1、专题限时集训(九)三角函数与解三角形1(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C(1)求A；(2)若ab2c，求sin C解(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0A180，所以A60.(2)由(1)知B120C，由题设及正弦定理得sin Asin(120C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos(C60).由于0C120，所以sin(C60)，故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60c
2、os(C60)sin 60.2(2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC解(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sinADB.由题设知，ADB90，所以cosADB.(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225.所以BC5.3(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长解(1)由题设得acsin B，即cs
3、in B.由正弦定理得sin Csin B.故sin Bsin C.(2)由题设及(1)得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.由题意得bcsin A，a3，所以bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故ABC的周长为3.4(2020全国卷)ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C(1)求A；(2)若BC3，求ABC周长的最大值解(1)由正弦定理和已知条件得BC2AC2AB2ACAB由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcos A由得cos A.因为0A，所以A.(2)由正弦定理及(1)得2，从而A
4、C2sin B，AB2sin(AB)3cos Bsin B故BCACAB3sin B3cos B32sin.又0B，所以当B时，ABC周长取得最大值32.1(2020安庆二模)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)若ABC的周长等于15，面积等于，求a，b，c的值解(1)由，根据正弦定理得b2c2a2aca2c2b2ac，根据余弦定理得cos B，由0B0，所以sin Bcos B2.所以2sin2，B(0，)所以B，所以B.(2)依题意得，所以ac4.所以ac24，当且仅当ac2时取等号又由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac3ac12
5、.b2，当且仅当ac2时取等号所以ABC的周长最小值为42.2结构不良试题已知锐角ABC，同时满足下列四个条件中的三个：A；a13；c15；sin C.(1)请指出这三个条件，并说明理由；(2)求ABC的面积解(1)ABC同时满足.理由：若ABC同时满足，因为是锐角三角形，所以sin Csin ，C.与题设矛盾故ABC同时满足不成立所以ABC同时满足.因为ca，所以CA若满足，则AC，与题设矛盾，故此时不满足.ABC同时满足.(2)因为a2b2c22bccosA，所以132b21522b15.解得b8或7.当b7时，cos C0，C为钝角，与题设矛盾所以b8，SABCbcsin A30.3.如
6、图，在ABC中，C，ABC的平分线BD交AC于点D，且tanCBD.(1)求sin A；(2)若28，求AB的长解(1)设CBD，因为tan ，又，故sin ，cos .则sinABCsin 22sin cos 2，cosABCcos 22cos2121，故sin Asinsin(sin 2cos 2).(2)由正弦定理，即，所以BCAC又|28，所以|28，所以AC4，又由，得，所以AB5.4已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)若a2，b2，求c的大小；(2)若b2，且C是钝角，求ABC面积的取值范围解(1)在ABC中，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0B，sin B0，sin Acos A，tan A.又0A，A.在ABC中，由余弦定理，得a2b2c22bccos A，即204c24c，解得c1(舍去)，c1.c1.(2)由(1)知A，SABCbcsin Ac.由正弦定理，得，c1.A，C为钝角，0B，0tan B4，SABC2.即ABC面积的取值范围是(2，)