1、规范答题必考大题突破课(五)解析几何【热点标签】1.题型:解答题 2.分值:12分 3.难度:中、高档 【热点题型】题型一:直线与圆锥曲线的综合应用:以直线与圆锥曲线为载体,融平面向量、一元二次方程的根与系数的关系于其中,考查弦长关系、面积公式以及运算能力 题型二:探究性问题:以直线与圆锥曲线作为热点内容,经常与不等式、函数、方程以及转化与化归思想等交汇考查 题型一 直线与圆锥曲线的综合问题【真题示例】(12分)(2015陕西高考)已知椭圆:=1(ab0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为 c.2222xyab12(1)求椭圆E的离心率.(2)如图,AB是圆M:
2、(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭 圆 经过A,B两点,求椭圆E的方程.52【信息解读】(1)看到经过两点(c,0),(0,b)的直线,想到直线的方程.(2)看到点到直线的距离,想到点到直线的距离公式.(3)看到AB是圆M的一条直径,想到点M是线段AB的中点.(4)看到椭圆E经过A,B两点,想到AB与椭圆相交于两点.【标准答案】(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为 bx+cy-bc=0,1分 得分点 则原点O到直线的距离d=2分 得分点 由d=c,得a=2b=解得离心率 2分 得分点 22bcbcabc，12222 ac，c3.a2(2)由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2
3、=4b2.依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=.2分 得分点 易知,AB不与x轴垂直,设其直线方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆E的方程得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0,10设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=x1x2=2分 得分点 由x1+x2=-4,得 =-4,解得k=.从而x1x2=8-2b2.28k 2k1,1 4k2224 2k14b.14k28k 2k11 4k12于是|AB|=|x1-x2|=由|AB|=,得 解得b2=3.故椭圆E的方程为 =1.3分 得分点 211()22212125xx4x x10
4、b2.210210 b210，22xy123【得分细则答题规则】第(1)问踩点说明(针对得分点)：运用直线截距式方程变形可得1分.得分点有两处：一是应用点到直线的距离公式可 得1分；二是化简得到 再得1分.bca得分点有两处:一是应用距离为 c得1分;二是得到正确结果 再得1分.第(2)问踩点说明(针对得分点)：得分点有两处：一是应用(1)得出椭圆方程可得 1分；二是正确求出|AB|的值再得1分.12c3a2，得分点有两处：一是联立方程消元得出方程可得1分；二是正确得出两根和与积再得1分.得分点有三处：一是利用中点坐标求出k值得1分；二是利用弦长公式得出b2的值得1分；三是准确计算出椭圆方程再
5、得1分.答题规则1：写全解题步骤,步步为“赢”解题时,要将解题过程转化为得分点,对于是得分点的解题步骤一定要写全,阅卷时根据步骤评分,有则得分,无则不得分,如本题中应用弦长公式进行化简、转化的步骤,求关于离心率的步骤等,如果不全,就会失分.答题规则2：准确熟练应用离心率、弦长公式 公式的熟记与灵活应用是得分关键,本题中应用公式较多,如离心率、弦长、中点坐标公式,能够正确应用并写出相应步骤即可得分.【跟踪训练】(2016沈阳模拟)如图,椭圆 (ab0)的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,|AF|的最大值为M,|BF|的最小值为m,满足Mm=a2.2222xy1ab34(1)若线段AB垂
6、直于x轴时,|AB|=,求椭圆的方程.(2)设线段AB的中点为G,AB的垂直平分线与x轴和y轴 分别交于D,E两点,O是坐标原点,记GFD的面积为S1,OED的面积为S2,求 的取值范围.321222122S SSS【解析】(1)设F(-c,0)(c0),则根据椭圆性质得 M=a+c,m=a-c,而Mm=a2,所以有a2-c2=a2,即a2=4c2,a=2c,又 且a2=b2+c2,得a=1,b2=,因此椭圆的方程为:x2+=1.343422b3a23424y3(2)由(1)可知a=2c,b=椭圆的方程为 =1.根据条件直线AB的斜率一定存在且不为零,设直线AB 的方程为y=k(x+c),并设
7、A(x1,y1),B(x2,y2),D(xD,0),则由 消去y并整理得:22ac3c，2222xy4c3c2222xy14c3cyk xc，(4k2+3)x2+8ck2x+4k2c2-12c2=0,从而有x1+x2=y1+y2=k(x1+x2+2c)=所以 228ck4k3，26ck4k3，2224ck3ckG().4k3 4k3，因为DGAB,所以 k=-1,xD=由RtFGD与RtEOD相似,所以 22D23ck4k34ckx4k322ck.4k32122SGDSOD222222222224ckck3ck()()94k34k34k399.ckk()4k3令 =t,则t9,从而 即 的取值
