1、数学3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离 数学自主预习课堂探究数学自主预习1.了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系.2.会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标.3.掌握两点间距离公式并能灵活应用.课标要求 数学知识梳理 1.两条直线的交点 已知两直线 l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0.将两直线方程联立,得方程组1112220,0A xB yCA xB yC若方程组有惟一解00,xxyy则两直线相交,交点坐标为(x0,y0);若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两直线平行.2.平面上两点间
2、的距离公式(1)两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|=222121xxyy.(2)原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离|OP|=22xy.数学自我检测 1.(两直线的交点)直线 x+2y-2=0 与直线 2x+y-3=0 的交点坐标为()(A)(4,1)(B)(1,4)(C)4 1,3 3 (D)1 4,3 3 C 2.(由斜率确定两直线位置关系)与直线2x-y-3=0相交的直线的方程是()(A)4x-2y-6=0(B)y=2x(C)y=2x+5(D)y=-2x+3 3.(两点间的距离)已知点P(3,2),Q(-1,2),则P、Q两点之间的距离为()(
3、A)1(B)2(C)3(D)4 D D 4.(两直线的交点)直线y=x+2与直线y=-x+2a的交点在x轴上,则a=.答案:-1 5.(两点间的距离)已知 A(-1,2),B(3,b)的距离是 42,则 b=.答案:-2或6 数学课堂探究两条直线的交点问题 题型一【教师备用】两直线相交的条件 1.同一平面直角坐标系中两条直线的位置关系有几种情况?提示:有三种:平行、相交、重合.2.已知直线l1,l2的方程分别是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如何判断两条直线的位置关系?提示:两条直线平行A1B2-A2B1=0 且 A1C2-A2C10(或 B1C2-B2C10)
4、;两条直线相交A1B2-A2B10;两条直线重合1221122112210,0,0.A BA BACA CB CB C 数学解:法一 联立方程20,40 xyxy 解得1,3,xy 即直线 l 过点(-1,3).因为直线 l 的斜率为 32,所以直线 l 的方程为 y-3=32(x+1)即 3x-2y+9=0.【例 1】直线 l 过直线 x+y-2=0 和直线 x-y+4=0 的交点,且与直线3x-2y+4=0 平行,求直线 l 的方程.法二 因为直线 x+y-2=0 不与 3x-2y+4=0 平行,所以可设直线 l 的方程为 x-y+4+(x+y-2)=0,整理得(1+)x+(-1)y+4-
5、2=0,因为直线 l 与直线 3x-2y+4=0 平行,所以 13=12 424,解得=15,所以直线 l 的方程为 65x-45y+185=0,即 3x-2y+9=0.数学题后反思 (1)解本题有两种方法:一是采用常规方法,先通过解方程组求出两直线交点,再根据平行关系求出斜率,由点斜式写出直线方程;二是设出过两直线交点的方程,再根据平行条件待定系数求解.(2)过两条相交直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可设为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(不含直线l2).数学解:由240,20 xyxy 可得交点坐标为(0,2),(1)因为直
6、线 l 与 3x-4y+1=0 平行,所以 l 的斜率 k=34,l 的方程 y=34 x+2,即为 3x-4y+8=0.(2)因为直线 l 与 5x+3y-6=0 垂直,所以 l 的斜率 k=35,l 的方程 y=35x+2,即为 3x-5y+10=0.即时训练1-1:求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点,且分别满足下列条件的直线l的方程(1)直线l与直线3x-4y+1=0平行;(2)直线l与直线5x+3y-6=0垂直.数学证明:法一 取 m=1 时,直线方程为 y=-4;取 m=12时,直线方程为x=9.两直线的交点为 P(9,-4),将点 P 的坐标代入原方程左边=(m-1)
7、9+(2m-1)(-4)=m-5.故不论 m 取何实数,点 P(9,-4)总在直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5 上,即直线恒过点 P(9,-4).法二 原方程化为(x+2y-1)m+(-x-y+5)=0.若对任意 m 都成立,则有210,50,xyxy 得9,4.xy 所以不论 m 为何实数,所给直线都过定点 P(9,-4).【备用例1】求证:不论m为何实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都过某一定点.数学两点间距离公式的应用 题型二【例2】已知ABC的三个顶点坐标是A(1,-1),B(-1,3),C(3,0).(1)判断ABC的形状.(2)求ABC的面积.解:(1)如图,因
8、为|AB|=221 131 =20=25,|AC|=223 101 =5,|BC|=223103 =25=5,所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,即ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形.(2)由于ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形,所以 SABC=12|AB|AC|=1225 5=5.数学题后反思 (1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时,设出所求点的坐标,利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解.(2)利用两点间距离公式可以判定三角形的形状.从三边长入手,如果边长相等则可能是等腰或等边三角形,如果满足勾股定理则是直角三角形.数学解:设所求点 P
9、(x,0),于是由|PA|=|PB|得 22102x=22207x,即 x2+2x+5=x2-4x+11,解得 x=1.所以,所求 P 点坐标为(1,0),|PA|=221 102=22.即时训练 2 1:已知点 A(-1,2),B(2,7),在 x 轴上求一点 P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.数学【备用例2】ABC中,D是BC边上的一点(D与B,C不重合),且|AB|2=|AD|2+|BD|DC|.求证:ABC为等腰三角形.证明:作AOBC,垂足为O,以BC所在的直线为x轴,OA所在的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设A(0,h),B(b,0),C(c,0),D(d,0
10、).已知|AB|2=|AD|2+|BD|DC|,则由两点间距离公式得b2+h2=d2+h2+(d-b)(c-d),化简,得-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d).因为点D与点B,C不重合,所以d-b0,故-b-d=c-d,即-b=c.所以|OB|=|OC|,于是|AB|=|AC|,即ABC为等腰三角形.数学对称问题 题型三 解:设点 A(2,3)关于直线 l 的对称点为 A(x0,y0),则00002310,2231,2xyyx 解得 A(-4,-3).所以反射光线所在直线的方程为 y-1=(x-1)1 314,即 4x-5y+1=0.【例3】光线通过点A(2,3),在直线l:x+y+1
11、=0上反射,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程.数学解方程组 4510,10 xyxy 得 P21,33.所以入射光线所在直线的方程为 y-3=(x-2)133223,即 5x-4y+2=0.数学题后反思 (1)光线的反射问题、角的平分线问题以及在某定直线取点,使它与两定点距离之和最小问题均属于点关于直线对称问题.解决这类问题的方法是设对称点坐标,由“垂直”和“平分”列方程解得.(2)点 M(x0,y0)关于直线 l:Ax+By+C=0 的对称点 M(x,y)可由方程组000010022yyAABxxBxxyyABC 求得.(3)求直线关于l对称的直线方程,可转化为求直线上的点关于l的对称点的问题解决.数学解析:kAB=3 112=23,故 k=-32,AB 的中点1,22在 y=kx+b 上.所以 2=-3212+b,b=54.故 k+b=54-32=-14.即时训练3-1:(2015蚌埠一中月考)若点A(1,3)关于直线y=kx+b的对称点B(-2,1),则k+b=.答案:-14 数学点击进入课时作业数学 谢谢观赏Thanks!
