1、2016-2017学年河南省安阳三十六中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知（i是虚数单位），则复数z的实部是（）A0B1C1D22抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A（1，0）B（0，1）C（1，0）D（0，1）3F1（1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，过F1的直线l交椭圆于M、N，若MF2N的周长为8，则椭圆方程为（）ABCD4“m0”是“方程x2+my2=1表示双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三
2、人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A甲B乙C丙D丁6已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线方程为x2y=0，则双曲线的方程为（）AB=1CD7已知命题p：关于x的函数y=x23ax+4在1，+）上是增函数，命题q：函数y=（2a1）x为减函数，若“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是（）A（，（，+）B（，C（，+）D（，8设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0）处的切线方程为x+y=0，则
3、点P的坐标为（）A（0，0）B（1，1）C（1，1）D（1，1）或（1，1）9设函数f（x）=x2+3x2，则=（）A5B5C10D1010在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若=， =， =，则下列向量中与相等的向量是（）ABCD11已知函数f（x）=（ex11）（x1），则（）A当x0，有极大值为2B当x0，有极小值为2C当x0，有极大值为0D当x0，有极小值为012已知函数f（x）=2xe2x（e为自然对数的底数），g（x）=mx+1，（mR），若对于任意的x11，1，总存在x01，1，使得g（x0）=f（x1）成立，则实数m的取值范围为（
4、）A（，1e2e21，+）B1e2，e21C（，e211e2，+）De21，1e2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程 14曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为 15在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，向量与向量所成的角为 16如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆（x1）2+y2=于点A，B，C，D四点，则9|AB|+4|CD|的最小值为 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17求双曲线16x29y2=144的实轴长、焦点坐标、离心
5、率和渐近线方程18已知函数f（x）=x33x+1（）求f（x）的单调区间和极值；（）求曲线在点（0，f（0）处的切线方程19已知命题p：xA，且A=x|a1xa+1，命题q：xB，且B=x|x24x+30（）若AB=，AB=R，求实数a的值；（）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围20（理科）如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，且ABC=60，AB=PC=2，PA=PB=，（1）求证：平面PAB平面ABCD；（2）求二面角PACB的余弦值21已知椭圆C：的短轴长为2，离心率e=，（1）求椭圆C的标准方程：（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的
6、两点A、B，求F1AB的面积的最大值22已知函数f（x）=a（x）blnx（a，bR），g（x）=x2（1）若a=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与y轴垂直，求b的值；（2）若b=2，试探究函数f（x）与g（x）在其公共点处是否有公切线，若存在，研究a的个数；若不存在，请说明理由2016-2017学年河南省安阳三十六中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知（i是虚数单位），则复数z的实部是（）A0B1C1D2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念【分析】由条件利用两个复数代数形式的除法法则化简
7、复数z，可得复数z的实部【解答】解： =i，则复数z的实部是0，故选：A2抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A（1，0）B（0，1）C（1，0）D（0，1）【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】根据抛物线y2=2px的焦点坐标为F（，0），得到抛物线y2=4x的2p=4， =1，所以焦点坐标为（1，0）【解答】解：抛物线的方程是y2=4x，2p=4，得=1，抛物线y2=2px的焦点坐标为F（，0）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）故选C3F1（1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，过F1的直线l交椭圆于M、N，若MF2N的周长为8，则椭圆方程为（）ABCD【考点】K3：椭圆的标准方程【分析
