1、活页作业(十一)直线与平面垂直一、选择题1如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边ABCD解析：由线面垂直的判定定理知，直线垂直于图形所在的平面对于图形中的两边不一定是相交直线，故该直线与它们所在的平面不一定垂直答案：A2如图所示，PA平面ABC，ABC中BCAC，则图中直角三角形的个数为()A4B3C2D1解析：BC面PACBCPC，直角三角形有PAB，PAC，ABC，PBC，故选A答案：A3用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a，b，则
2、ab；若a，b，则ab.其中真命题的序号是()ABCD解析：对于，由基本性质4“平行于同一直线的两条直线互相平行”可知，正确；对于，如长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD，CDAD，此时AB平行于CD，因此不正确对于，如当平面时，平面内的任意两条直线a，b都平行于平面，显然此时直线a，b可能相交，因此不正确对于，由“垂直于同一平面的两条直线平行”可知其正确性综上所述，其中真命题的序号是.答案：C4已知三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH平面ABC于H，则垂足H是三角形ABC的()A外心B内心C垂心D重心解析：PA、PB、PC两两垂直，PA平面PBC，PAB
3、C又BCPH，PAPHP，BC平面PAH，AH平面PAH，BCAH.同理ABCH，ACBH.点H为ABC的垂心答案：C二、填空题5.如图所示：直角ABC所在的平面外一点S，SASBSC，点D为斜边AC的中点则直线SD与平面ABC的位置关系为_解析：SASC，点D为斜边AC的中点，SDAC连接BD，在RtABC中，则ADDCBD，ADSBDS，SDBD又ACBDD，SD平面ABC答案：垂直6已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PCBD，则平行四边形一定是_解析：PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA，又BDPC，PAPCP，BD平面PACAC平面PAC，BDACABCD为菱形答案
4、：菱形三、解答题7如图，已知ABC中，ACB90，SA平面ABC，ADSC于D，求证：AD平面SBC解析：ACB90，BCAC又SA平面ABC，SABC又ACSAA，BC平面SACAD平面SAC，BCAD又SCAD，SCBCC，AD平面SBC 8如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，试确定点F的位置，使得D1E平面AB1F.解：连接A1B、CD1，则AB1A1B，所以AB1平面A1BCD1.又D1E平面A1BCD1，所以D1EAB1.于是D1E平面AB1FD1EAF.连接DE，又D1DAF，D1ED1DD1，所以AF平面EDD1，所以DE
5、AF.因为四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，所以，当且仅当F是CD的中点时，DEAF，即当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F.一、选择题1已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面与直线m垂直，则直线n与平面的关系是()AnBn或nCn或n与不平行Dn解析：l，且l与n异面，n，又m，nm，n.答案：A2如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点现沿AE，AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B，C，D三点重合于点G，则下列结论中成立的是()AAG平面EFGBAH平面EFGCGF平面AEFDGH平面AEF解析：AGGF，AGGE，GFGEG，A
6、G平面EFG.答案：A二、填空题3设表示平面，a，b表示直线a，abb；a，abb；a，bab.上述说法中正确的序号是_解析：正确；中b与可能平行，也可能在内，故不正确；易知正确答案：4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN_解析：B1C1平面ABB1A1，B1C1MN又MNB1M，B1C1B1MB1，MN平面C1B1MMNC1MC1MN90答案：90三、解答题5如图，在多面体中，四边形ABCD是正方形，AB2EF，EFAB，EFFB，BFFC，H为BC的中点求证：AC平面EDB证明：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连接
7、EG，GH，则GHAB，GHABAB2EF，EFAB，GHEF，四边形EFHG为平行四边形，则EGFH.由四边形ABCD为正方形，得ABBCEFAB，EFBCEFFB，且FBBCB，EF平面BFC又FH平面BFC，EFFH，ABFH.BFFC，H为BC的中点，FHBCABBCB，FH平面ABCDAC平面ABCD，FHAC，EGAC又ACBD，BDEGG，AC平面BDE.6.如图，在矩形ABCD中，AB1，BCa(a0)，PA平面ABCD，且PA1，问BC边上是否存在点Q，使得PQQD，并说明理由解：假设存在点Q，使得PQQD连接AQ.由已知PA平面ABCD，且DQ平面ABCD，PADQ.又PQDQ，且PQPAP，PQ，PA平面PAQ，DQ平面PAQ.AQ平面PAQ，AQDQ.设BQx，则CQax，AQ2x21，DQ2(ax)21.AQ2DQ2AD2，x21(ax)21a2，即x2ax10(*)方程(*)的判别式a24.a0，当0，即0a2时，方程(*)无实根；当0，即a2时，方程(*)有唯一实根，此时x1；当0，即a2时，方程(*)有两个不等实根，设两个实根分别为x1，x2.由于x1x2a0，x1x210，则这两个实根均为正数因此，当0a2时，BC边上不存在点Q使PQQD；当a2时，BC边上存在唯一一点Q(即BC中点)，使PQQD；当a2时，BC边上存在不同的两点Q，使PQQD