1、2015-2016学年河南省焦作市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，3，4，集合B=2，4，则（UA）B为（）A2，4，5B1，3，4C1，2，4D2，3，4，52已知a，bR，i是虚数单位，若ai与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A54iB5+4iC34iD3+4i3已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABC8D164已知命题p：函数f（x）=|cosx|的最小正周期为2；命题q：x，使2x3x，则下列命题是真命题的是（）ApqBp（q）Cp（q）Dpq5已知x，y满足条件，
2、若不等式3xy+1a0恒成立，则a的取值范围为（）Aa8Ba8Ca6Da66给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A1B2C3D47公比不为1等比数列an的前n项和为Sn，且3a1，a2，a3成等差数列，若a1=1，则S4=（）A20B0C7D408将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m和n，则函数y=mx24nx+1在1，+）上是增函数的概率是（）ABCD9已知角的终边经过点P（4，3），函数f（x）=sin（x+）（0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）ABCD10已知双曲线=1（b0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率
3、e=，点P是双曲线上的一点，且|PF1|=15，则|PF2|等于（）A27B3C27或3D911在ABC中，AB=AC=3，BAC=30，CD是边AB上的高，则=（）ABCD12已知定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f（x），满足f（x）f（x），且f（0）=1，则不等式f（x）ex的解集为（）A（，e4）B（e4，+）C（，0）D（0，+）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知过点A（2，m），B（m，4）的直线与直线2x+y1=0互相垂直，则m=14设m、n是不同的直线，、是不同的平面，有以下四个命题：若，则；若，m，则m；若m，m，则；若mn，m，则n其中真命题的序号
4、是15在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ABC的面积为3，bc=2，cosA=，则a的值为16已知函数y=f（x）（xR），对函数y=g（x）（xR），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（xR），y=h（x）满足：对任意xR，两个点（x，h（x），（x，g（x）关于点（x，f（x）对称若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）g（x）恒成立，则实数b的取值范围是三、解答题（共5小题，满分60分）17等差数列an中，a2=4，a4+a7=15（）求数列an的通项公式；（）设bn=2+n，求b1+b2+b3+b10的值18某城市
5、100户居民的月平均用电量（单位：度），以160，180），180，200），200，220），220.240），240，260），260，280），280，300）分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，220，240），240，260），260，280），280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220，240）的用户中应抽取多少户？19如图，平行四边形ABCD中，DAB=60，AB=2，AD=4，将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD（1）求证：ABDE；（2）若F为
6、BE的中点，求点F到平面ADE的距离20设椭圆C1： +=1（ab0）的离心率与双曲线C2：x2=1的离心率互为倒数，且C1内切于圆O：x2+y2=4（1）求椭圆C1的方程；（2）在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形面积的最小值21设函数f（x）=klnx，k0（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，上仅有一个零点选修4-1：几何证明选讲22如图，AB是O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F求证：（1）DEA=DFA；（2）AB2=BEBDAEAC选修4-4：极坐标与参数方程
7、选讲23已知曲线C的极坐标方程是=2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|PB|=1，求实数m的值选修4-5:不等式选讲24已知函数f（x）=|x|，g（x）=|x4|+m（）解关于x的不等式gf（x）+2m0；（）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围2015-2016学年河南省焦作市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已
8、知全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，3，4，集合B=2，4，则（UA）B为（）A2，4，5B1，3，4C1，2，4D2，3，4，5【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据全集U及A求出A的补集，找出A补集与B的并集即可【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，3，4，UA=2，5，B=2，4，（UA）B=2，4，5故选：A2已知a，bR，i是虚数单位，若ai与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A54iB5+4iC34iD3+4i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值【解答】解：ai与2+bi互为共轭复