8、】由题意可知MF2N的周长为4a，从而可求a的值，进一步可求b的值，故方程可求【解答】解：由题意，4a=8，a=2，F1（1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，b2=3，椭圆方程为，故选A4“m0”是“方程x2+my2=1表示双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据双曲线的方程，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：方程x2+my2=1表示双曲线，则m0，则“m0”是“方程x2+my2=1表示双曲线”的充要条件，故选：C5一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙
9、、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A甲B乙C丙D丁【考点】F4：进行简单的合情推理【分析】这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，这是解决本题的突破口；然后进行分析、推理即可得出结论【解答】解：在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙、丁两人的供词应该是同真或同假（即都是真话或者都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人说的是真
10、话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论；显然这两个结论是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯，乙、丙、丁中有一人是罪犯，由丁说假说，丙说真话，推出乙是罪犯故选B6已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线方程为x2y=0，则双曲线的方程为（）AB=1CD【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】利用双曲线的焦距以及渐近线方程，推出a，b的方程，求解即可得到双曲线方程【解答】解：双曲线的焦距为，可得c=，即a2+b2=5，双曲线的一条渐近线方程为x2y=0，可得a=2b，解可得
11、a=2，b=1所求的双曲线方程为：故选：A7已知命题p：关于x的函数y=x23ax+4在1，+）上是增函数，命题q：函数y=（2a1）x为减函数，若“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是（）A（，（，+）B（，C（，+）D（，【考点】2E：复合命题的真假【分析】根据条件先求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系先求出“p且q”为真命题的范围即可求“p且q”为假命题的范围【解答】解：若函数y=x23ax+4在1，+）上是增函数，则对称轴x=1，即a，即p：a，若函数y=（2a1）x为减函数，则 02a11，得a1，即q：a1，若“p且q”为真命题，则p，q都是真命题，则，即a，则
12、若“p且q”为假命题，则a或a，故选：A8设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0）处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A（0，0）B（1，1）C（1，1）D（1，1）或（1，1）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0）处的切线方程为x+y=0，导函数等于1求得点（x0，f（x0）的横坐标，进一步求得f（x0）的值，可得结论【解答】解：f（x）=x3+ax2，f（x）=3x2+2ax，函数在点（x0，f（x0）处的切线方程为x+y=0，3x02+2ax0=1，x0+x03+ax02=0，解得x0=1当x
13、0=1时，f（x0）=1，当x0=1时，f（x0）=1故选：D9设函数f（x）=x2+3x2，则=（）A5B5C10D10【考点】61：变化的快慢与变化率【分析】根据导数的定义和导数的运算法则计算即可【解答】解：f（x）=x2+3x2，f（x）=2x+3，f（1）=2+3=5，=2=2f（1）=10，故选：C10在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若=， =， =，则下列向量中与相等的向量是（）ABCD【考点】97：相等向量与相反向量【分析】如图所示，利用向量的三角形法则、平行四边形法则即可得出： =+， =【解答】解：如图所示，=+， =，=+
14、=+故选：A11已知函数f（x）=（ex11）（x1），则（）A当x0，有极大值为2B当x0，有极小值为2C当x0，有极大值为0D当x0，有极小值为0【考点】6D：利用导数研究函数的极值【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可【解答】解：f（x）=（ex11）（x1），f（x）=xex11，x0时，令f（x）0，解得：x1，令f（x）0，解得：x1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增，故f（x）极小值=f（1）=0，故选：D12已知函数f（x）=2xe2x（e为自然对数的底数），g（x）=mx+1，（mR），若对于任意的x11，1，总存
