1、江西省师大附中2020届高三数学三模考试试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合、，进而可求得集合，然后利用交集的定义可求得集合.【详解】，或，因此，.故选：D【点睛】本题考查补集和交集的混合运算，同时也考查了分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2. 若复数在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a的值可以是（）A. 1B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于
2、0求解a的范围即可.【详解】又因为复数在复平面内对应的点在第二象限内，得1a1实数a的值可以是0故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题3. 在中,已知,则此三角形一定为( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形【答案】C【解析】【分析】将,化简为,即,即可求得答案.【详解】 故,即 ,故此三角形是等腰三角形故选:C.【点睛】本题考查三角形形状的判定,考查诱导公式与正弦两角和公式,考查运算能力与推理能力,属于中档题.4. “”是“函数为奇函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分
3、也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据函数为定义域上的奇函数，求解，然后根据充分条件、必要条件的概念，可得结果.【详解】若函数为奇函数，则则化简可得：，则所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性求参数以及充分条件、必要条件的概念，关键在于计算，属基础题.5. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用不等式的基本性质，并对选项化简，转化，判断对错即可.【详解】解：选项A中，由于，所以成立；故A正确；选项B中，与大小不能确定，故B错误；选项C中，由于，故C错误；选项D中，令，则，故D错误.故选：A.【点睛】本题考查不等式的基本性质
4、，考查转化能力，属于基础题.6. 已知，为双曲线的左、右焦点，点为右支上一点若恰好被轴平分，且，则的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】依题意可得垂直于轴，在中，由，且，即可求出，再根据，从而求出双曲线的渐近线方程；【详解】解：由恰好被轴平分，得垂直于轴，在中，又，得到，即，得，故渐近线方程为故选：B.【点睛】本题考查了双曲线的方程和性质、渐近线方程，考查数学运算能力，属于中档题7. 2020年是5G的爆发之年，5月中国信通院发布了2020年4月国内手机市场运行分析报告，该报告统计了从2019年7月到2020年4月这十个月国内手机市场总出货量与国内5G手机出货量
5、占同期手机出货量比重变化情况（简称市场占比），得到下面两个统计图：则下列描述不正确的是（ ）A. 2020年4月国内5G手机出货量是这十个月中的最大值B. 从2019年7月到2020年2月，国内5G手机出货量保持稳定增长C. 相比2020年前4个月，2019年下半年的国内手机市场总出货量相对稳定D. 2019年12月到2020年1月国内5G手机市场占比的增长率比2020年1月到2月的增长率大【答案】B【解析】【分析】由柱状图和折线图中的数据逐项判断可得选项.【详解】对于A：由柱状图可以看出2020年4月的出货量最高，故A正确；对于B：由柱状图可以看出从2019年7月至2020年2月，国内5G手
6、机出货量有增有降，不是保持稳定增长，故B不正确；对于C：由柱状图可以看出2019年下半年的手机出货量相对稳定，而在2020年的前4个月中，手机的出货量波动较大，故C正确；对于D：2019年12月到2020年1月国内5G手机市场占比的增长率为：，2020年1月到2月的增长率为：，所以2019年12月到2020年1月国内5G手机市场占比的增长率比2020年1月到2月的增长率大，故D正确，故选：B【点睛】本题考查统计图中柱状图和折线图的的读取，进行相应的计算，属于基础题.8. 某几何体的三视图均为如图所示的五个小正方形构成，则该几何体与其外接球的表面积之比为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【
7、解析】【分析】首先根据几何体的三视图还原得到几何体，设小正方形的边长为1，进一步求出几何体的表面积及外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】根据几何体的三视图还原得到几何体，如图所示：设小正方形的边长为1，可知几何体的表面积为,其外接球的半径为,所以外接球的表面积为,所以该几何体与其外接球的表面积之比为.故选：A【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的转换，以及几何体的外接球的半径的求法和表面积的计算，着重考查运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题9. 已知角的始边与的非负半轴重合，与圆相交于点，终边与圆相交于点，点在轴上的射影为点，的面积为，则函数的图象大致是（ ）A. B.
