1、动点与函数图象【例1】如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为CD的中点，连接AE、BE，点M从点A出发沿AE方向向E匀速运动，同时点N从点E出发沿EB方向向点B匀速运动，点M、N的速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t，连接MN，设EMN的面积为S，则S关于t的函数图象为（）A B C D【答案】D.【解析】解：由题意知，AD=DE=CE=BC=4，AE=4，AED=BEC=45，MEN=90，又EN=t，EM=4t，S=，（0t4）图象为抛物线，开口朝下，当x=2时，S取最大值4，故答案为D.【变式1-1】如图，点 P 是边长为 2 cm 的正方形 ABCD 的边上一动点，O
2、是对角线的交点，当点 P 由 ADC 运动时，设 DP=x cm，则POD 的面积 y（cm2） 随 x（cm）变化的关系图象为（ ） A B C D【答案】B.【解析】解：当P点在AD上运动时，0x2时，y=PD1=x，当P点在DC上运动时，0x2，y=PD1=x，故答案为：B.【变式1-2】如图，在ABC中，ABC60，C45，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DEBC，BDDE2，CE，BC动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BDEC匀速运动，运动到点C时停止过点P作PQBC于点Q，设BPQ的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）ABCD【答案】D.【解
3、析】解：PQBQSBPQPQBQ当点P在BD上（即0st2s）BPt，BQPQcos60t，PQBPsin60tSBPQPQBQttt2该图象是关于t的二次函数，其图象为一段开口朝上的抛物线；当P在DE上时（即2st4s）PQBDsin60，BQBDcos60+（t2）t1SBPQPQBQ（t1）t，该图象为一条线段，由左向右上升；当P在DE上时（即4sts）PQPCsin45t，BQBCCQ+tSBPQPQBQ=（t）（+t）通过计算可知，此时函数解析式为二次函数，且二次项系数为：0，即该段图象为一段开口朝下的抛物线；综上所述，答案为D.【例2】如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC和BD
4、交于点E，点F是BC边上一动点（不与点B，C重合），过点E作EF的垂线交CD于点G，连接FG交EC于点H设BFx，CHy，则y与x的函数关系的图象大致是（ ）ABCD【答案】A.【解析】解：四边形ABCD是正方形，EBFECG45，ACBD，EBEC，EFEG，BECFEG90，BEFCEG，BEFCEG，EFEG，EFG45，CFHBEF，BEFCFH，yx2+x（0x），图象为一段开口朝下的抛物线，即答案为：A【变式2-1】如图1，在矩形ABCD中，ABBC，点E为对角线AC上的一个动点，连接BE，DE，过E作EFBC于F设AEx，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如
5、图2所示，则这条线段可能是图1中的（）A线段BEB线段EFC线段CED线段DE【答案】D【解析】解：A、由图1可知，若线段BE是y，则y随x的增大先减小再增大，而BABC，选项A错误；B、由图1可知，若线段EF是y，则y随x的增大而减小，选项B错误；C、由图1可知，若线段CE是y，则y随x的增大而减小，选项C错误；D、由图1可知，若线段DE是y，则y随x的增大先减小再增大，而由由大变小的距离大于由小变大的距离，在点A的距离是DA，在点C时的距离是DC，DADC，选项D正确；故答案为：D【变式2-2】（2018洛宁县模拟）如图1，正ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点，且APD=60，PD
6、交AC于点D，设线段PB的长度为x，图1中某线段的长度为y，y与x的函数关系的大致图象如图2，则这条线段可能是图1中的（ ）图1 图2A线段ADB线段APC线段PDD线段CD【答案】A.【解析】解：APD=60，ABC是等边三角形，B=C=60，APB+CPD=120，PDC+CPD=120，APB=PDC，ABPPCD，,即：，CD=，当x=0时，CD=0，不符题意；AD=4CD=4=，符合题意，即答案为：A.【例3】如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2 cm/s若P，Q同时开始运动，
7、设运动时间为t（s），BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则的值为（ ）ABCD图1 图2【答案】D.【解析】解：由图象可知，t=8时，P点与E点重合；t=10时，P与D点重合，P点的运动速度为2cm/s，DE=4，BE=16，SBCE=BCCD=8 CD，即8 CD=32，即CD=4，=,故答案为：D.【变式3-1】如图 1，动点 K 从ABC 的顶点 A 出发，沿 ABBC 匀速运动到点 C 停止在动点 K 运动过程中，线段 AK 的长度 y 与运动时间 x 的函数关系如图 2 所示，其中点 Q 为曲线部分的最低点，若ABC 的面积是，则 a 的值为图1 图2【答案