9、数，则a=2、b=1，（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：D3已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABC8D16【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，分别计算柱体和圆锥的体积，相减可得答案【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，圆柱和圆锥的底面直径为4，故底面半径为2，故底面面积S=4，圆柱和圆锥的高h=2，故组合体的体积V=（1）Sh=，故选：B4已知命题p：函数f（x）=|cosx|的最小正周期为2；命题q：x，使2x3x，则下列命题是真命题的是（）ApqBp（q）C
10、p（q）Dpq【考点】复合命题的真假【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可【解答】解：命题p：函数f（x）=|cosx|的最小正周期为，故命题p是假命题；命题q：x，使2x3x，故命题q是真命题，故pq是真命题，故选：D5已知x，y满足条件，若不等式3xy+1a0恒成立，则a的取值范围为（）Aa8Ba8Ca6Da6【考点】简单线性规划【分析】将不等式3xy+1a0恒成立利用参数分离法转化为3xy+1a恒成立，设=3xy+1求出z的最小值即可【解答】解：若不等式3xy+1a0恒成立得3xy+1a恒成立，设z=3xy+1，由z=3xy+1得y=3xz+1，平移直线y=3xz+
11、1由图象可知当直线y=3xz+1经过点A时，直线y=3xz+1的截距最大，此时z最小由，解得，即A（2，3），此时z=233+1=8，即z的最小值是8，则a8，故选：B6给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A1B2C3D4【考点】选择结构【分析】由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分x2，2x5，x5三种情况分别讨论，满足输入的x值与输出的y值相等的情况，即可得到答案【解答】解：当x2时，由x2=x得：x=0，1满足条件；当2x5时，由2x3=x得：x=3，满足条件；当x5时，由=x得：x=1，不满足条件
12、，故这样的x值有3个故选C7公比不为1等比数列an的前n项和为Sn，且3a1，a2，a3成等差数列，若a1=1，则S4=（）A20B0C7D40【考点】等比数列的前n项和；等差数列的性质【分析】利用3a1，a2，a3成等差数列，确定数列的公比，从而可求S4【解答】解：设数列的公比为q（q1），则3a1，a2，a3成等差数列，3a1+a3=2a2，a1=1，3+q2+2q=0，q1，q=3S4=13+927=20故选A8将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m和n，则函数y=mx24nx+1在1，+）上是增函数的概率是（）ABCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】将一骰子向上抛掷
13、两次，所得点数分别为m和n的基本事件个数有36个函数y=mx24nx+1在1，+）上为增函数包含的基本事件个数为9个，利用古典概型公式即可得到答案【解答】解：函数y=mx24nx+1在1，+）上为增函数，等价于导数y=2mx4n0在1，+）上恒成立而x在1，+）上恒成立即1将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n的基本事件个数为36个，而满足1包含的（m，n）基本事件个数为9个，故函数y=mx24nx+1在1，+）上为增函数的概率是=，故选：B9已知角的终边经过点P（4，3），函数f（x）=sin（x+）（0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）ABCD【考点】正弦函数的
14、图象【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得cos 和sin 的值，再根据周期性求得的值，再利用诱导公式求得f（）的值【解答】解：由于角的终边经过点P（4，3），可得cos=，sin=再根据函数f（x）=sin（x+）（0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得周期为=2，求得=2，f（x）=sin（2x+），f（）=sin（+）=cos=，故选：D10已知双曲线=1（b0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=，点P是双曲线上的一点，且|PF1|=15，则|PF2|等于（）A27B3C27或3D9【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的a，c，运用离心率公式可得b=8，c=10
15、，运用双曲线的定义，可得|PF2|=27或3，讨论P在左支和右支上，结合双曲线的图象即可得到所求距离【解答】解：双曲线=1（b0）的a=6，c=，由e=，解得b=8，c=10由双曲线的定义可得2a=|PF1|PF2|，即有12=|15|PF2|，解得|PF2|=27或3，若P在左支上，可得|PF1|ca=4，|PF2|a+c=16；若P在右支上，可得|PF1|c+a=1615，不成立综上可得，|PF2|=27故选：A11在ABC中，AB=AC=3，BAC=30，CD是边AB上的高，则=（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】由条件利用直角三角形中的边角关系求得CD的值，再利用两个向量的
16、数量积的定义，求得得知【解答】解：在ABC中，AB=AC=3，BAC=30，CD是边AB上的高，则有CD=ACsin30=，=|cosBCD=，故选：B12已知定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f（x），满足f（x）f（x），且f（0）=1，则不等式f（x）ex的解集为（）A（，e4）B（e4，+）C（，0）D（0，+）【考点】导数的运算【分析】构造函数g（x）=（xR），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=（xR），则g（x）=，f（x）f（x），f（x）f（x）0g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递减f（x）exg（x）1又g（0）=1g
