1、甘肃省天水市秦安二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（每题只有一个选项正确，请将正确选项涂到答题卡上4分*10=40分）1（4分）已知集合M=x|4x7，N=x|x2x60，则MN为（）Ax|4x2或3x7Bx|4x2或3x7Cx|x2或x3Dx|x2或x32（4分）抛物线 x2=y的准线方程是（）A4x+1=0B4y+1=0C2x+1=0D2y+1=03（4分）已知条件，条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分也非必要条件4（4分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（
2、）AB4C4D5（4分）首项为20的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）AdBdCdDd6（4分）已知a0，b0，a+b=1，则y=的最小值是（）AB4C9D57（4分）椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则P到F2的距离为（）ABCD48（4分）在等比数列an中，若a3、a7是方程3x211x+9=0的两根，则a5的值为（）A3B3CD9（4分）已知双曲线=1（a0，b0）的渐近线方程为y=2x，则其离心率为（）A5BCD10（4分）数列an满足an+1+（1）nan=2n1，则an的前60项和为（）A3690B3660C184
3、5D1830二、填空题（请将所解的答案填在答题卡相应位置5分*4=20分）11（5分）全称命题“aZ，a有一个正因数”的否定是12（5分）已知a=+，b=+，则ab（填“”或“”）13（5分）已知12a60，10b20，则的取值范围是14（5分）已知向量，若，则16x+4y的最小值为三、解答题（10分*4=40分）15（10分）设an是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4（）求an的通项公式；（）设bn是首项为1，公差为2的等差数列，求数列an+bn的前n项和Sn16（10分）在对角线有相同长度d的所有矩形中（1）怎样的矩形周长最长，求周长的最大值；（2）怎样的矩形面积最大，求面积的最
4、大值17（10分）已知椭圆G：=1（ab0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（3，2）（）求椭圆G的方程；（）求PAB的面积18（10分）已知抛物线C：y2=2px（p0）过点A（1，2）（）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由甘肃省天水市秦安二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题只有一个选项正确，请将正确选项涂到答题卡上4分*
5、10=40分）1（4分）已知集合M=x|4x7，N=x|x2x60，则MN为（）Ax|4x2或3x7Bx|4x2或3x7Cx|x2或x3Dx|x2或x3考点：交集及其运算 分析：根据交集的定义及其运算进行求解解答：解：N=x|x2x60，N=x|x3或x2，又M=x|4x7，MN=x|3x7或4x2，故选A点评：此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题2（4分）抛物线 x2=y的准线方程是（）A4x+1=0B4y+1=0C2x+1=0D2y+1=0考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=1，再直接代入即可
6、求出其准线方程解答：解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=，所以：=，准线方程 y=，即4y+1=0故选：B点评：本题主要考查抛物线的基本性质解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置3（4分）已知条件，条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分也非必要条件考点：直线与圆的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断 分析：直线与圆相切，求出k的值，再判断pq的充要条件关系解答：解：由q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，1+k2=4，k=，显然pq；q得不出p故选A点评：本
7、题考查直线与圆的位置关系，充要条件的判断，是基础题4（4分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）AB4C4D考点：双曲线的简单性质 专题：计算题分析：由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值解答：解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，m0，且双曲线方程为，m=，故选A点评：本题考查双曲线性质的灵活运用，比较简单，需要注意的是m05（4分）首项为20的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）AdBdCdDd考点：等差数列的通项公式 专题：计算题分析：利用等差数列的通项公式求出第10项和第9项，据题意知第
8、10项大于0，第9项小于等于0，列出不等式可解解答：解：设公差为d，则a10=20+9d0，a9=20+8d0解得d故选C点评：本题考查等差数列的通项公式、利用通项公式求特殊项、解不等式，属基础题6（4分）已知a0，b0，a+b=1，则y=的最小值是（）AB4C9D5考点：基本不等式 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：利用题设中的等式，把y的表达式转化成（a+b）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值解答：解：a+b=1，y=（a+b）（）=5+5+2=9，当且仅当，即b=2a时等号成立故选：C点评：本题主要考查了基本不等式求最值注意把握好一定，二正，三相等的原则7（4分）椭圆的两个焦点
9、为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则P到F2的距离为（）ABCD4考点：椭圆的简单性质 专题：计算题分析：根据椭圆的方程求出椭圆的焦点坐标，然后结合题意求出P点的坐标可得的长度，再根据椭圆的定义计算出解答：解：由椭圆可得椭圆的焦点坐标为（，0）设F点的坐标为（，0）所以点P的坐标为（，），所以=根据椭圆的定义可得，所以故选C点评：解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的有关性质与椭圆的定义8（4分）在等比数列an中，若a3、a7是方程3x211x+9=0的两根，则a5的值为（）A3B3CD考点：等比数列的性质；一元二次方程的根的分布与系数的关系 专题：计算题分析：首先根
10、据韦达定理得出a3a7=3 a3+a7=0，从而判断a50，然后由等比数列的性质得出a3a7=a25，求出结果解答：解：a3、a7是方程3x211x+9=0的两根a3a7=3 a3+a7=0a3a7=a25 a3+a7=0a5=故选C点评：本题考查了韦达定理以及等比数列的性质，解题过程要注意判断出a5的正负，属于基础题9（4分）已知双曲线=1（a0，b0）的渐近线方程为y=2x，则其离心率为（）A5BCD考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线渐近线的方程，确定a，b的关系，进而利用离心率公式求解解答：解：双曲线=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，即b=2a
