1、2015年湖北省武汉市武昌区高三上学期元月调考数学理本试题卷共5页，共22题。满分150分，考试用时120分钟祝考试顺利 注意事项：1答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。2选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。3非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。答在试题卷上或答题卷指定区域外无效。4考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评
2、讲时带来。【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1i为虚数单位，若 ,则A1 B C D2【
3、知识点】复数的模 L4【答案】【解析】A解析：因为，所以所以.所以选A.【思路点拨】由题意化简复数，由复数模的个数即可求得.【题文】2已知,，“存在点”是“”的A充分而不必要的条件 B必要而不充分的条件C充要条件 D既不充分也不必要的条件【知识点】充分必要条件 A2【答案】【解析】B解析：因为集合A表示的区域包含集合B表示的区域，所以点P在B内一定在A内，反之不成立，“存在点”是“”的必要而不充分的条件，所以选B.【思路点拨】根据集合中的“小范围能推大范围，大范围推不出小范围”进行判断，即可.【题文】3若的展开式中x3项的系数为20，则a2b2的最小值为A1 B2 C3 D4【知识点】二项式定
4、理 J3【答案】【解析】B解析：由二项式定理的展开公式可得：，x3项为，因为的展开式中x3项的系数为20，所以，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立.所以选B.【思路点拨】由二项式定理的展开公式可得x3项的系数为可求得，然后利用基本不等式求得的最小值.【题文】4根据如下样本数据x34567y4.02.50.50.52.0得到的回归方程为.若，则每增加1个单位，就A增加个单位 B减少个单位 C增加个单位 D减少个单位 【知识点】线性回归 I4 【答案】【解析】B解析：由已知求得样本中心为，代入回归直线方程可得，所以每增加1个单位，就减少个单位.所以选B.【思路点拨】根据回归直线必过样本中心，求得
5、样本中心代入回归方程，可求得，所以每增加1个单位，就减少个单位.【题文】5.如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面上.用一平行于平面的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）.设截面面积分别为和，那么A B= C D不确定【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积 G7 【答案】【解析】B解析：根据题意：半球的截面圆：取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，根据得出：.所以选B.【思路点拨】根据图形得出，即可判断【题文】6
6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别是俯视图正视图侧视图3642A24+和40 B24+和72 C64+和40 D50+和72 【知识点】三视图 G2 【答案】【解析】C解析：由三视图可得该几何体是底面为边长分别为2,3,4的正方体，上面为底面边长为3,4高为4的四棱锥，所以其体积为，表面积为：所以选C.【思路点拨】由三视图可得该几何体是底面为边长分别为2,3,4的正方体，上面为底面边长为3,4高为4的四棱锥，即可求得其体积以及表面积.【题文】7已知x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为A.或1 B2或 C2或1 D2或1【知识点】线性规划 E
7、5【答案】【解析】D解析：由题意作出其平面区域，将化为相当于直线的纵截距，由题意可得与或与平行，故.所以选D.【思路点拨】由题意作出其平面区域，将化为相当于直线的纵截距，由几何意义可得【题文】8如图，矩形的四个顶点的坐标分别为正弦曲线和余弦曲线在矩形内交于点F，向矩形区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是CBxyOAEDFf(x)=sinxg(x)=cosxA B C D 【知识点】定积分 几何概型 B13 K3 【答案】【解析】B解析：根据题意，可得曲线与围成的区域，其面积为又矩形的面积为，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是：.所以选B.【思路点拨】利用定积分计算公式，
8、算出曲线与围成的区域包含在区域D内的图形面积为，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率【题文】9抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足设线段的中点在上的投影为，则的最大值是A B C D【知识点】抛物线定义 基本不等式 H7 E6 【答案】【解析】C解析：设过A点作垂直准线角准线与点Q，过B点作垂直准线角准线与点P，由抛物线定义，得在梯形中， 由余弦定理得，因为，所以可得，所以.所以选C.【思路点拨】设，连接由抛物线定义得，由余弦定理可得，进而根据基本不等式，求得的取值范围，从而得到本题答案【题文】10已知函数是定义在R上的奇函数，它的图象关于直线
