1、3.2基本不等式与最大(小)值学习目标1.理解与两正数和积相关的命题.(数学抽象)2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(逻辑推理)3.会用基本不等式解决简单的实际问题.(数学建模、逻辑推理)必备知识自主学习导思1.如何记忆利用基本不等式求最值时是最大还是最小?2.利用基本不等式求最值时要满足什么条件?利用基本不等式求最值大前提条件结论三个注意点x,y均为正数若x+y=s,则当x=y 时积xy取得最大值一正:x,y必须是正数;二定:和“x+y”为定值或积“xy”为定值;三相等:等号是否能够取到若xy=p,则当x=y时和x+y取得最小值2在利用基本不等式求两个数或代数式的最值时必须注意的
2、三个条件是什么?提示:x,y必须是正数.求积xy的最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y的最小值时,应看积xy是否为定值.等号成立的条件是否满足.综上,解决问题时要注意“一正、二定、三相等”.1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)对于任意实数x,y,若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值s2.()(2)若两个正数的积是定值p,则这两个正数的和一定有最小值2.()(3)因为sin x=1(x(0,2)为定值,所以y=sin x+有最小值.()(4)若关于x的不等式(1+k2)xk4+4的解集为M,则必有2M.()提示:(1).条件中没有说明x,y(0,+),故错误.
3、(2).等号不一定能取到,故错误.(3).sin x可正可负,故不满足两数都为正数,故错误.(4).把x=2代入不等式可得(1+k2)2k4+4,即k4-2k2+20,因为k4-2k2+2=+11恒成立,故k4-2k2+20成立.2.若x0,则x+的最小值为()A.2B.3C.2D.4【解析】选D.因为x0,所以x+2=4,当且仅当x=,即x=2时等号成立,所以x+的最小值为4.3.(教材二次开发:例题改编)(2020大连高一检测)设a,b是实数且a+2b=3,则2a+4b的最小值为.【解析】根据题意,有2a+4b2=2=2=2=4,当且仅当2a=4b时取最小值4.答案:4关键能力合作学习类型
4、一利用基本不等式求最值(逻辑推理)1.(2020银川高一检测)已知x2,y=x+,则y的最小值为()A.2B.1C.4D.32.已知函数f(x)=x+(x1)的最小值为.【解析】1.选C.因为x2,y=x+,所以y=(x-2)+22+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时取等号.2.选D.由题意,因为x0,则f(x)=x+=-2=-4,当且仅当-x=,即x=-2时取等号,所以f(x)的最大值为-4.3.因为x+5=(x-1)+62+6=8,所以log23,所以ymin=3,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.答案:3利用基本不等式求最值的两种形式及相应的策略(1)形式一:积定和最小.当a,b
5、都为正数,且ab为定值时,有a+b2(定值),当且仅当a=b时,等号成立,此时a+b有最小值,即“积定和最小”.(2)形式二:和定积最大.当a,b都为正数,且a+b为定值时,有ab(定值),当且仅当a=b时,等号成立,此时ab有最大值,即“和定积最大”.以上两类问题可简称为“积大和小”问题.【补偿训练】已知t0,则函数y=的最小值为.【解析】y=t+-42-4=-2,当且仅当t=,即t=1或t=-1(舍)时,等号成立,所以y的最小值为-2.答案:-2类型二利用基本不等式求范围(逻辑推理)角度1一般求范围问题【典例】已知x0,y0,且满足+=2,则8x+y的取值范围是.【思路导引】利用已知条件,
6、使代数式8x+y能利用基本不等式求最值.【解析】因为x0,y0,+=2,则+=1,所以8x+y=(8x+y)=5+5+2=9.当且仅当=y=4xx=,y=3时,等号成立.所以,8x+y的取值范围是9,+).答案:9,+)已知a,b为正实数,向量m=(a,a-4),向量n=(b,1-b),若mn,则a+b的取值范围为.【解析】因为mn,所以a(1-b)-b(a-4)=0,所以a+4b=2ab,所以+=1,且a,b为正实数,所以a+b=+2+2+=,当且仅当=时取“=”.所以a+b的取值范围为.答案:角度2含参数不等式的求参数问题【典例】不等式|x2-3x|+x2+32kx恒成立,则k的取值范围是
7、.【思路导引】先分离参数,再利用基本不等式求最值,最后得出范围.【解析】当x1,9时,不等式|x2-3x|+x2+32kx等价为k,设f(x)=,当1x3时,f(x)=3+在1,3上单减,所以f(x)min=f(3)=,当30,b0,+=,若不等式2a+b9m恒成立,则实数m的最大值为()A.8B.7C.6D.5【解析】选C.由已知,可得6=1,所以2a+b=6(2a+b)=66(5+4)=54,当且仅当=时等号成立,所以9m54,即m6.类型三基本不等式的实际应用(数学建模、数学运算)【典例】某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件.(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2
8、000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.四步内容理解题意(1)利用总收入原收入列关系式求解;(2)销售收入原收入+总投入.思路探求(1)设每件定价为t元,将实际问题转化为数学问题,即可解决;(2)分离参数求最值即可.续表书写表达(1
9、)设每件定价为t元,依题意,有t258,整理得t2-65t+1 0000,解得25t40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.(2)依题意,x25时,不等式ax258+50+(x2-600)+x有解,等价于x25时,a+x+有解.因为+x2=10(当且仅当x=30时,等号成立),所以a10.2.当该商品明年的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.题后反思正确列出不等关系是解决问题的关键在应用基本不等式解决实际问题时需要注意的四点(1)先理解题意,设变量时一般把要求最值的变量定为函数;(2)建立相应的函数
10、关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题;(3)在定义域内,求出函数的最值;(4)写出正确答案.桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式,某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,鱼塘周围的基围宽均为2米,如图所示,池塘所占面积为S平方米,其中ab=12.(1)试用x,y表示S;(2)若要使S最大,则x,y的值各为多少?【解析】(1)由题可得,xy=1 800,b=2a,则y=a+b+6=3a+6,S=(x-4)a+(x-6)b=(3x-16)a=(3x-16
11、)=1 832-6x-y(x6,y6,xy=1 800).(2)S=1 832-6x-y1 832-2=1 832-480=1 352,当且仅当6x=y,xy=1 800,即x=40,y=45时,S取得最大值1 352.课堂检测素养达标1.若a0,b0,且ln(a+b)=0,则+的最小值是()A.B.1C.4D.8【解析】选C.由a0,b0,ln(a+b)=0,可得所以+=+=2+2+2=4,当且仅当a=b=时等号成立.所以+的最小值为4.2.函数y=3-x(x0)的最大值为()A.-1B.1C.-5D.5【解析】选A.因为y=3-x=3-且x0,故可得y=3-3-2=-1.当且仅当x=,即x=2时取得最大值.3.(教材二次开发:习题改编)若直线+=1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.【解析】因为直线+=1过点(1,2),所以+=1.因为a0,b0,所以2a+b=(2a+b)=4+4+2=8,当且仅当b=2a时等号成立.答案:84.已知x,y0且x+y=1,则p=x+y+的最小值为.【解析】x+y+=x+y+=3+3+2=5,当且仅当x=y=时等号成立.答案:5