11、，离心率e=故选：D点评：本题主要考查双曲线的性质，要求熟练掌握双曲线的渐近线方程和离心率的公式10（4分）数列an满足an+1+（1）nan=2n1，则an的前60项和为（）A3690B3660C1845D1830考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得 a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a6a5=9，a7+a6=11，a50a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，利用数列的结构特征，求出an的前60项和解答：解：由于数列
12、an满足an+1+（1）n an=2n1，故有 a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a6a5=9，a7+a6=11，a50a49=97从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列an的前60项和为 152+（158+）=1830，故选D点评：本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列的结构特征，属于中档题二、填空题（请
13、将所解的答案填在答题卡相应位置5分*4=20分）11（5分）全称命题“aZ，a有一个正因数”的否定是a0Z，a0没有正因数考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以全称命题“aZ，a有一个正因数”的否定是：a0z，a0没有正因数故答案为：a0Z，a0没有正因数点评：本题考查全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查12（5分）已知a=+，b=+，则ab（填“”或“”）考点：不等式比较大小 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：先平方，比较得出a2b2，即可得出结论解答：解：a2=（+）2=13+2，b2=（+
14、）2=13+2，a2b2，a0，b0，ab故答案为：点评：本题考查不等式比较大小，考查学生的计算能力，比较基础13（5分）已知12a60，10b20，则的取值范围是考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：直接由已知条件作出关于a，b的可行域，然后由的几何意义得答案解答：解：由12a60，10b20作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点与原点连线的斜率，的取值范围是故答案为：点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14（5分）已知向量，若，则16x+4y的最小值为8考点：基本不等式；数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：平面向量及应用分析：利用向量垂
15、直的充要条件：数量积为0，得到x，y满足的等式；利用幂的运算法则将待求的式子变形；利用基本不等式求出式子的最小值，注意检验等号何时取得解答：解：4（x1）+2y=0即4x+2y=4=当且仅当24x=22y即4x=2y=2取等号故答案为8点评：本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0；考查利用基本不等式求函数的最值需注意满足的条件：一正、二定、三相等三、解答题（10分*4=40分）15（10分）设an是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4（）求an的通项公式；（）设bn是首项为1，公差为2的等差数列，求数列an+bn的前n项和Sn考点：等比数列的通项公式；数列的求和 专题：计算题分析：（）
16、由an是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得an的通项公式（）由bn是首项为1，公差为2的等差数列 可求得bn=1+（n1）2=2n1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列an+bn的前n项和Sn解答：解：（）设an是公比为正数的等比数列设其公比为q，q0a3=a2+4，a1=22q2=2q+4 解得q=2或q=1q0q=2 an的通项公式为an=22n1=2n（）bn是首项为1，公差为2的等差数列bn=1+（n1）2=2n1数列an+bn的前n项和Sn=+=2n+12+n2=2n+1+n22点评：本题考查了等比数列的通项公式及数列
17、的求和，注意题目条件的应用在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题16（10分）在对角线有相同长度d的所有矩形中（1）怎样的矩形周长最长，求周长的最大值；（2）怎样的矩形面积最大，求面积的最大值考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：（1）设矩形的两邻边长分别为x，y，易得x2+y2=d2，周长c=2（x+y），可得c2=4（x+y）2=4（x2+y2+2xy）4（x2+y2+x2+y2）=8d2，开方可得答案；（2）由（1）矩形面积S=xy=2xy（x2+y2）=，注意等号成立的条件即可解答：解：（1）设矩形的两邻边长分别为x，y
18、，由题意可得x2+y2=d2，矩形周长c=2（x+y），c2=4（x+y）2=4（x2+y2+2xy）4（x2+y2+x2+y2）=8d2，当且仅当x=y，即矩形为正方形时，c2取到最大值8d2，周长取到最大值2d；（2）由（1）矩形面积S=xy=2xy（x2+y2）=当且仅当x=y，即矩形为正方形时，矩形面积的最大值点评：本题考查基本不等式求最值，涉及矩形的周长和面积，属基础题17（10分）已知椭圆G：=1（ab0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（3，2）（）求椭圆G的方程；（）求PAB的面积考点：直线与圆锥曲线的综
19、合问题；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a的值，再根据b2=a2c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；（）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出PAB的面积解答：解：（）由已知得，c=，解得a=，又b2=a2c2=4，所以椭圆G的方程为（）设直线l的方程为y=x+m，由得4x2+6mx+3m212=0设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1x2），AB的中点为E（x0，y0），则
20、x0=，y0=x0+m=，因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB，所以PE的斜率k=，解得m=2此时方程为4x2+12x=0解得x1=3，x2=0，所以y1=1，y2=2，所以|AB|=3，此时，点P（3，2）到直线AB：y=x+2距离d=，所以PAB的面积s=|AB|d=点评：此题是个中档题考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力18（10分）已知抛物线C：y2=2px（p0）过点A（1，2）（）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线
21、C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质 专题：计算题分析：（I）将（1，2）代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程（II）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得解答：解：（I）将（1，2）代入抛物线方程y2=2px，得4=2p，p=2抛物线C的方程为：y2=4x，其准线方程为x=1（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=2x+t，由得y2+2y2t=0，直线l与抛物线有公共点，=4+8t0，解得t又直线OA与L的距离d=，求得t=1tt=1符合题意的直线l存在，方程为2x+y1=0点评：本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想