1、3.6带电粒子在匀强磁场中的运动（3）-临界问题、极值问题与多解问题【学习目标】 1. 掌握带电粒子在有界磁场中做匀速圆周运动的临界条件并会求解相关极值问题.2. 掌握带电粒子在有界磁场中做匀速圆周运动的多解问题。3. 掌握带电粒子在有界磁场中做匀速圆周运动的动态作图分析方法。【学习活动】 活动一、 带电粒子在有界磁场中运动的临界和极值问题带电粒子在有界磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解找临界点的方法是：以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口
2、，借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切；（2）当速率v一定时，弧长越长，轨迹对应的圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长；（3）当速率v变化时，圆心角大的，运动时间越长。 【例1】 如图所示真空中狭长区域的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，宽度为d，速度为v的电子从边界CD外侧垂直射入磁场，入射方向与CD间夹角为q电子质量为m、电量为q为使电子从磁场的另一侧边界EF射出，则电子的速度v应为多大?【例2】在
3、真空中，半径r=310-2m的圆形区域内有匀强磁场，方向如图所示，磁感强度B=0.2T，一个带正电的粒子，以初速度v0=106m/s从磁场边界上直径ab的一端a射入磁场，已知该粒子的比荷108C/kg，不计粒子重力，求：（1）粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径是多少？（2）若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射时v0方向与ab的夹角及粒子的最大偏转角。【例3】如图所示一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域，为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感强度为B的匀强磁场，若此磁场仅分布在一
4、圆形区域内，试求该圆形区域的最小半径（粒子重力不计）。【变式训练1】如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O，垂直于磁场射入一速度方向跟ad边夹角30、大小为v0的带正电粒子已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求：(1)粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围；(2)如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间【变式训练2】核聚变反应需要几百万度以上的高温,为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应）,通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）.如图所示,环状
5、匀强磁场围成的中空区域中的带电粒子只要速度不是很大,都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内.设环状磁场的内半径R1=0.5 m,外半径R2=1.0 m,磁场的磁感应强度B=1.0 T,若被束缚的带电粒子的荷质比q/m=4107 C/kg,中空区域内带电粒子具有各个方向的速度.试计算:（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场,不能穿越磁场的最大速度.（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度.【变式训练3】一匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。一个质量为m、电荷为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速为v，方向沿x正方向。后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度
6、方向与y轴的夹角为30，P到O的距离为L，如图所示。不计重力的影响。求：（1）磁场的磁感强度B的大小。（2）xy平面上磁场区域的半径R。（3）粒子从O到P点 运动时间。x yPOL30v 活动二、 带电粒子在有界磁场中运动的多解问题1. 带电粒子电性不确定形成多解.受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中的运动轨迹不同，形成多解2. 磁场方向不确定形成多解3. 临界状态不唯一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧形的，它可能穿过去，也可能转过从磁场的入射边界边反向飞出，于是形成多解4. 运动的重复性形成多解：带电粒
7、子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有重复性，形成多解【例4】 长为L，间距也为L的两平行金属板间有垂直向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，今有质量为m、带电量为q的正离子从平行板左端中点以平行于金属板的方向射入磁场。欲使离子不打在极板上，入射离子的速度大小应满足的条件是 ( )A. B. C. D.【例5】如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场以MN 为边界，左侧磁感应强度为B1，右侧磁感应强度为B2，B1=2B2=2T，荷质比为2106C/kg的带正电粒子从O点以v0=4104m/s的速度垂直MN进入右侧的磁场区域，求粒子通过距离O点4cm的磁场边界上的P点所需的时间。【变式
8、训练4】如图所示，在x0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且B1B2。一个带负电荷的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？xyB1B2O【变式训练5】如图所示，在xOy平面内第二象限的某区域存在一个矩形匀强磁场区，磁场方向垂直xOy平面向里，边界分别平行于x轴和y轴一个电荷量为e、质量为m的电子，从坐标原点O以速度v0射入的第二象限，速度方向与y轴正方向成45角，经过磁场偏转后，通过P(0，a)点，速度方向垂直于y轴，不计电子的重力(1)若磁场的磁感应强度大小为B0，求电子在
