1、2021年普通高等学校招生全国统一考试全国卷数学理科仿真模拟卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设全集UR，集合Ax|x10，集合Bx|2x3，则图中阴影部分表示的集合为()Ax|x3Bx|3x1Cx|x2Dx|2x1D全集UR，集合Ax|x10x|x1，集合Bx|2x3, 图中阴影部分表示的集合为ABx|20，b0)的右焦点，且F2在C的渐近线上的射影为点H，O为坐标原点，若|OH|F2H|，则C的渐近线方程为()Axy0Bxy0Cxy0Dx2y0A双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方
2、程为yx，若|OH|F2H|，可得在直角三角形OHF2中，HOF245，可得C的渐近线方程为xy0.故选A7已知f(x)是定义在R上的减函数，则关于x的不等式f(x2x)f(x)0的解集为()A(，0)(2，)B(0,2)C(，2)D(2，)B根据题意，f(x)是定义在R上的减函数，则f(x2x)f(x)0f(x2x)f(x)x2xx，即x22x0，解可得0x2，即不等式的解集为(0,2)，故选B8.在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数解析式来分析函数的图象与性质，下列函数的解析式(其中e2.71828为自然对数的底数)与所给图象最契合的是()Aysin(exex)B
3、ysin(exex)Cytan(exex) Dycos(exex)D对于A，当x0时，ysin(exex)sin 20，不满足条件排除A；对于B，当x0时，ysin(exex)sin 00，不满足条件排除B；对于C，当x0时，ytan(exex)tan 00，不满足条件排除C，故选D9.已知C60是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，C60是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它有60个顶点和若干个面，各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图所示已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面的个数为()A10B12C16D20B由结构图知：每个顶点同时在3个面内，所以五边形的
4、面的个数为12，故选B10抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称PAB为“阿基米德三角形”当线段AB经过抛物线焦点F时，PAB具有以下特征：P点必在抛物线的准线上；PAB为直角三角形，且PAPB；PFAB若经过抛物线y24x焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为()Ax2y10B2xy20Cx2y10D2xy20A由题意可知，抛物线y24x的焦点F的坐标为(1,0)，准线方程为：x1，由PAB为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线y24x焦点，可得：P点必在抛物线的准线上，点P(1,4)，直线PF的斜率为：2，又PFAB，直线AB的斜率为，直
5、线AB的方程为：y0(x1)，即x2y10，故选A11.我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的精美图案如图所示的窗棂图案，是将边长为2R的正方形的内切圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为()A1BC2DB连接A、B、O，得等边三角形OAB，则阴影部分的面积为S阴影12R2，故所求概率为.故选B12已知函数f(x)sin(0)在(0,2)上有且仅有两个零点，则的取值范围是()ABCDC函数f(x)sin(0)，由于x(0,2)，所以x，由于在该区间上有且仅
6、有两个零点，所以，解得b，有a2b2”为假命题的一组a，b的值依次为_1，1“若ab，有a2b2”，能说明该命题为假命题，此题答案不唯一，可取a1，b1，即有a2b2.14若变量x，y满足 ，则x2y的最大值为_4变量x，y满足 的可行域如图，目标函数zx2y，由 ，解得点A(4,0)，z在点A处有最大值：z4204.15已知椭圆M：1(ab0)的左顶点为A，O为坐标原点，B、C两点在M上，若四边形OABC为平行四边形，且OAB45，则椭圆M的离心率为_AO是与x轴重合的，且四边形OABC为平行四边形， BCOA，则B、C两点的纵坐标相等，根据椭圆的对称性，B、C的横坐标互为相反数，B、C两点
7、是关于y轴对称的由题意知：OAa，四边形OABC为平行四边形，则BCOAa，故C的横坐标为x，代入椭圆方程M得，yb，故B，由BCab，所以cb，故e.16某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1 700万元，则第十实验室的改建费用为_万元，改建这十个实验室投入的总费用最多需要_万元1 5364 709设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为
8、an万元，n1,2,3，10，则 ，解得a13，q2, a103291 536，依题意：x1 5361 700，解得x164.该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要：10xa1a2a1010x10x3 0694 709. 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共60分17(12分)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA1.(1)证明：平面A1BD面BC1D1；(2)若AB2AD，求二面角A1BDD1的余弦值解(1)证明：连接AD1，ADAA1，四边形AA1D1D是正
9、方形，A1DAD1，四边形ABC1D1是平行四边形，AD1BC1，A1DBC1，长方体ABCDA1B1C1D1中，C1D1平面AA1D1D，A1DC1D1，BC1C1D1C1，A1D平面BC1D1，A1D平面A1BD，平面A1BD面BC1D1.(2)设AB2AD2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，B(1,2,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，设平面BDD1的一个法向量n(x，y，z)，(0,0,1)，(1,2,0)，则 ，取y1，得n(2，1,0)设平面A1BD的一个法向量m(x，y，z)，(1,0,1)，(1,2,0)，则
