1、3解三角形的实际应用举例学 习 目 标核 心 素 养1掌握测量距离、高度、角度等问题中正、余弦定理的应用(重点)2了解测量的方法和意义(难点)3提高应用数学知识解决实际问题的能力(难点)1通过实际问题应用举例，提升数学建模素养2通过解三角形的实际应用，培养数学运算素养实际问题中的有关术语阅读教材P58P61“练习2”以上部分完成下列问题名称定义图示仰角与俯角在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，如图方位角从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B点的方位角为方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90的水平角，如南偏西60，指以正南方向为始边，顺时针
2、方向向西旋转60如图，ABC为北偏东60或东偏北30思考：(1)方位角的范围是什么？提示0，360)(2)若点B在点A的北偏东60，则点A在点B的哪个方向？提示南偏西60(3)若从点A看点B的仰角为30，则从点B看点A的俯角是多少度？提示：301在某测量中，设A在B的南偏东3427，则B在A的()A北偏西3427 B北偏东5533C北偏西5533 D南偏西3427答案A2如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东5 B北偏西10C南偏东5 D南偏西10答案B3如图所示，设A，B两点在河的两岸，
3、一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为()A50m B50mC25m DmA由正弦定理得，又B30，AB50(m)4在A点观察一塔吊顶的仰角为45，又A点距塔吊底部距离为45米，则塔吊的高是 米45如图所示，设塔吊为BC，由题意可知ABC为等腰直角三角形，所以BCAB45(米)测距离问题【例1】海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B，C间的距离是 5海里如图，在ABC中，C180(BA)45，由正弦定理，可得，所以BC105(海里)求距离问题时应注
4、意的三点(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.(3)测量两个不可到达的点之间的距离问题.首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边.1(1)为了测量水田两侧A，B两点间的距离(如图所示)，某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC8 m，BAC30，BCA45，则A，B两点间的距离为 m(2)如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得BCA60，A
5、CD30，CDB45，BDA60，那么此时A，B两点间的距离是多少？(1)8(1)根据正弦定理得，所以AB8(1)(m)，即A，B间的距离为8(1)m(2)解由正弦定理得AC10(1)(米)，BC20(米)在ABC中，由余弦定理得AB10(米)所以A，B两点间的距离为10米测量高度问题【例2】如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD m100在ABC中，AB600，BAC30，ACB753045，由正弦定理得，即，所以BC300(m)在RtBCD中，C
6、BD30，CDBCtanCBD300tan 30100(m)求解高度问题应注意的三个问题(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.2如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD解由于CD平面ABD，CA
7、D45，所以CDAD因此只需在ABD中求出AD即可，在ABD中，BDA1804512015，由，得AD800(1)(m)即山的高度为800(1) m与角度有关的实际问题探究问题1方位角是怎样规定的？其范围是多少？提示方位角是从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角，其范围是0,2)2方向角是怎样规定的？其范围是多少？提示正北或正南方向线与目标线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)度，其范围是0，90)3若P在Q的北偏东60，则Q在P的南偏西多少度？提示60【例3】如图所示，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75方向，距A处2海里的C
8、处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30方向逃窜问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间思路探究：结合图形将实际问题转化为解三角形问题，应用正、余弦定理求解解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD10t海里，BD10t海里在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos BAC(1)2222(1)2cos 1206，BC海里又，sinABC，ABC45，B点在C点的正东方向上，CBD9030120在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD，BCD30，缉私船应沿北偏东60的
9、方向行驶又在BCD中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即10t，t小时15分钟缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟1(变结论)假设在例3中，缉私船以最快的速度截获走私船(在D点)，把走私船带到海岸A处进行处理，求ADB的正弦值解由例3解答可知CD3，CBBD，CBD120，所以BCDBDC30，又ACB15，则ACD45，在ACD中，由余弦定理得AD2AC2CD22ACCDcos 4541822310，故AD，在ABD中，由正弦定理得，即，解得sinADB2(变条件)把例3中条件“走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30方向逃窜”改为“走私船
10、正以15海里/时的速度，从B处向正北方向逃窜”，则例3的结果应是什么？解由例3的解答可知BC，设缉私船沿CD方向，才能最快截获(在D点)走私船(如图所示)，由题意知CBD是直角三角形，且CD10t，BD15 t，所以sinBCD，故BCD60，10tcos 60，所以t(小时)所以缉私船应沿北偏东30的方向行驶，才能最快截获走私船，需要小时求解实际应用中的角度问题时，一般把求角的问题转化为解三角形的问题，基本方法是(1)明确各个角的含义；(2)分析题意，分析已知与所求，画出正确的示意图；(3)将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正弦定理求解.1测量距离问题：这类问
11、题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度2测量底部不可到达的建筑物的高度问题由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)俯角是铅垂线与视线所成角，其范围是 ()(2)在O点测得点A在其北偏西30，则在O点测得点A的方位角是30()(3)方位角与方向角的实质一样，均是确定观察点与目标点之间的位置关系()答案(1)(2)(3)提示(1)错误，俯角是视线与水平线
12、所成的角；(2)错误，在O点测得点A的方位角应为330(3)正确2如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是()A，a，b B，aCa，b， D，bA选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB选项C中可由余弦定理确定AB选项D同B类似3我舰在岛A南偏西50相距12海里的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度为 海里/小时14由题可得右图不妨设我舰追上敌舰时在C点则AC20，BAC120，AB12，BC212220221220cos 120282，BC28，速度v14(海里/小时)42
13、020年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现、早隔离现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区经测量，边界AB与AD的长都是200米，BAD60，BCD120.(1)若ADC105，求BC的长(结果精确到米)；(2)围成该区域至多需要多少米长度的板材？(不计损耗，结果精确到米)解(1)连接BD，则在BCD中BD200，BDC45，由，得BC163，所以BC的长约为163米(2)设CBD(0)，则BDC，在BCD中，由，得BCsin ，CDsin ，所以BCCDsin ，所以当时，BCCD取得最大值，此时围成该施工区域所需的板材长度最长，为400米，约为631米