17、（x）g（0）x0故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知过点A（2，m），B（m，4）的直线与直线2x+y1=0互相垂直，则m=2【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】直接利用两条直线的斜率乘积为1，求解即可【解答】解：过点A（2，m），B（m，4）的直线的斜率，直线2x+y1=0的斜率为：2因为两条直线垂直，所，解得m=2故答案为：214设m、n是不同的直线，、是不同的平面，有以下四个命题：若，则；若，m，则m；若m，m，则；若mn，m，则n其中真命题的序号是【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证
18、明一下即可【解答】解：对于，利用平面与平面平行的性质定理可证，则，正确对于，面BD面D1C，A1B1面BD，此时A1B1面D1C，不正确对应，m内有一直线与m平行，而m，根据面面垂直的判定定理可知，故正确对应，n有可能在平面内，故不正确，故答案为：15在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ABC的面积为3，bc=2，cosA=，则a的值为8【考点】余弦定理【分析】由cosA=，A（0，），可得sinA=利用SABC=，化为bc=24，又bc=2，解得b，c由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA即可得出【解答】解：A（0，），sinA=SABC=bc=，化为bc=24，又
19、bc=2，解得b=6，c=4由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA=36+1648=64解得a=8故答案为：816已知函数y=f（x）（xR），对函数y=g（x）（xR），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（xR），y=h（x）满足：对任意xR，两个点（x，h（x），（x，g（x）关于点（x，f（x）对称若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）g（x）恒成立，则实数b的取值范围是（2，+）【考点】函数恒成立问题；奇偶函数图象的对称性【分析】根据对称函数的定义，将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系，即可得到结论【解答】解：根据“对称函
20、数”的定义可知，即h（x）=6x+2b，若h（x）g（x）恒成立，则等价为6x+2b，即3x+b恒成立，设y1=3x+b，y2=，作出两个函数对应的图象如图，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d=，即|b|=2，b=2或2，（舍去），即要使h（x）g（x）恒成立，则b2，即实数b的取值范围是（2，+），故答案为：（2，+）三、解答题（共5小题，满分60分）17等差数列an中，a2=4，a4+a7=15（）求数列an的通项公式；（）设bn=2+n，求b1+b2+b3+b10的值【考点】等差数列的性质【分析】（）建立方程组求出首项与公差，即可求数列an的通项公式；（）bn=2+n=2n+n，利
21、用分组求和求b1+b2+b3+b10的值【解答】解：（）设公差为d，则，解得，所以an=3+（n1）=n+2；（）bn=2+n=2n+n，所以b1+b2+b3+b10=（2+1）+（22+2）+=（2+22+210）+（1+2+10）=+=210118某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160，180），180，200），200，220），220.240），240，260），260，280），280，300）分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，220，240），240，260），260，280），280，300
22、）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220，240）的用户中应抽取多少户？【考点】频率分布直方图【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095+0.011）20+0.0125（a220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0
23、.0125+x+0.005+0.0025）20=1，解方程可得x=0.0075，直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，（0.002+0.0095+0.011）20=0.450.5，月平均用电量的中位数在220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）20+0.0125（a220）=0.5可得a=224，月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为220，240）的用户有0.012520100=25，月平均用电量为240，260）的用户有0.007520100=15，月平均用电量为260，280）的用户有0.00520100=10，月
24、平均用电量为280，300）的用户有0.002520100=5，抽取比例为=，月平均用电量在220，240）的用户中应抽取25=5户19如图，平行四边形ABCD中，DAB=60，AB=2，AD=4，将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD（1）求证：ABDE；（2）若F为BE的中点，求点F到平面ADE的距离【考点】点、线、面间的距离计算【分析】（1）由勾股定理得ABBD，由面面垂直得AB平面EBD，由此能证明ABDE；（2）由（1）知ED平面ABD，ABD=90，以D为原点，以DB为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面ADE所成角
25、正弦值，从而求出点F到平面ADE的距离【解答】（1）证明：在ABD中，AB=2，AD=4，DAB=60，BD=2，AB2+BD2=AD2，ABBD又平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABD=BD，AB平面ABD，AB平面EBDDE平面EBD，ABDE；（2）解：由（1）知ED平面ABD，ABD=90，BDC=90，故以D为原点，以DB为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，平行四边形ABCD中，DAB=60，AB=2，AD=4，BD=2，则B（2，0，0），E（0，0，2），点F为BE的中点，F（，0，1），A（2，2，0），D（0，0，0），=（，2，1），=（2，2，0）