8、 C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意画出图像，由三角形的面积公式表示出，利用排除法和特殊值法选出正确答案即可.【详解】解：如图，在中，所以的面积为，所以排除；选项的区别是的面积何时取到最大值，下面结合选项中图像利用特殊值验证：当时，的面积，当时，则，所以的面积，所以，的面积，所以选项错误.故选：A.【点睛】本题主要考查用排除法确定函数的图像，属于中档题.10. 在周髀算经中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图.圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用.山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如下图所示.以该木塔底层的边
9、作正方形，以点或点为圆心，以这个正方形的对角线为半径作圆，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等.以该木塔底层的边作正方形，会发现该正方形与其内切圆的一个切点正好位于塔身和塔顶的分界线上.经测量发现，木塔底层的边不少于47.5米，塔顶到点的距离不超过19.9米，则该木塔的高度可能是（参考数据：）（ ）A. 66.1米B. 67.3米C. 68.5米D. 69.0米【答案】B【解析】【分析】高度和木塔高度之比应为，再根据木塔底层的边不少于47.5米，即可求解.【详解】解：设木塔的高度为，有图可知，（米），同时，（米），即木塔的高度应在67.165米至67.918米之间，只有B符合.故选：B.【点睛
10、】根据给定图形观察出待求线段与已知线段之间的比例关系是解答本题的关键，同时考查运算求解能力；属于基础题.11. 已知点与抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，与y轴交于点，若，且直线QA的斜率为1，则（ ）A. 2B. 4C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断A、B的位置，结合向量关系，推出A、B横坐标与纵坐标的关系，通过直线的斜率关系，转化求解即可.【详解】解：由题意可知A在第一象限，B在第四象限，设，由，所以，得，又，所以，又A、F、B三点共线，可得，即，可得，由QA斜率为1可得：，即，则.故选：C.【点睛】在直线和抛物线的位置关系中，结合向量共线考查求抛物线中的参数；基础
11、题.12. 已知直线分别与函数和的图象交于点、，现给出下述结论：；，则其中正确的结论个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】根据互为反函数的性质可得，的中点坐标为，从而可判断；利用基本不等式可判断，；利用零点存在定理以及对数的运算性质可判断.【详解】解：函数和互为反函数，则和的图像关于对称，将与联立解方程组，可得.由直线分别与函数和的图象交于点、，作出函数图像，如图所示：则、的中点坐标为，对于，由，得，故正确；对于，因为，即等号不成立，所以，故正确；对于，将与联立可得，即，设，则函数为单调递增函数，故函数的零点在上，即，由得，故正确.对于，由，解得，由于，即等号不
12、成立，则，故错误；所以，正确的结论个数为3.故选：B.【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡的相应位置13. 在的展开式中，第5项为常数项，则_【答案】6【解析】【分析】根据展开式通项公式，可得，然后令，可得，然后简单计算可得结果.【详解】由题可知：在的展开式中，第5项为即，由第5项为常数项，令，又，则故答案为：【点睛】本题考查二项展开式的指定项求参数，掌握通项公式，考查计算，属基础题.14. 已知向量在方向上的投影为，且，则_【答案】3【解析】【分析
13、】由已知可求得，平方化简即可求得结果.【详解】由已知可得：，由，得：，故答案为：3.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，考查计算能力，属于基础题.15. 向体积为的正方体密闭容器内注入体积为的液体，旋转容器，若液面恰好经过正方体的某条对角线，则液面边界周长的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据正方体的截面性质，将绕旋转时，根据两点间线段最短求得即可.【详解】解：当液面过时，截面为四边形，将绕旋转，此时如图所示：则，当共线时等号成立，故周长最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了正方体的截面问题，意在考查学生的空间想象力和计算能力，属于中档题.16. 如图，有一块半径为的半圆形
14、广场，为的中点现要在该广场内以为中轴线划出一块扇形区域，并在扇形区域内建两个圆形花圃（圆和圆），使得圆内切于扇形，圆与扇形的两条半径相切，且与圆外切记，则圆的半径可表示成的函数式为_，圆的半径的最大值为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】设圆的半径为，有几何关系可得，消去即可得到圆的半径与的函数关系；令，则，再由二次函数求出最大值，即可求出结果【详解】设圆的半径为，过作，垂足分别为、，如下图所示：在中，可得，即；在中，可得，即；则，则，； 令， 则， 当 ，即时， 故圆的半径的最大值为故答案为：；.【点睛】本题主要考查了函数的应用，同时考查了利用换元法和二次函数求最值，是中档题三、
15、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. 已知数列，满足，对任意均有，（1）证明：数列和数列均为等比数列；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）依据题干化简可得，然后根据等比数列的定义可得结果.（2）根据（1）的条件可得，然后可得，利用错位相减法进行计算，可得结果.【详解】（1）因为对任意均有，将两式两边相加可得，又因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列；将两式两边相乘可得，又因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列（2
16、）由（1）可知，有所以，所以，上两式相减得：，即，所以【点睛】本题考查根据递推关系证明等比数列以及错位相减进行求和，掌握常用的求和公式，比如：公式法、裂项相消法、错位相减法，倒序相加法，属中档题.18. 如图，在六棱锥中，底面是边长为的正六边形，.（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）要证明面面垂直，需先证明线面垂直，设，连结，根据正六边形的性质和条件，可证明平面；（2）首先证明，即、两两互相垂直，以、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如下图所示），分别求平面和平面的法向量 ，根据公式求解.【详解】解：（1）设，连结.在