10、 ，取x2，得m(2，1，2)，cosm，n，由图得二面角A1BDD1的平面角为锐角，二面角A1BDD1的余弦值为.18(12分)ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2c2a2bc.(1)求A；(2)从三个条件：a，b，ABC的面积为，中任选一个作为已知条件，求ABC周长的取值范围解(1)b2c2a2bc，可得cos A，由A(0，)，可得A.(2)选a，又A，可得2，可设Bd，Cd，d，即有ABC的周长labc2sin B2sin C2sin2sin22cos d，由cos d，可得周长l的范围是(2，3选b，由A，由正弦定理可得a，c，则周长为labc，由B，可得0，即有0t
11、an ，可得ABC的周长的取值范围是(2，)若选SABC，由A，可得SABCbcsin Abc，即bc4.由余弦定理可得a2b2c22bccos Ab2c2bc(bc)23bc(bc)212，则周长labc(bc)，由bc24，当且仅当bc2时等号成立，所以l46，则ABC的周长的范围是6，)19(12分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，右焦点为F(c,0)，左顶点为A，右顶点B在直线l：x2上(1)求椭圆C的方程；(2)设点P是椭圆C上异于A，B的点，直线AP交直线l于点D，当点P运动时，判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明解(1)依题可知B(a,0)，a2，因为e，所以
12、c1，b，故椭圆C的方程为1.(2)法一：以BD为直径的圆与直线PF相切证明如下：由题意可设直线AP的方程为yk(x2)(k0)则点D坐标为(2,4k)，BD中点E的坐标为(2,2k)，直线方程代入椭圆方程，可得(34k2)x216k2x16k2120.设点P的坐标为(x0，y0)，则2x0.所以x0，y0.因为点F坐标为(1,0)，当k时，点P的坐标为，直线PF的方程为x1，D的坐标为(2，2)此时以BD为直径的圆(x2)2(y1)21与直线PF相切当k时，则直线PF的斜率kPF.所以直线PF的方程为y(x1)，即xy10.点E到直线PF的距离d|2k|，又因为|BD|2R4|k|，故以BD
13、为直径的圆与直线PF相切综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切法二：以BD为直径的圆与直线PF相切证明如下：设点P(x0，y0)，则1(y00)当x01时，点P的坐标为，直线PF的方程为x1，D的坐标为(2，2)此时以BD为直径的圆(x2)2(y1)21与直线PF相切当x01时直线AP的方程为y(x2)，点D的坐标为D，BD中点E的坐标为，故|BE|，直线PF的斜率为kPF，故直线PF的方程为y(x1)，即xy10，所以点E到直线PF的距离d|BE|，故以BD为直径的圆与直线PF相切综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切20(12分)近年来，昆明加大了特色农业建设，
14、其中花卉产业是重要组成部分昆明斗南毗邻滇池东岸，是著名的花都，有“全国10支鲜花7支产自斗南”之说，享有“金斗南”的美誉对斗南花卉交易市场某个品种的玫瑰花日销售情况进行调研，得到这种玫瑰花的定价x(单位：元/扎，20支/扎)和销售率y(销售率是销售量与供应量的比值)的统计数据如下：x102030405060y0.90.650.450.30.20.175(1)设zln x，根据所给参考数据判断，回归模型x与z哪个更合适，并根据你的判断结果求回归方程(，的结果保留一位小数)；(2)某家花卉公司每天向斗南花卉交易市场提供该品种玫瑰花1 200扎，根据(1)中的回归方程，估计定价x(单位：元/扎)为多
15、少时，这家公司该品种玫瑰花的日销售额W(单位：元)最大，并求W的最大值参考数据：y与x的相关系数r10.96，y与z的相关系数r20.99，35，0.45，9 100，3.40,6269.32，izi8.16，71.52，e320.1，e3.430.0，e3.533.1，e454.6.参考公式：，r.解(1)因为r10.96，y与z的相关系数r20.99，0.960.991，由线性相关系数的定义可知，z更合适，由0.460.5，0.45(0.46)3.402.0，所以线性回归方程为：y0.5ln x2.0.(2)由题意，W1 200(0.5ln x2.0)x，W1 200(1.50.5ln x
16、)，令W0，得ln x3，即xe320.1，当x(0,20.1)时，W递增；当x(20,1，)时，W递减；故销售价约为20.1时，日销售额W最大，Wmax1 200(0.5ln e32.0)e31 200(0.532.0)20.112 060(元)，故最大日销售额为12 060元21(12分)已知函数f(x)ln xx2a1.(1)若a2，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，求证：f(x1)f(x2)0.解(1)当a2时，f(x)ln xx5(x0)，f(x)1，当0x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0.所以f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，)上单调
17、递减(2)f(x)1(x0)，f(x)有两个极值点x1，x2得所以0a，所以f(x1)f(x2)ln(x1x2)(x1x2)4a2ln a4a2，令g(a)ln a4a2，则g(a)40，所以g(a)在上单调递增，所以g(a)gln 121ln 40，所以f(x1)f(x2)0.(二)选考题：共10分请考生在第22,23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22(10分)选修44：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x轴的非负半轴重合曲线C的极坐标方程是12sin2，直线l的极坐标方程是cos0.(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；(2)设点P(2,0)，
18、直线l与曲线C相交于点M、N，求的值解(1)曲线C的极坐标方程是12sin2，整理得：22(sin )26，转换为直角坐标方程为：1.直线l的极坐标方程是cos0.转换为直角坐标方程为：xy20.(2)由于点P(2,0)在直线l上，所以可设直线的参数方程为 (t为参数)，即 (t为参数)，代入曲线C的直角坐标方程为t22t43t26，化简得：t2t10.所以t1t2，t1t21，故.23(10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)|x|2x2|.(1)求不等式f(x)3的解集；(2)若aR，且a0，证明：|4a1|4f(x)解(1)不等式f(x)3等价于 或 或 ，解得1x0或0x1或1x5，所以不等式的解集为x|1x5(2)证明：由(1)知函数f(x)的最大值是f(1)1，即f(x)1恒成立，因为|4a1|4a|4，当且仅当a时等号成立，|4a1|4f(x)，即得证
