数列的前项和公式所对应的函数单调性求得其最小值.12.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则双曲线的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为（ ） A B C D【答案】A【解析】考点：椭圆与双曲线的标准方程
6、及双曲线的简单几何性质.【方法点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程及双曲线的简单几何性质,属于中档题.解答本题时，因为题中的量较多，要把握好它们间的关系是解题的关键.解答时，首先通过讨论焦点的位置，确定的范围，在根据它们有相同的焦点即焦距相等，得到的关系，最后由双曲线的渐近线方程和不等式的性质得到其斜率的范围，从而得到其倾斜角的取值范围.第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13.的展开式的项的系数是 .【答案】【解析】试题分析：的展开式的项的系数是.考点：二项式定理.14.下图是一个算法的流程图，则最后输出的值为 .【答案】考点：程序框图中的循环结构
7、. 15.已知等差数列的前项和为，定义为数列的前项奇数项之和，则 .【答案】【解析】试题分析：由已知得，解得，所以.所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以.考点：等差数列的通项公式与前项和公式.【方法点睛】本题以新定义的形式考查了等差数列的通项公式与前项和公式，属于中档题.本题中给出了“定义为数列的前项奇数项之和”，所以实际上就是求数列中奇数项的和，根据等差数列的性质可知奇数项构成，公差为的等差数列，利用等差数列的前项和公式即可求得结果.16.在中，角所对的边分别为，已知向量与 垂直，且，则面积的最大值为 .【答案】考点：正弦定理和余弦定理. 【方法点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解
8、三角形中的应用属于中档题.本题解答时应先根据正弦定理把条件转化为三边的关系，再根据余弦定理求得，进而得到的值，在根据余弦定理表示出，根据重要不等式得到的最大值，由面积公式即得其最大值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分） 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的值域.【答案】（1）；（2）.考点：三角恒等变换与正弦函数的性质. 18.（本小题满分12分） 某大学外语系有5名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务，每名大学生都随机分配到奥体中心体操和 游泳两个比赛项目的场馆（每名大学生只参加一个项目的服务）. （
9、1）求5名大学生中恰有2名被分配到体操项目的概率； （2）设分别表示5名大学生分配到体操、游泳项目的人数，记，求随机变量的分布列 和数学期望.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）把名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目的场馆共有种不同的分配方法，其中恰有名被分配到体操项目的分法有种，作比即可求得所求的概率；（2）分析题意可知的所有可能取值是，分别根据取每个值所对应的的值及其意义求得概率，得到随机变量的分布列和数学期望.试题解析：（1）设5名学生中恰有名被分到体操项目的事件为（），则随机变量的分布列为故随机变量的数学期望.考点：组合与古典概型及离散型随机变量的分布列. 1
10、9.（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱中，是的中点. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.（2）建立如图所示空间的直角坐标系.考点：空间中直线与平面平行的证明及空间向量在求空间角中的应用. 20.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点.（1）若直线过焦点，且与抛物线交于两点，若是的一个靠近点的三等分点，且点的横坐标为1，弦长时，求抛物线的方程；（2）在（1）的条件下，若是抛物线上位于曲线（为坐标原点，不含端点）上的一点，求的最大面积.【答案】(1) ；(2) .当取点时，点，此时直线的方程为.数形结合易知，
11、当与直线平行的直线与抛物线相切于第一象限的点时，的面积取得最大值.由，得，取导数，令，得.将代入抛物线中，得.所以当点的坐标为时，的面积取得最大值，此时点到直线考点：抛物线的定义、方程及直线与抛物线的位置关系. 【方法点睛】本题主要考查了抛物线的定义、方程及直线与抛物线的位置关系，考查了考生数形结合的思想和运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据抛物线的定义及弦的长求得抛物线方程，进而得到两点的坐标，通过讨论分别求出取不同的点时，的最大面积，其中求面积的最大值时，通过运动与变化的观点及导数的几何意义求得是面积最大的点的坐标，这是本题的难点.21.（本小题满分12分）设函数.（1）当时，求曲线
12、在点处的切线方程；（2）若对任意，恒成立，求实数的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）当时，求得，根据导数的几何意义求得切线斜率，由直线的点斜式方程即可求得切线方程；（2）若对任意，恒成立，分离参数可得在上恒成立，设，利用导数研究其单调性，求得，即得实数的取值范围.试题解析：（1）当时，.则点处的切线的斜率为.故曲线在点处的切线方程为，即，即.考点：导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和函数的恒成立问题. 【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和函数的恒成立问题，考查了转化的思想及函数的思想，属于中档题.求曲线上某点的切线方程只需要根据导数的
13、几何意义求出切线的斜率即可写出切线的点斜式方程；对于不等式在给定区间上的恒成立问题，首选的策略是看能否分离参数，本题中因为，系数的符号是确定的，便于分离参数，把问题转化为求定函数的最值问题，利用导数研究其单调性，求得其最大值即得实数的范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，为圆的切线，为切点，交圆于两点，的角平分线与和圆分别交于点和.（1）求证：；（2）求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.考点：三角形相似与圆的切线性质的应用. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若分别是曲线和上的任意一点，求的最小值.【答案】（1）；（2）.考点：圆的极坐标方程与椭圆参数方程的应用. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知为非零实数，且，.（1）求证：；（2）求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.考点：不等式的证明与解法.