9、磁场中运动的时间t；(2)为使电子完成上述运动，求磁感应强度B的大小应满足的条件；(3)若电子到达y轴上P点时，撤去矩形匀强磁场，同时在y轴右侧加方向垂直xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B1，在y轴左侧加方向垂直xOy平面向里的匀强磁场，电子在第(k1)次从左向右经过y轴(经过P点为第1次)时恰好通过坐标原点求y轴左侧磁场磁感应强度大小B2及上述过程电子的运动时间t.活动三、带电粒子在有界磁场中运动的出射范围问题判定带电粒子的出射范围常用方法：1动态放缩法当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v大小或磁场的强弱B变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r随之变化。在确定粒子运动的临界情
10、景时，可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件。如图所示，粒子进入长方形边界OABC形成的临界情景为和。2定圆旋转法当带电粒子射入磁场时的速率v大小一定，但射入的方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r是确定的。在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件，如图所示为粒子进入单边界磁场时的情景。【例6】如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=060T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l=16cm处，有一个点状的放射源S，它向各个方向发射粒子，粒子的
11、速度都是v=30106m/s，已知粒子的电荷与质量之比q/m=50107C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的粒子，求ab上被粒子打中的区域的长度。【变式训练6】如图所示坐标系中，轴左方有垂直于纸面向外的匀强磁场，轴右方没有磁场，在坐标为（，）的处放一粒子源，向各方向放出质量为、电荷量为、速度为的粒子流(1)要使粒子恰好不能打到轴右方，磁感应强度为多大？(2)若磁场的磁感应强度为(1)中的1/3，其余条件不变，则粒子能从轴上的什么范围内进入轴右方？【变式训练7】如图所示为一长度足够长、宽度d8. 0 cm的匀强磁场，磁感应强度B=0.33 T，磁场方向垂直纸面向里在磁场边界aa上有一放射源S，它
12、可沿纸面向各个方向射出初速度v0=3.2106mS的粒子已知该粒子的电量q=3.210-19C，质量为m=6.610-27kg，试求该粒子从磁场的另一边界bb射出的长度范围活动四、课后作业：1. （单选）如图所示是某粒子速度选择器截面的示意图，在一半径为R10 cm的圆柱形桶内有B104 T的匀强磁场，方向平行于轴线，在圆柱桶某一截面直径的两端开有小孔，作为入射孔和出射孔粒子束以不同角度入射，最后有不同速度的粒子束射出现有一粒子源发射比荷为21011 C/kg的正粒子，粒子束中速度分布连续当角45时，出射粒子速度v的大小是( )A.106 m/s B2106 m/sC2108 m/s D410
13、6 m/s2.（多选）如图所示，O点有一粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，它们的速度大小相等、速度方向均在xOy平面内在直线xa与x2a之间存在垂直于xOy平面向外的磁感应强度为B的匀强磁场，与y轴正方向成60角发射的粒子恰好垂直于磁场右边界射出不计粒子的重力和粒子间的相互作用力关于这些粒子的运动，下列说法正确的是( ) A粒子的速度大小为B粒子的速度大小为C与y轴正方向成120角射出的粒子在磁场中运动的时间最长D与y轴正方向成90角射出的粒子在磁场中运动的时间最长3(多选)在xOy平面上以O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于x
14、Oy平面一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，从原点O以初速度v沿y轴正方向开始运动，经时间t后经过x轴上的P点，此时速度与x轴正方向成角，如图所示不计重力的影响，则下列关系一定成立的是( )A若r，则0 BB DB6一质量为m，带电量为q的粒子以速度 v0从O点沿正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b处穿过x轴，速度方向与x 轴正向夹角为30O，重力影响不计，试求：(1)圆形磁场区域的的最小面积；(2)粒子从O点进入磁场区到达b点所经历的时间(3)b点的坐标值。7如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间
15、的各种数值静止的带电粒子带电荷量为q，质量为m(不计重力)，从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为45，孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求：(1)两板间电压的最大值Um；（2）CD板上可能被粒子打中的区域的长度s；（3）粒子在磁场中运动的最长时间tm. 8.如图所示，长方形abcd长ad0.6 m，宽ab0.3 m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直于纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)，磁感应强度B0.25 T一群不计重力、质量m3107kg、电荷量q2103C的带电粒子以速度v5102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场区域，不考虑粒子间的相互作用(1)若从O点射入的带电粒子刚好沿Oe直线射出，求空间所加电场的大小和方向(2)若只有磁场时，某带电粒子从O点射入，求该粒子从长方形abcd射出的位置