1、2三角形中的几何计算一、非标准1.在ABC中,a=4,b=,5cos(B+C)+3=0,则角B的大小为()A.B.C.D.解析:由5cos(B+C)+3=0得cos A=,所以sin A=且A为锐角,所以,解得sin B=,所以B=.答案:A2.在ABC中,AC=,BC=2,B=60,则BC边上的高等于()A.B.C.D.解析:在ABC中,由余弦定理可知:AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即7=AB2+4-22AB.整理得AB2-2AB-3=0.解得AB=-1(舍去),或AB=3.故BC边上的高AD=ABsin B=3sin60=.答案:B3.在ABC中,a=1,B=45,SABC
2、=2,则ABC外接圆的直径为()A.4B.6C.5D.6解析:由面积定理,得acsin B=2,c=4.由余弦定理得b2=12+(4)2-214cos 45=25,b=5,ABC的外接圆直径2R=5.答案:C4.若ABC的周长等于20,面积是10,A=60,则BC边的长是()A.5B.6C.7D.8解析:在ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB.依题意及面积公式S=bcsin A,得10bcsin60,即bc=40.又周长为20,故a+b+c=20,b+c=20-a.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-2bccos60=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc
3、,故a2=(20-a)2-120,解得a=7.答案:C5.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csin A=acos C.当sin A-cos取最大值时,A的大小为()A.B.C.D.解析:由正弦定理得sin Csin A=sin Acos C.因为0A0,从而sin C=cos C.又cos C0,所以tan C=1,则C=,所以B=-A.于是sin A-cossin A-cos(-A)=sin A+cos A=2sin.因为0A,所以A+,所以当A+,即A=时,2sin取最大值2.答案:A6.三角形的一边长为7,这条边所对的角为60,另两边之比为32,则这个三角形的面积是
4、.解析:设另两边分别为3x,2x,则cos60=,解得x=,故两边长为3和2,所以S=32sin60=.答案:7.已知ABC中,AC=2,AB=3,BAC=60,AD是ABC的角平分线,则AD=.解析:如图,SABC=SABD+SACD,32sin60=3ADsin30+2ADsin30,AD=.答案:8.在ABC中,AB=a,AC=b,BCD为等边三角形,则当四边形ABDC的面积最大时,BAC=.解析:设BAC=,则BC2=a2+b2-2abcos.S四边形ABDC=SABC+SBCD=absin+BC 2=(a2+b2)+absin(-60),即当BAC=150时,S四边形ABDC取得最大
5、值.答案:1509.如图,已知在四边形ABCD中,ADCD,AD=10,AB=14,BDA=60,BCD=135,求BC的长.解:在ABD中,由余弦定理有:AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB.设BD=x,有142=102+x2-210xcos60,即x2-10x-96=0,x1=16,x2=-6(舍去),即BD=16.ADCD,ADC=90.又BDA=60,BDC=30.在BCD中,由正弦定理,得,可得BC=sin30=8. 10.如图,在ABC中,点D在边BC上,AD=33,sinBAD=,cosADC=.(1)求sinABD的值;(2)求BD的长.解:(1)因为cosADC=,所以sinADC=.因为sinBAD=,所以cosBAD=.因为ABD=ADC-BAD,所以sinABD=sin(ADC-BAD)=sinADCcosBAD-cosADCsinBAD=.(2)在ABD中,由正弦定理,得,所以BD=25.