17、正六边形中，根据对称性为中点，又，又因为，所以.又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）在正六边形中，所以，.又因为，所以.因为，所以，即，所以、两两互相垂直.以、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图所示）.则，设平面的一个法向量为.由得令，解得，.所以.设平面的一个法向量为.由得令，解得.所以.因此.因为二面角的平面角为钝角，故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查证明面面垂直，向量法求面面角，重点考查推理证明，计算能力，属于中档题.19. 已知椭圆上三点、与原点构成一个平行四边形（1）若点是椭圆的左顶点，求点的坐标；（2）若、四点共圆，求直线的斜率【答案】（1）；（2）【解析】【分
18、析】（1）由已知可得，由，且，设， 代入椭圆方程解方程即可得解；（2）因为、四点共圆，则平行四边形是矩形且，设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理代入 ，化简计算求解即可.【详解】解析：（1）如图所示：因为，四边形为平行四边形，所以，且设点，则因为点M、A在椭圆C上，所以，解得，所以（2）因为直线的斜率存在，所以设直线的方程为，由消去y得，则有，因为平行四边形，所以因，所以，所以因为点M在椭圆C上，所以将点M的坐标代入椭圆C的方程化得因为A、M、B、O四点共圆，所以平行四边形是矩形，且，所以因为，所以，化得由解得，此时，因此所以所求直线的斜率为【点睛】本题主要考查了联立直线与椭圆的方程利
19、用韦达定理列式表达斜率以及垂直的方法进而代入求解的问题，考查计算能力和逻辑推理能力，属于难题.20. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中
20、抽取3个，求恰好取到一级口罩个数为的概率；（2）在2020年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加A、B两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成假定甲、乙两人在A、B两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为，求的分布列及数学期望；求当的数学期望取最大值时正整数的值【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望；6【解析】【分析】（1）根据分层抽样可得二级、一级口罩个数，然后计算即可.（2）写出写出的所有可得取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式可得结果.根据，使用换元法并构造函数，然后利
21、用导数判断函数单调性，进一步可得取最大值的条件.【详解】（1）按分层抽样抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩个数分别为6、2，所以恰好取到一级口罩个数为2的概率（2）由题知，X的可能取值为0，1，2，；所以X的分布列为012因为，所以令，设，则，因为所以当时，所以在区间上单调递增；当时，所以在区间上单调递减；所以当即时取最大值，所以所以取最大值时，n的值为6【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望，牢记公式，细心计算，本题难点在于之间的关系，同时导数在概率中的应用，考验分析能力以及计算能力，属难题.21. （1）求函数在的最大值；（2）证明：函数在有两个极值点，且.【答案】（1）；（
22、2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数求出函数在上的单调性即可；（2）首先利用导数求出的单调性，即可得到，然后分别证明，然后即可证明.【详解】（1），则在上单调递增，又，所以在有唯一的零点.当时，单调递减；时，单调递增.又，所以在的最大值为.（2），则当时，单调递增，又，所以在有唯一的零点，此时，时，；时，所以是极小值点，不妨令.当时，所以；当，设.由（1）知， 有唯一的零点，则时，单调递减，即单调递减；时，单调递增，即单调递增又，所以在有唯一的零点，此时时，；时，所以是极大值点，即，所以在有两个极值点，其中，且，由于，所以.因为，所以，即.又，所以，同理，所以 .【点睛】本题考查的是
23、利用导数求函数的最值、研究函数的极值点和证明不等式，考查了学生分析问题和处理问题的能力，属于压轴题.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设，若直线与曲线相交于，两点，求的值【答案】（1）曲线C的普通方程为；直线的直角坐标方程为；（2）【解析】【分析】（1）由曲线的参数方程消去即可得曲线的普通方程；由直线的极坐标方程为及，即可得直线的直角坐标方程；（2）根据题意得直线的标准参数方
24、程为（为参数），把它代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数的几何意义解题即可.【详解】解：（1）由得，所以曲线C的普通方程为由得，所以，即直线的直角坐标方程为（2）由（1）知，点在直线上，设的标准参数方程为（为参数），两点对应的参数分别为，由直线参数方程的几何意义知：.将代入，得，所以，所以一正一负.从而【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线参数方程的几何意义解题，属于中档题.23. 已知函数（1）解关于的不等式；（2）若实数，满足，求的最小值【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）不等式转化为，利用绝对值内的式子的零点分区间求解，然后取并集即得；（2）先利用绝对值三角不等式得到，再利用基本不等式的变形或者柯西不等式求得，即得所求最小值，注意验证取等号的条件.【详解】（1）因为，所以，所以即，当时，不等式可化为，解得，此时不等式无解；当时，不等式可化为，解得，此时；当时，不等式可化为，解得，此时；综上，不等式的解集为（2）因为，从而，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为2【注】也可由柯西不等式得，从而【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和利用绝对值不等式性质求最小值问题，涉及基本不等式求最值，也可以使用柯西不等式求解，属中等难度的题目.