8、范围是 12SS1222122S S22911SS41t9t9，1222122S SSS9(0,).41题型二 探究性问题【真题示例】(12分)(2015四川高考)如图,椭圆E:=1(ab0)的离心率是 ,点P(0,1)在短轴 CD上,且 =-1.2222xyab22PC PD(1)求椭圆E的方程.(2)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B 两点.是否存在常数,使得 为定值?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由.OA OBPA PB【信息解读】(1)看到 椭圆的离心率,想到 椭圆的离 心率公式.看到 =-1,想到 向量的数量积公式.(2)看到 动直线与椭圆交于A,B两点,想到 直线
9、方程与 椭圆方程联立.PC PD【标准答案】(1)由已知,点C,D的坐标分别为(0,-b),(0,b),又点P的坐标为(0,1),且 =-1,于是 3分 得分点 解得a=2,b=.1分 得分点 所以椭圆E的方程为 =1.1分 得分点 PC PD22221 b1,c2,a2abc 222xy42(2)当直线AB斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),联立 得(2k2+1)x2+4kx-2=0,其判别式=(4k)2+8(2k2+1)0,所以x1+x2=x1x2=2分 得分点 22xy142ykx1，24k2k1，222k1，从而 =x1x2+y
10、1y2+x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 所以,当=1时,-2=-3,OA OBPA PB 222(24)k(21)12.2k12k1 212k1 此时,=-3为定值.3分 得分点 当直线AB斜率不存在时,直线AB即为直线CD,此时 =-2-.当=1时,-2-=-3,符合.故存在常数=1,使得 为定值-3.2分 得分点 OA OBPA PB OA OBPA PBOC ODPC PD OA OBPA PB【得分细则答题规则】第(1)问踩点说明(针对得分点)：得分点有三处：一是由向量的数量积为-1,得出一个方程可得1分；二是由离心率得出一个方程
11、再得1分；三是写出a,b,c之间的关系再得1分.由得分点中方程正确得出结果得1分.写出椭圆方程得1分.第(2)问踩点说明(针对得分点)：得分点有两处：一是联立直线与椭圆方程并消元得出关于x的一元二次方程可得1分；二是由根与系数的关系得出两根和与积再得1分.得分点有三处:一是由 得出关于 的代数式得1分;二是将 的代数式适当变形得1分；三是得出 的值再得1分.得分点有两处：一是验证斜率不存在时代数式的值得1分；二是得出最后结论得1分.OA OBPA PB 答题规则1：写全解题步骤,步步为“赢”解题时,要将解题过程转化为得分点,对于是得分点的解题步骤一定要写全,阅卷时根据步骤评分,有则得分,无则不
12、得分,如本题中应用离心率公式、向量的数量积公式、椭圆中a,b,c之间的关系,直线与椭圆方程联立化简、转化的步骤、以及向量数量积的运算的步骤等,如果不全,就会失分.答题规则2：准确熟练应用离心率、弦长公式 公式的熟记与灵活应用是得分关键,本题中应用公式较多,如离心率公式、一元二次方程根与系数的关系、向量的数量积,能够正确应用并写出相应步骤即可得分.【跟踪训练】(2016阳泉模拟)已知椭圆C:=1与双曲线 =1(1v4)有公共焦点,过椭圆 C的右顶点B任意作直线l,设直线l交抛物线y2=2x于P,Q两点,且OPOQ.2222xyab22xy4v1v(1)求椭圆C的方程.(2)在椭圆C上,是否存在点
13、R(m,n)使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点M,N,且OMN的面积最大?若存在,求出点R的坐标及对应的OMN的面积；若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为1v4,所以双曲线的焦点在x轴上,设F(c,0),则c2=4-v+v-1=3,由椭圆C与双曲线共焦点,知a2-b2=3,设直线l的方程为x=ty+a,代入y2=2x,可得y2-2ty-2a=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-2a,因为OPOQ,所以x1x2+y1y2=a2-2a=0,所以a=2,b=1,所以椭圆C的方程为 +y2=1.2x4(2)在MON中,SOMN=|OM|ON|sinMON=sinMON,当MON=90时,sinMON有最大值,即SOMN有最大值 ,此时点O到直线l的距离为d=12121222122mn，所以m2+n2=2.又因为m2+4n2=4,联立 解得m2=,n2=,此时点 MON的面积为 .2222mn2,m4n4,43232 362 36R(,)()3333或，12
