1、考场精彩（9）(9) 数学精英解“立体几何”题1.（2007年湖北卷第4题）平面外有两条直线m和n，如果m和n在平面内的射影分别是m和n，给出下列四个命题：mnmn; mn mnm与n相交m与n相交或重合； m与n平行m与n平行或重合.其中不正确的命题个数是A.1 B.2 C.3 D.4【解析】D 以教室空间为长方体模型，m,n作地面墙根线，m,n在墙壁上选择，易知mn是mn的不必要不充分条件.故为假命题.m,n相交或平行，m,n可以异面；故也是假命题.【说明】 抽象的线线（面）关系具体化.就是寻找空间模型，长方体教室是“不需成本”的立几模型.必要时，考生还可用手中的直尺和三角板作“图形组合”
2、.2.（2007年北京卷第3题）平面平面的一个充分条件是A. 存在一条直线a,a,aB. 存在一条直线a,aaC. 存在两条平行直线a,b,a,a,bD. 存在两条异面直线a,b,a,a,b【解析】D 以考场的天花板和一个墙面作为，可以找出不同的直线a,b满足A、B、C项，从而排除前三项.【说明】教室本身是一个好的长方体模型，而我们判断线线、线面关系时用它,简捷明了.3.（2007年湖南卷第8题）棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）ABCD【解析】D 平面截球所得圆面的半径,被球O截得的线段为圆面的直径故选D.【说明】 相关知识点：球的组合
3、体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.4.(2007年全国第7题) 如图，正四棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD【解析】D 连接CD1，则AD1C即是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=1，.【说明】 找出异面直线所成的角，是问题的关键.5.（2007年浙江卷第6题）若是两条异面直线外的任意一点，则（ ）过点
4、有且仅有一条直线与都平行过点有且仅有一条直线与都垂直过点有且仅有一条直线与都相交过点有且仅有一条直线与都异面【解析】B 对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则lm,这与l,m异面矛盾；对于B，过点P与l、m都垂直的直线即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l、m都相交的直线可能没有；对于D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条.【说明】 空间线线关系，找空间模型.6.（2007年山东卷第正方体圆锥三棱台正四棱锥3题）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）ABCD【解析】D 正方体三个视图都相同；圆锥的两个视图相同；三棱台三个都不同；正四棱锥
5、的两个视图相同.【说明】 空间想象力的发挥.7.(2007年江苏卷第4题) 已知两条直线，两个平面给出下面四个命题：，；，；，；，其中正确命题的序号是（ ）、【解析】C 对于，在两平行平面内的直线有两种位置关系：平行或异面；对于，平行线中有一条与平面平行，则另一条可能与平面平行，也可能在平面内.8.(2007年全国卷第7题)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于(A)(B)(C) (D) 【解析】A 欲求直线AB1与侧面ACC1A1所成角，关键是要找到直线AB1在平面ACC1A1内的射影，即要找到B1在这个平面内的射影，根据正棱柱的性
6、质和平面与平面垂直的性质定理易知，B1在这个平面内的射影是的中点D.所以就是所求.由题设，可计算出所成角的正弦值为，故选A.【说明】 若在直角三角形内的角边关系混淆，易选错为B；若对直线和平面所成角的概念不清，易选错为C或D。9.(2007年天津卷第6题) 设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）若与所成的角相等，则若，则若，则若，则【解析】D A中，a、b可能平行、相交、异面；B中，a、b可能平行、相交、异面；C中a、b可以同时与、的交线平行；D中a、b可以看作是、的法向量.【说明】 还可以教室的一角为模型，再选择不同的墙线作为直线举反例.10. (2007年重庆卷第3题)
7、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）部分部分部分部分【解析】C 以点代线，以线代面，可画示意图如下：【说明】 图直观，无须说理.11. (2007年辽宁卷第7题) 若m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面，则下命题中的真命题是（ ）A若m，则 B若=m，=n，mn，则C若m，m，则 D若，则【解析】C A中，直线m与平面的位置关系各种可能都有；B中，平面与也可能相交；C中，m，过m作平面交平面于m，则mm. 又m，m. 由面面垂直的判定定理可知，；D中，平面与也可能相交成或平行.【说明】 本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.12. (2007
8、年福建卷第8题) 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）ABCD【解析】D 对于A，当m、n为两条平行直线时，可知A错误. 对于B，m、n两条直线可能为异面直线，对于C，直线n可能在平面内.【说明】 本题主要考查空间中线面位置关系.13. (2007年福建卷第10题) 顶点在同一球面上的正四棱柱中，则两点间的球面距离为（ ）ABCD【解析】B 如下图所示，设球的半径为R，则有，连结AC，连结AC、AC交于点O，则O为外接球的心，在AOC中，AO=OC=1，AC=，所以AOC=.所以A、C两点间的球面距离为.【说明】 本题考查组合体的知识.13（2007年全国卷第16
9、题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 略解：记题中等腰直角三角形为ABC，A为直角顶点，过A平行于底面的截面为.若B、C在同侧（图1），易证ABC为锐角，不合题意；若B、C在异侧（图2），过点B作平行于底面的截面BPQ，依“等腰”易证CP=2AQ. 取BC中点G，BP中点H，连AG、GH、HQ，可证AGHQ为矩形，故BC=2AG=2HQ=. 这个解法的关键是“猜”图，心算即可. 当然，图2中令AQ = x，CP = 2x，利用勾股定理得求解也简单. HBCAPQBCA图1 图2只是从图形上看，似乎图1与图2没有本质的区别.这是因为作者没有注明哪个平面是，所以看起来B、C都在平面的同一边.若果然如此，分类就没有必要了.在下关于这题的解法是：【解析】延长MN、CB交于P，连AP.第1，可证M为PN的中点.：作MDBC，交CC1于D.显然：AMBMND.故DN=BM=CD，即BM=CN是PNC的中位线，M为PN的中点.第2，由AM是PN的垂直平分线可以推出APN是等腰直角三角形.以下由ABP中BA=BP=2，ABP=120，得，从而边.