9、对称，且.若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 A B C D 【知识点】函数零点的判定定理 B9 【答案】【解析】C解析：函数在区间上有10个零点（互不相同），即函数与在区间上有10个零点，先研究时的情况，如图，当时，恰好与产生10个交点；当时，的图象是将向上平移a个单位，则在y轴右边，当时，右边产生4个交点；同时y轴左边满足时，左边产生6个交点这样共产生10个交点，即，解得，同理，根据函数图象的对称性可知，当时，只需时满足题意，综上，当时，函数在区间上有10个零点（互不相同）所以选C.【思路点拨】可采用数形结合的方法解决问题，因为是奇函数，只需判断时的满足题意的a的范
10、围，然后即可解决问题【题文】二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（1114题）【题文】11已知正方形的边长为,为的中点, 为的中点,则_.【知识点】向量的数量积 F3 【答案】【解析】0解析：建立直角坐标系得，因为为的中点, 为的中点,所以可得，即，所以可得.故答案为 0.【思路点拨】建立直角坐标系可得点坐标，进而可得，有数量积运算公式可求. 【题文】12根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是_.【知识点】算法和程序框图 L1 【答案】【解析】解析
11、：由程序框图知：，数列为公比为2的等边数列，.故答案为：【思路点拨】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式【题文】13.设斜率为的直线与双曲线交于不同的两点P、Q，若点P、Q在轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是 .【知识点】双曲线的简单性质 H6 【答案】【解析】解析：由题设知，令，得，即，解得（舍）故答案为【思路点拨】由这两个交点在x轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，知，再由能导出从而能得到该双曲线的离心率【题文】14. “渐升数”是指除最高位数字外，其余每一个数字比其左边的数字大的正整数（如13456和35678都是五位的“渐升数”）. （
12、）共有 个五位“渐升数”（用数字作答）；（）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，则第110个五位“渐升数”是 .【知识点】计数原理 J1 【答案】【解析】解析：（）根据题意，“渐升数”中不能有0，则在其他9个数字中任取5个，每种取法对应一个“渐升数”，则共有“渐升数”个，（）对于这些“渐升数”，1在首位的有个，2在首位的有个，3在首位的有个，对于3在首位的“渐升数”中，第二位是4的有个，第三位是5的有，所以则第111个“渐升数”是首位是3、第二位是4，第三位是5的“渐升数”中最大的一个，即34589则第110个“渐升数”即34579；故答案为.【思路点拨】（）分析可得“渐升数”中
13、不能有0，则可以在其他9个数字中任取5个，按从小到大的顺序排成一列，即可以组成一个“渐升数”，即每种取法对应一个“渐升数”，由组合数公式计算即可得答案，（）， 先计算1和2，3在首位的“渐升数”的个数，可得第100个“渐升数”的首位是3，进而计算3在首位，第二位是4，第三位是5的“渐升数”的个数，即可分 析可得第1111个“渐升数”是首位是3、第二位是4，第三位是5的“渐升数”中最大的一个，即，继而求出第个.【题文】（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）【题文】15（选修4-1
14、：几何证明选讲）过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA6，AC8，BC9，则AB_【知识点】圆的切线的判定定理的证明 N1 【答案】【解析】4解析：由题意 故答案为：4 【思路点拨】由题意可得，从而，代入数据可得结论【题文】16（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程是（为参数，a为实数常数），曲线的参数方程是（为参数，b为实数常数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是. 若与分曲线所成长度相等的四段弧，则 . 【知识点】参数方程 极坐标 N3 【答案】【解析】解析：由题意得，的普通方程：，的普通方程：，因为曲线的
15、极坐标方程是，化为直角坐标方程为因为与分曲线所成长度相等的四段弧，所以直线与圆相交截得的弦长所对的圆心角是90，则圆心到直线的距离，即,即，即不妨令，所以故答案为：【思路点拨】由题意将参数方程、极坐标方程化为普通方程，再由题意判断出直线与圆相交截得的弦长所对的圆心角是90，利用点到直线的距离公式求出，代入求值【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【题文】17（本小题满分11分）已知函数的在区间上的最小值为0.（）求常数a的值；（）当时，求使成立的x的集合.【知识点】三角恒等变换 三角函数的性质 C4 C5 【答案】（）；（）.【解析】解析：（）
16、因为，所以.因为时，所以时的取得最小值.依题意，所以；（6分）（）由（）知.要使，即.所以，即.当时，；当时，.又，故使成立的x的集合是.（11分）【思路点拨】根据三角恒等变换函数化为：，利用整体思想求得其最大值为即可解得；由解得：通过对赋值，使其在区间内.【题文】18（本小题满分12分） 已知等差数列an的首项为1，前n项和为，且S1，S2，S4成等比数列 （）求数列的通项公式；（）记为数列的前项和，是否存在正整数n，使得？若存在，求的最大值；若不存在，说明理由. 【知识点】等差等比数列的性质 数列求和 解不等式 D2 D3 D4 【答案】（）；（）的最大值为1006.【解析】解析：（）设数
