1、第一节 绝对值不等式【最新考纲】1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明下列不等式：|ab|a|b|，|ac|ab|bc|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xc|xb|a.1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|ax|axax|xa或x0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axb
2、c(3)|xa|xb|c、|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解利用零点分段法求解构造函数，利用函数的图象求解1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)|xa|xb|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和()(2)不等式|a|b|ab|等号成立的条件是ab0.()(3)不等式|ab|a|b|等号成立的条件是ab0.()(4)当ab0时，|ab|a|b|成立()答案：(1)(2)(3)(4)2(2015山东卷)不等式|x1|x5|2的解集是()A(，4)B(，1)C(1，4) D(1，5)解析：当x1时，原不等式可化为1x(5x
3、)2，42，不等式恒成立，x1.当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2，x4，1x4.当x5时，原不等式可化为x1(x5)2，该不等式不成立综上，原不等式的解集为(，4)答案：A3若关于x的不等式|ax2|3的解集为，则实数a_解析：依题意，知a0.又|ax2|33ax23.1ax5由于|ax2|3的解集为a1时，作出f(x)的大致图象如图所示，由函数f(x)的图象可知f(a)5，即a15，a4.同理，当a1时，a15，a6.答案：6或4一个转化对于不等式f(x)a有解、无解，可转化为最值问题，(1)f(x)a有解f(x)mina；(2)f(x)0)的不等式，在讨论时应注意分类讨论点处的处理
4、及c的符号判断，若c0)型不等式的解法1零点分段法：用零点分段法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式组求解2几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解3数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解1(2015江苏卷)解不等式x|2x3|2.解：当x时，原不等式化为3x32解之得x.当xa.(1)当a1时，解这个不等式；(2)当a为何值时，这个不等式的解集为R.解：(1)当a1时，原不等式变为|x3|x7|10.当x7时，由2x410，得x7，当3x10不成立，当x3时，由2x410，得x3，所以不等式的解
5、集为x|x7(2)|x3|x7|x3(x7)|10对任意xR都成立，lg(|x3|x7|)lg 101对任意xR都成立，即lg(|x3|x7|)a，当且仅当a1时，对任意xR都成立4(2016唐山模拟)已知函数f(x)|2xa|x1|.(1)当a1时，解不等式f(x)3；(2)若f(x)的最小值为1，求a的值解：(1)因为f(x)|2x1|x1|且f(1)f(1)3，所以f(x)3的解集为x|1x2的解集；(2)若二次函数yx22x3与函数yf(x)的图象恒有公共点，求实数m的取值范围解：(1)当m5时，f(x)由f(x)2易得不等式的解集为(，0)(2)yx22x3(x1)22，该函数在x1
6、处取得最小值2，在x1处取得最大值m2，所以要使二次函数yx22x3与函数yf(x)的图象恒有公共点，只需m22，即m4.故实数m的取值范围是4，)6设函数f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1，记f(x)1的解集为M，g(x)4的解集为N.(1)求M.(2)当xMN时，证明：x2f(x)xf(x)2.解：(1)f(x)2|x1|x1当x1时，由f(x)1得x，故1x；当x1时，由f(x)1得x0，故0x1；综上可知，f(x)1的解集为M.(2)由g(x)16x28x14得164，解得x.因此N，故MN.当xMN时，f(x)1x.于是x2f(x)xf(x)2xf(x)(xf(x)xf(x)x(1x).