26、，=（0，0，2），设平面DAE的法向量=（x，y，z），则=0， =0，取x=1，得=（1，0），设直线AF与平面ADE所成角为，则sin=|cos， |=|=，直线AF与平面ADE所成角正弦值为，点F到平面ADE的距离是|=20设椭圆C1： +=1（ab0）的离心率与双曲线C2：x2=1的离心率互为倒数，且C1内切于圆O：x2+y2=4（1）求椭圆C1的方程；（2）在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形面积的最小值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率e=，即=，由C1内切于圆O：x2+y2=4，可得a=2，则
27、椭圆的方程可求；（2）由题意设出切线方程y=kx+m（k0），和椭圆方程联立后由方程仅有一个实根得到方程的判别式等于0，即得到k与m的关系，求出直线在x轴和y轴上的截距，代入三角形的面积公式后化为含有k的代数式，然后利用基本不等式求最值【解答】解：（1）由双曲线x2=1的离心率为，椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，可得e=，即=，由C1内切于圆O：x2+y2=4，可得a=2，c=，b=1，可得椭圆C1的方程为+y2=1；（2）由l与椭圆C1相切于第一象限内的一点，可得直线l的斜率必存在且为负，设直线l的方程为：y=kx+m（k0），联立，消去y整理可得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2
28、4=0，根据题意可得方程只有一实根，则=64k2m216（1+4k2）（m21）=0，整理可得：m2=4k2+1，由直线l与两坐标轴的交点分别为（，0），（0，m）且k0，则l与坐标轴围成的三角形的面积S=（2k）+2=2，（当且仅当k=时取等号），则围成的三角形的面积的最小值为221设函数f（x）=klnx，k0（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，上仅有一个零点【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（1）利用f（x）0或f（x）0求得函数的单调区间并能求出极值；（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零
29、点的情况【解答】解：（1）由f（x）=f（x）=x由f（x）=0解得x=f（x）与f（x）在区间（0，+）上的情况如下：X （o，） （） f（x） 0+ f（x）所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x=处的极小值为f（）=，无极大值（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+）上的最小值为f（）=因为f（x）存在零点，所以，从而ke当k=e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）=0所以x=是f（x）在区间（1，）上唯一零点当ke时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）
30、在区间（1，上仅有一个零点选修4-1：几何证明选讲22如图，AB是O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F求证：（1）DEA=DFA；（2）AB2=BEBDAEAC【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用ABCAEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBDAEAC【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以ADB=90，又EFAB，AFE=90，则A，D，E，F四点共圆DEA=DFA（2）由（1）知，B
31、DBE=BABF，又ABCAEF，即ABAF=AEACBEBDAEAC=BABFABAF=AB（BFAF）=AB2选修4-4：极坐标与参数方程选讲23已知曲线C的极坐标方程是=2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|PB|=1，求实数m的值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）曲线C的极坐标方程是=2cos，化为2=2cos，利用可得直角坐标方程直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y
32、代入+m消去参数t即可得出（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为： +m22m=0，由0，得1m3利用|PA|PB|=t1t2，即可得出【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是=2cos，化为2=2cos，可得直角坐标方程：x2+y2=2x直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为： +m22m=0，由0，解得1m3t1t2=m22m|PA|PB|=1=|t1t2|，m22m=1，解得，1又满足0实数m=1，1选修4-5:不等式选讲24已知函数f（x）=|x|，g（x）=|x4|+m（）解关于x的不等式gf（x）+2m0；（）
33、若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围【考点】函数的图象；绝对值不等式的解法【分析】（）把函数f（x）=|x|代入gf（x）+2m0可得不等式|x|4|2，解此不等式可得解集；（）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，则f（x）g（x）恒成立，即m|x4|+|x|恒成立，只要求|x4|+|x|的最小值即可【解答】解：（）把函数f（x）=|x|代入gf（x）+2m0并化简得|x|4|2，2|x|42，2|x|6，故不等式的解集为（6，2）（2，6）；（）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，f（x）g（x）恒成立，即m|x4|+|x|恒成立，|x4|+|x|（x4）x|=4，m的取值范围为m42016年8月14日