1、第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题(重、难点)借助导数解决实际问题，提升数学建模、数学运算的素养.自 主 预 习 探 新 知 1生活中的优化问题(1)生活中经常会遇到求、等问题，这些问题通常称为优化问题(2)用导数解决优化问题的实质是求函数的最值利润最大用料最省效率最高2用导数解决优化问题的基本思路1已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y 13 x381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A7万件 B9万件C1
2、1万件D13万件B 设yf(x)，即f(x)13 x381x234，故f(x)x281.令f(x)0，即x2810，解得x9或x9(舍去)当0 x0，函数yf(x)单调递增；当x9时，f(x)0)为使耗电量最小，则速度应定为_40 yx239x40，令y0，即x239x400，解得x40或x1(舍)当0 x40时，y40时，y0，所以当x40时，函数y13x3392 x240 x有最小值合 作 探 究 释 疑 难 面积、体积的最值问题【例1】用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如图所示)问该容器的高为多
3、少时，容器的容积最大？最大容积是多少？思路点拨 设自变量高为x 根据长方体的体积公式建立体积关于x的函数 利用导数求出容积的最大值结论 解 设容器的高为x cm，容器的容积为V(x)cm3，则 V(x)x(902x)(482x)4x3276x24 320 x(0 x24)所以V(x)12x2552x4 320 12(x246x360)12(x10)(x36)令V(x)0，得x10或x36(舍去)当0 x10时，V(x)0，即V(x)单调递增；当10 x24时，V(x)0，即V(x)单调递减 因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x10时取得最大值，其最大值为V(10)19 600(c
4、m3)因此当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3.1求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值2实际问题中函数定义域确定的方法(1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零；(2)根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等跟进训练1已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为_6S3 设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底2r2，S圆柱侧2rh，圆柱的表面积S2r22rh.hS2r22r.又圆柱的体积Vr2h，r2(S
5、2r2)rS2r32，V(r)S6r22，令V(r)0得S6r2，h2r，因为V(r)只有一个极值点，故当h2r时圆柱的容积最大 此时，S2h24 h2，h 6S3.用料(费用)最省问题【例2】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)k3x5(0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的函数解析式；(2)隔热层修建多厚时，总
6、费用f(x)达到最小，并求最小值思路点拨 代入数据求k的值建造费用加上每年能源消耗费用总和得出总费用f(x)利用导数求最值 解(1)设隔热层厚度为x cm，由题设可知，每年能源消耗费用为C(x)k3x5，再由C(0)8，得k40，因此C(x)403x5，而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f(x)20C(x)C1(x)20 403x56x 8003x56x(0 x10)(2)f(x)6 2 4003x52，令f(x)0，即 2 4003x526，解得x5，x253(舍去)，当0 x5时，f(x)0，当5x0，故x5时，为f(x)的最小值点，对应的最小值
7、为f(5)65 80015570.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元解决优化问题时应注意的问题 1列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域.2一般地，通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数fx在给定区间内只有一个极值点或函数fx在开区间上只有一个点使fx0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较.跟进训练2已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水而行到B地，水速为8千米/小时，船在静水中的速度为v千米/时(8vv0)若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比当v12千米/时时，每小时的燃料费为720元，
8、为了使全程燃料费最省，船的静水速度为多少？解 设每小时的燃料费为y1，比例系数为k，则y1kv2.当v12时，y1720，720k122，解得k5，y15v2.全程的燃料费 yy1 200v81 000v2v8(8vv0)y2 000vv81 000v2v821 000v216 000vv82.令y0得v16或v0(舍去)所以函数在v16时取得极值，并且是极小值 当v016时，v16使y最小，即全程燃料费最省 当8v016时，可得y1 000v2v8 在(8，v0上递减，即当vv0时，ymin1 000v20v08.综合上述得：若v016，则当v16千米/时时，全程燃料费最省；若8v016千米
9、/时，则当vv0时，全程燃料费最省利润最大(成本最低)问题 探究问题1在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值2你能列举几个有关利润的等量关系吗？提示：(1)利润收入成本(2)利润每件产品的利润销售件数【例3】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式yax3 10(x6)2，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克
10、，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大思路点拨(1)根据x5时，y11，求a的值(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值 解(1)因为x5时，y11，所以a21011，a2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量 y 2x310(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)(x3)2x310 x62 210(x3)(x6)2,3x6，从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0 f(x)极大值42 由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3
11、,6)内的极大值点，也是最大值点，所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大1利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润收入成本”或“利润每件产品利润销售件数”建立函数关系式，再用导数求最大值2解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误跟进训练3某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6x11)，年销售为u万件，若已知 5858 u与x2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件(1)求年销售利润y关于售价x的函数表达式；(2)求售价为多
12、少时，年利润最大，并求出最大年利润解(1)设5858 ukx2142，售价为10元时，年销量为28万件，5858 28k102142，解得k2.u2x21425858 2x221x18.y(2x221x18)(x6)2x333x2108x108(6x0；当x(9,11)时，y0.函数y2x333x2108x108在(6,9)上单调递增，在(9,11)上单调递减 当x9时，y取最大值，且ymax135，即售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元.课 堂 小 结 提 素 养 1利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量
13、之间的函数关系式yf(x)(2)求函数的导函数f(x)，解方程f(x)0.(3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值2正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用1判断正误(1)生活中的优化问题的实质就是函数的最值问题()(2)生活中的优化问题必须运用导数解决()(3)广告牌的面积最小问题是生活中的优化问题()答案(1)(2)(3)2做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为()A
14、6 m B8 mC4 mD2 mC 设底面边长为x m，高为h m，则有x2h256，所以h256x2.所用材料的面积设为S m2，则有S4xhx24x 256x2 x21 024xx2，S2x1 024x2，令S0，得x8，因此h25664 4(m)3某件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200 x)件，当每件商品的定价为_元时，利润最大115 利润为S(x)(x30)(200 x)x2230 x6 000(30 x20，y25.两栏面积之和为 2(x20)y25218 000，由此得y18 000 x20 25.广告的面积Sxyx18 000 x20 25 18 000 xx20 25x，S18 000 x20 xx20225360 000 x202 25.令S0得x140，令S0得20 x140.函数在(140，)上单调递增，在(20,140)上单调递减，S(x)的最小值为S(140)当x140时，y175，即当x140，y175时，S取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