8、】【解析】解：由图可知，Q点对应的是AKBC的位置，即ABC边BC上的高为5，由ABC的面积是，得：BC=，由抛物线的两端纵坐标相等，即对应的AK的长度相等，说明AB=AC，由勾股定理得：AB=,即a=，故答案为：.【变式3-2】如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿ABC方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MNAM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CNy，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（ ）A20B18C10D9【答案】A【解析】解:由图2知：AB+BC9，设ABm，则BC9m，如图所示，当点M在BC上时，则ABm，BMxa，MC9x，NCy
9、，MNAM，则MABNMC，tanMABtanNMC，即,即，化简得：yx2+x9，当x时，y取最大值，即9，解得：m5或m=16.2（舍），AM5，BC4，ABCD的面积为20，故答案为：A1.如图，点A在x轴上，点B，C在反比例函数y（k0，x0）的图象上有一个动点P从点A出发，沿ABCO的路线（图中“”所示路线）匀速运动，过点P作PMx轴，垂足为M，设POM的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）ABCD【答案】D.【解析】解：设点P的运动速度为x，（1）当点P在AB上时，S=OAAP=OAat，该段函数图象为一条线段，且S随t的增大而增大，（2）点P在曲线BC上
10、时，S=k，为一定值，即图象为一条平行于x轴的线段；（3）点P在OC上时，S=PMOM设AOC=，P运动全路程为s，则OP=sat，则S=PMOM=OPsinOPcos=（sat）2sincos函数图象为一段开口朝上的抛物线，且S随t的增大而减小；综上所述，答案为：D.2.如图，已知ABC为等边三角形，AB2，点D为边AB上一点，过点D作DEAC，交BC于E点；过E点作EFDE，交AB的延长线于F点设ADx，DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）ABCD【答案】A.【解析】解：ABC是等边三角形，ACABC60，DEAC，EDFA60，DEBB60EFDE，DEF90，F9
11、0EDC30；EDBDEB60，EDB是等边三角形EDDB2x，在RtDEF中，EFED（2x）yEDEF（2x）（2x），（x2）2，（0x2），图象为一段开口朝上的抛物线，y随x增大而减小；所以答案为：A3.如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿PDQ运动，点E、F的运动速度相同设点E的运动路程为x，AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）ABCD【答案】A.【解析】解：由题意知，（1）当点F在PD上运动时，AEF的面积为y=AEAD2x（0x2），为一次函数，图象为直线；（2）
12、当F在AD上运动时，AEF的面积为：y=AEAF=x(6x)=x2+3x,为二次函数，且开口朝下；故答案为：A4.如图甲，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，Q同时从B点出发，点P沿BEEDDC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒时，BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系的图象如图乙（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：当0t5时，y=t2 tanABE=点H的坐标为（11，0）ABE与QBP不可能相似其中正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上）【答案】.【解析】解：过点P作PFBC于F，根据面积不变时BPQ的面积为10，可
13、得：AB=4，ADBC，AEB=PBF，sinPBF=sinAEB=，PF=PBsinPBF=t，当0t5时，y=BQPF=t2即正确；由图知：ED=2，AE=ADED=52=3，tanABE=，正确；由图象知，在D点时，出发时间为7s，由CD=4，得H（11，0），正确；当ABE与QBP相似时，点P在DC上，tanPBQ=tanABE=，即，解得：t=错误；故答案为：5.如图1，在等边ABC中，点D是BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，设，图1中线段DP的长为，若表示与的函数关系的图象如图2所示，则等边ABC的面积为 .【答案】4.【解析】解：由垂线段最短可知，当DPAB时，y取最小值，
14、此时，由B=60，得：BD=tan60=2，BC=4，SABC=4，即答案为：4.6.如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（ ）ABCD【答案】B.【解析】解：当0x1时，重叠部分为ABC，面积为：，当1x2时，重叠部分为等边三角形，边长BC=2x，面积为：，为开口朝上的抛物线，综上所述，答案为：B.7.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿ADEFGB的路线绕多边形的边匀速运动到点