17、列的公差为，依题意，1，成等比数列，所以，即，所以或.因此，当时，；当时，.（6分）（）当时，此时不存在正整数n，使得；当时，.由，得，解得.故的最大值为. （12分）【思路点拨】根据S1，S2，S4成等比数列，可得1，成等比数列，列的等式求得公差，进而可得通项公式，关键数列的特点，采用裂项相消求和得到，解不等式即可求得n的最大值.【题文】19（本小题满分12分）如图,在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF. ABCDEFA1B1C1D1（）求证：A1FC1E；（）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正切值. 【知识点】线线垂直 二面角 G5 G10【答案】（
18、）略；（）.【解析】解析：设.以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：，,，,.CABDEFA1B1C1D1xyz（）因为，所以.所以.（4分）（）因为，所以当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值.因为，所以当时，即E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥的体积取得最大值，此时坐标分别为,.设平面的法向量为， 则得取，得.显然底面的法向量为.设二面角的平面角为，由题意知为锐角.因为，所以，于是.所以，即二面角的正切值为.（12分）【思路点拨】以D为原点建立空间直角坐标系，设，求得两向量的数量积为零，所以证得垂直；因为三棱锥的高为是定值，所以其面积取决于，而，故当时，面积最大，求得坐标，利用二
19、面角公式求得夹角的余弦值，再利用同角基本关系是求得正切值.【题文】20（本小题满分12分）对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录： 日车流量x频率0.050.250.350.250.100将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立（）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；（）用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列和数学期望【知识点】概率 离散型随机变量的期望与方差 K1 K6【答案】（）0.049；（）2.1.【解析】解析：（）设表示事件“日车流量不低于10万辆”， 表示
20、事件“日车流量低于5万辆”，表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”则所以（6分）（）可能取的值为，相应的概率分别为，.X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343因为，所以期望（12分）【思路点拨】（）表示事件“日车流量不低于10万辆”， 表示事件“日车流量低于5万辆”， 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”直接求出概率即可（可能取的值为，相应的概率分别为，写出X的分布列，即可求出【题文】21（本小题满分14分）已知椭圆C：的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为（）求椭圆C的标准方程；
21、（）设F为椭圆C的右焦点，T为直线上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.（）若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)，求的值；（）在（）的条件下，当最小时，求点T的坐标【知识点】椭圆的性质 直线与椭圆 H5 H8【答案】（）；（），或.【解析】解析： （）由已知可得解得所以椭圆C的标准方程是. （4分）（）（）由（）可得，F点的坐标是(2，0).设直线的方程为，将直线的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得，其判别式设则于是设为的中点，则点的坐标为.因为，所以直线的斜率为，其方程为.当时，所以点的坐标为，此时直线OT的斜率为，其方程为.将点的坐标为代入，得.解得. （8分）
22、（）由（）知T为直线上任意一点可得，点T的坐标为.于是，.所以.当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值故当最小时，T点的坐标是或（14分）【思路点拨】由已知可得，由此能求出椭圆C的标准方程设直线的方程为，将直线的方程与椭圆C的方程联立，得，其判别式由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出点T的坐标为，由此能求出最小时，T点的坐标是或【题文】22（本小题满分14分）已知函数(a为常数)，曲线yf(x)在与y轴的交点A处的切线斜率为1.()求a的值及函数f(x)的单调区间；()证明：当时，；()证明：当时，.【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用 B12【答案】（）在区
23、间上单调递减，在上单调递增；()略.【解析】解析： （）由，得.又，所以.所以，.由，得.所以函数在区间上单调递减，在上单调递增. （4分） ()证明：由（）知.所以，即，.令，则.所以在上单调递增，所以，即.（8分） ()首先证明：当时，恒有.证明如下：令，则.由()知，当时，所以，所以在上单调递增，所以，所以.所以，即.依次取，代入上式，则，.以上各式相加，有所以，所以，即（14分）【思路点拨】（）求出函数的，因为，可求得，通过，即可求解函数在区间上单调递减，在上单调递增.（）求出f（x）的最小值，化简构造通过判断上单调递增，得到，推出结果（）首先证明：当x0时，恒有令，则推出在上单调递增，得到利用累加法推出.