15、在x01，1，使得g（x0）=f（x1）成立，则实数m的取值范围为（）A（，1e2e21，+）B1e2，e21C（，e211e2，+）De21，1e2【考点】3R：函数恒成立问题【分析】利用导数求出函数f（x）的值域A，分类讨论m求得函数g（x）的值域B，把问题转化为AB列不等式组求解【解答】解：f（x）=22e2x，f（x）0在区间1，0上恒成立，f（x）为增函数；f（x）0在区间0，1上恒成立，f（x）为减函数f（1）f（1）=（2e2）（2e2）=e2e240，f（1）f（1），又f（0）=1，则函数f（x）在区间1，1上的值域为A=2e2，1当m0时，函数g（x）在区间1，1上的值域为
16、B=m+1，m+1，依题意，有AB，则，解得me21；当m=0时，函数g（x）在区间1，1上的值域为B=1，不符合题意；当m0时，函数g（x）在区间1，1上的值域为B=m+1，m+1，依题意，有AB，则，解得m1e2综上，实数m的取值范围为（，1e2e21，+）故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程x=2【考点】K7：抛物线的标准方程【分析】由题设中的条件y2=2px（p0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程【解答】解：由题意椭
17、圆，故它的右焦点坐标是（2，0），又y2=2px（p0）的焦点与椭圆右焦点重合，故=2得p=4，抛物线的准线方程为x=2故答案为：x=214曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：y=x3，y=3x2，当x=1时，y=3得切线的斜率为3，所以k=3；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y1=3（x1），即3xy2=0令y=o得
18、：x=，切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为：S=（2）4=故答案为：15在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，向量与向量所成的角为120【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角【分析】先建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，然后利用空间向量的夹角公式进行运算即可【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A1（a，0，a）=（0，a，a），=（a，a，0）cos，=即，=120故答案为：12016如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆（x1）2+y2=于点A，B，C，D四点，则9|AB|+4|CD|
19、的最小值为【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】求出|AB|=xA+，|CD|=xD+，当lx轴时，则xD=xA=1，9|AB|+4|CD|=当l：y=k（x1）时，代入抛物线方程，得：k2x2（2k2+4）x+k2=0，9|AB|+4|CD|=【解答】解：y2=4x，焦点F（1，0），准线 l0：x=1由定义得：|AF|=xA+1，又|AF|=|AB|+，|AB|=xA+同理：|CD|=xD+，当lx轴时，则xD=xA=1，9|AB|+4|CD|=当l：y=k（x1）时，代入抛物线方程，得：k2x2（2k2+4）x+k2=0，xAxD=1，xA+xD=1，9|AB|+4|CD|=综上所述4|
20、AB|+9|CD|的最小值为故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分）17求双曲线16x29y2=144的实轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】双曲线16x29y2=144可化为，可得a=4，b=3，c=5，从而可求双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程【解答】解：双曲线16x29y2=144可化为，所以a=4，b=3，c=5，所以，实轴长为8，焦点坐标为（0，5）和（0，5），离心率e=，渐近线方程为y=18已知函数f（x）=x33x+1（）求f（x）的单调区间和极值；（）求曲线在点（0，f（0）处的切线方程【考点】6H：利用导数研究曲线上某点
21、切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）由求导公式和法则求出f（x），求出方程f（x）=0的根，根据二次函数的图象求出f（x）0、f（x）0的解集，由导数与函数单调性关系求出f（x）的单调区间和极值；（）由导数的几何意义求出f（0）：切线的斜率，由解析式求出f（0）的值，根据点斜式求出曲线在点（0，f（0）处的切线方程，再化为一般式方程【解答】解：（）由题意得，f（x）=3x23，由f（x）=0得x=1，当x（1，1）时，f（x）0，当x（，1），（1，+）时，f（x）0，函数f（x）在（1，1）上 递减，在（，1），（1，+）上递增，当x=1时取到极大值是f（1）=3，当x=
22、1取到极小值f（1）=1（）由f（x）=3x23得，f（0）=3，f（0）=1，曲线在点（0，f（0）处的切线方程是y1=3x即3x+y1=019已知命题p：xA，且A=x|a1xa+1，命题q：xB，且B=x|x24x+30（）若AB=，AB=R，求实数a的值；（）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围【考点】27：充分条件；1C：集合关系中的参数取值问题【分析】（）把集合B化简后，由AB=，AB=R，借助于数轴列方程组可解a的值；（）把p是q的充分条件转化为集合A和集合B之间的关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解a的取值范围【解答】解：（）B=x|x24x+30=x|x1，或x3