15、B时停止（不含点A和点B），则ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（ ）ABCD【答案】B【解析】解：当点P在AD上时，S=ABAP=AP，则S随着时间t的增大而增大；当点P在DE上时，S=2，S保持不变；当点P在EF上时，ABP的底AB不变，高减小，则S随着时间t的增大而减小；当点P在FG上时，S=1，面积S不变；当点P在GB上时，S=ABBP=BP，S随着时间t的增大而减小；故答案为：B8.如图1，在ABC中，C=90，动点P从点C出发，以1cm/s的速度沿折线CAAB匀速运动，到达点B时停止运动，点P出发一段时间后动点Q从点B出发，以相同的速度沿BC匀速运动，当点P到达点B时，点
16、Q恰好到达点C，并停止运动，设点P的运动时间为t s，PQC的面积为S cm2，S关于t的函数图象如图2所示（其中0t3，3t4时，函数图象均为线段（不含点O），4t8时，函数图象为抛物线的一部分）给出下列结论：AC=3cm；当S=时，t=或6下列结论正确的是（ ）A都对B都错C对错D错对【答案】A.【解析】解：由函数图象可知当0t3时，点P在AC上移动，AC=t1=31=3cm故正确；在RtABC中，SABC=6，即BC3=6，得：BC=4由勾股定理可知：AB=5（1）当0t3时，S=BCPC=4t=2t（2）当3t4时，PB=AB-AP=5-（t-3）=8-t，过点P作PHBC，垂足为H，
17、则，PH=PB=（8-t），S=BCPH =4（8-t）=-t+，（3）当4t8时，过点P作PHBC于H同理：S= 当0t3时，2t=，解得t，当3t4时，t+，解得：t=7（舍去），当4t8时，解得t=6或t=10（舍去），当t为或6时，PQC的面积为故正确故答案为：A9.如图，平行四边形ABCD中，AB=cm，BC=2cm，ABC=45，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BCCDDA运动如图，在等腰ABC中，AB=AC=4cm，B=30，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发以2cm/s的速度沿BAC运动到点C停止，若BPQ的面积为y，运动时间为
18、t（s），则y与t的函数关系式为：.【答案】y=.【解析】解：当点Q在线段AB上运动时，即0t2，过点Q作QHBC于H，由题意知，BQ=t，BP=2t，B=30，QH=t，y=BPQH=（2t）t=t2，当点Q在线段AC上运动时，即2t4，过点Q作QHBC于H，由题意知，CQ=8t，BP=2t，C=30，QH=（8t），y=BPQH=（2t）（8t）=（8tt2）=，综上所述，y=.11.如图，在四边形ABCD中，ADBC，DCBC，DC=4 cm，BC=6 cm，AD=3 cm，动点P，Q同时从点B出发，点P以2 cm/s的速度沿折线BA-AD-DC运动到点C，点Q以1 cm/s的速度沿BC
19、运动到点C，设P，Q同时出发t s时，BPQ的面积为y cm2，则y与t的函数图象大致是（ ） A B C D【答案】B.【解析】解：过A作AFBC于E，则四边形ADCF是矩形，AD=CF=3，CD=AF=4，BF=3，在RtABF中，由勾股定理得：AB=5，P点从B运动到A点需2.5 秒，（1）当0t2.5时，过P作PEBC于E， PEAF，,，即PE=，y=BQPE=t=，是一段开口朝上的抛物线；（2）当2.5t4时，P点在AD上运动，y=BQCD=2t，是一条线段；（3）当4t6时，P点在CD上运动，y=BQCP=t(122t)=6tt2，函数图象为一段开口朝下的抛物线，综上所述，选项B
20、符合要求，故答案为：B.12.如图，菱形ABCD的边长是4 cm，B=60，动点P以1 cm/s的速度从点A出发沿AB方向运动至点B停止，动点Q以2 cm/s的速度从点B出发沿折线BCD运动至点D停止若点P，Q同时出发，运动了t s，记BPQ的面积为S cm2，则下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（ ）ABCD【答案】C.【解析】解：当点Q在线段BC上时，即0t2时，S=BQBPsinB=2t（4t）=，图象为开口朝上的抛物线；当点Q在线段CD上时，即20),正方形MNPQ与ABC公共部分的面积为y,则y与x的函数图象大致是() A B C D【答案】D.【解析】解：当PQ在边BC上时，
21、由题意知，MNBC，过A作AHBC于H，交MN于G，,即，解得：x=2.4，当0x2.4时，正方形MNQP在ABC的内部，y=x2，为开口朝上的抛物线，当2.4x4时，过A作AHBC于H，交MN于G，则，即，解得：AG=x，GH=4-x，y=MNGH=x(4-x)，为开口朝下的抛物线，对称轴为：x=3，即选项D符合题意，即答案为：D.15.如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,1),B(，0)，以线段AB为边向上作菱形ABCD，且点D在y轴上. 若菱形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿射线AB滑行，直至顶点D落在x轴上时停止设菱形落在x轴下方部分的面积为S，则表示S与滑行时间t的函数关系的图象为（）图1 图2A B C D【答案】A.【解析】解：由A(0,1),B(，0)，得：ABO=30，ADC=OAB=60，菱形的高为：.（1）当点A在x轴上方时，菱形落在x轴下方部分为三角形，S=（2t）t=t2，图象为开口朝上的抛物线；（2）当点A在x轴上方时，点C在x轴上方时，菱形落在x轴下方部分为梯形，S=（t+t-1）=t，图象为一段线段；（3）当点C在x轴下方时，S=2（6-2t）（6-2t）=2(t-3)2图象为开口朝下的抛物线；综上所述，选项A符合要求；故答案为：A.