1、活页作业(十一)数学归纳法与贝努利不等式一、选择题1用数学归纳法证明“(nN)”，从nk到nk1时，等式左边需增添的项是()ABC D解析：当nk(kN)时，等式的左边；当nk1时，等式的左边.所以从nk到nk1时，等式的左边需增添的项为.答案：D2对于正整数n，下列说法不正确的是()A3n12n B0.9n10.1nC0.9n10.1n D0.1n10.9n解析：由贝努利不等式(1x)n1nx(x1，nN)，可知当x2时，(12)n12n，A项正确；当x0.1时，(10.1)n10.1n，B项正确，C项不正确；当x0.9时，(10.9)n10.9n，D项正确答案：C3设数列an的前n项和为S
2、n，且a11，Snn2an(nN)试归纳猜想出Sn的表达式为()ABCD解析：因为a11，所以S11.又S24a2a1a2，所以3a21.所以a2，S2.又S39a3S2a3，所以8a3.所以a3.所以S3.由此可猜想Sn(nN)答案：A4对于不等式n1(nN)，某学生用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n1时命题显然成立(2)假设nk(kN，k1)时原不等式成立，即k1，则当nk1时，左边1nx(x1且x0，n1，nN)等价的不等式是_.(填序号)(1x)n1nx(x1，nN)(1x)n1nx(x1且 x0，n1，nN)(1x)n1nx(x1，nN)(1x)n1nx(x1，n1，nN)解析：
3、在贝努利不等式中，令xt，因为x1且x0，所以t1nt(t1，nN)答案：6设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立那么下列结论正确的是_.若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立；若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立；若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k)12；当n2时，2222；当n3时，2352.猜想：当n5时，2nn2.下面用数学归纳法证明：(1)当n5时，2552成立(2)假设当nk(kN，k5)时，2kk2，那么当nk1时，2k122k2k2kk2(11)kk2CCCk22k1(k1)
4、2.当nk1时，2nn2也成立由(1)(2)，可知对n5的一切自然数，2nn2都成立综上，当n1或n5时，2nn2；当n2,4时，2nn2；当n3时，2n，f(3)1，f(7)，f(15)2，.(1)由上述不等式你能得到怎样的结论？并给出证明(2)是否存在一个正数T，使得对任意的正整数n，恒有不等式f(n)(nN)下面用数学归纳法证明：当n1时，f(211)f(1)1，所以不等式成立假设当nk(k1，kN)时不等式成立，即f(2k1)，则当nk1时，f(2k11)f(2k1)f(2k1) 2k个f(2k1).当nk1时不等式也成立由，可知对任何nN，原不等式均成立(2)对任意给定的正数T，设它
5、的整数部分为T，记mT1，则mT.由(1)，知f(22m1)m.f(22m1)T.这说明，对任意给定的正数T，总能找到正整数n22m1，使得f(n)T.不存在正数T，使得对任意的正整数n，恒有不等式f(n)(nk，nN)”时，起始值k最小为()A7 B8C9 D10解析：对不等式的左边求和，得Sn2.由Sn，得1n，即n.则n7.故起始值k最小为8.答案：B二、填空题3设a，b均为正实数，已知M(ab)n，Nannan1b，nN，则M，N的大小关系为_.提示：利用贝努利不等式，令x解析：令x，由贝努利不等式(1x)n1nx(x1，nN)，得n1n，即n1n，即(ab)nannan1b.故MN.
6、答案：MN4设an是首项为1的正项数列，且(n1)anaan1an0(n1,2,3，)，则它的通项公式是_.解析：令n1，则2aa1a2a0.a11，2aa210.a20，a2.同理可求得a3.于是猜想an(nN)下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，a1成立(2)假设当nk(k1，kN)时，ak成立，则当nk1时，由(k1)akaak1ak0，可得(k1)aak10，即k(k1)aak110.ak1(舍去)或ak1.故当nk1时，ak1成立综合(1)(2)，知对任意的nN，总有an成立答案：an(nN)三、解答题5已知函数f(x)ax12a(a0)，当a时，有f(x)ln x(x1)求证：1
7、ln(n1)(nN)证明：用数学归纳法证明(1)当n1时，左边1，右边ln 2ln(k1).那么当nk1时，1ln(k1)ln(k1).由题意，可知当a时，有f(x)ln x(x1)令a，有f(x)lnx(x1)令x，得lnln(k2)ln(k1)ln(k1)ln(k2).1ln(k2)，这就是说，当nk1时不等式也成立根据(1)和(2)，可知不等式对任何nN都成立6已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，an1f(an1)试比较与1的大小，并说明理由解：231.由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：(1)当n1时，a12111，结论成立(2)假设当nk(kN)时结论成立，即ak2k1， 则当nk1时，由函数g(x)(x1)21在区间1，)上单调递增，知ak1(ak1)2122k12k11.故当nk1时结论也成立由(1)(2)，知对任意nN，都有an2n1，即1an2n.所以.所以1n1.