23、，A=x|a1xa+1，由AB=，AB=R，得，得a=2，所以满足AB=，AB=R的实数a的值为2；（）因p是q的充分条件，所以AB，且A，所以结合数轴可知，a+11或a13，解得a0，或a4，所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（，04，+）20（理科）如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，且ABC=60，AB=PC=2，PA=PB=，（1）求证：平面PAB平面ABCD；（2）求二面角PACB的余弦值【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定【分析】（1）取AB中点O，连结PO，CO，依题意，可证PO平面ABC，从而可证得平面PAB平面ABCD；（2）以O为
24、原点，OC，OB，OP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可求得C、A、B、P各点的坐标，从而可得： =（，1，0），=（0，1，1），设平面PAC的法向量为=（x，y，z），可求得此坐标=（，1，1），而平面BAC的一个法向量为=（0，0，1），设二面角PACB大小为，由cos=|cos，|=可求得答案【解答】解：（1）证明：取AB中点O，连结PO，CO，由PA=PB=，AB=2，知PAB为等腰直角三角形，PO=1，POAB，由AB=BC=2，ABC=60，知ABC为等边三角形，CO=，由PC=2得PO2+CO2=PC2，POCO，又ABCO=O，PO平面ABC，又PO平面PAB，
25、平面PAB平面ABCD；（2）如图所示，以O为原点，OC，OB，OP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（，0，0），B（0，1，0），P（0，0，1），A（0，1，0）得： =（，1，0），=（0，1，1），设平面PAC的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，则x=，z=1，即=（，1，1），平面BAC的一个法向量为=（0，0，1），设二面角PACB大小为，易知其为锐角，所以cos=|cos，|=21已知椭圆C：的短轴长为2，离心率e=，（1）求椭圆C的标准方程：（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，求F1AB的面积的最大值【
26、考点】K4：椭圆的简单性质【分析】（1）由题意可知：2b=2，b=，椭圆的离心率e=，则a=2c，代入a2=b2+c2，求得a，即可求得椭圆C的标准方程；（2）设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，则，令，则t1，由函数的单调性，即可求得F1AB的面积的最大值【解答】解：（1）由题意可得，解得：，故椭圆的标准方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由，整理得：（3m2+4）y2+6my9=0，由韦达定理可知：，又因直线l与椭圆C交于不同的两点，故0，即（6m）2+36（3m2+4）0，mR则，令，则t1，则，令，由
27、函数的性质可知，函数f（t）在上是单调递增函数，即当t1时，f（t）在1，+）上单调递增，因此有，所以，即当t=1，即m=0时，最大，最大值为322已知函数f（x）=a（x）blnx（a，bR），g（x）=x2（1）若a=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与y轴垂直，求b的值；（2）若b=2，试探究函数f（x）与g（x）在其公共点处是否有公切线，若存在，研究a的个数；若不存在，请说明理由【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于y轴，可得f（1）=0，从而可求b的值；（2）假设f（x），g（x）的图象在其
28、公共点（x0，y0）处存在公切线，分别求出导数，令f（x0）=g（x0），得x0=，讨论a，分a0，a0，令f（）=g（），研究方程解的个数，可构造函数，运用导数求出单调区间，讨论函数的零点个数即可判断【解答】解：（）f（x）=xblnx，f（x）=1+，由于曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f（1）=0，即1+1b=0，b=2；（2）假设f（x），g（x）的图象在其公共点（x0，y0）处存在公切线，由f（x）=a（x）2lnx，得f（x）=，g（x）=2x，由f（x0）=g（x0），得=2x0，即2x03ax02+2x0a=0，即（x02+1）（2x0a）=0，则x0=，又函数的定义域为（0，+），当a0时，x0=0，则f（x），g（x）的图象在其公共点（x0，y0）处不存在公切线；当a0时，令f（）=g（），2ln2=，即=ln，令h（x）=ln（x0），h（x）=x=，则h（x）在（0，2）递减，（2，+）递增且h（2）=0，且当x0时，h（x）+；当x+时，h（x）+，h（x）在（0，+）有两个零点，方程=ln在（0，+）解的个数为2综上：当a0时，函数f（x）与g（x）的图象在其公共点处不存在公切线；当a0时，函数f（x）与g（x）的图象在其公共点处存在公切线，a的值有2个2017年6月21日
