1、湖北省武汉市武昌区2020-2021学年高二数学下学期期末考试质量检测试题（含解析）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1设集合Ax|1x2，Bx|0，则AB（）A（1，2）B1，2）C（，01，+）D（，01，2）2复数的共轭复数是（）A2iB2iC2+iD2+i3若tan2，则sin（2）的值为（）ABCD4设a20.2，b，clog0.20.3，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCbcaDcab5如图是函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象，给出下列四种说法：函数f（x）的周期为；函数f（x）图象的一条对称轴方程为；函数f（x）的递减区间为；当时，函数
2、f（x）的值域为其中，正确的说法是（）ABCD6已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线ax+by2ab0相切，则C的离心率为（）ABCD7三棱锥PABC的顶点均在一个半径为4的球面上，ABC为等边三角形且其边长为6，则三棱锥PABC体积的最大值为（）ABCD8已知a4ln0，b5ln0，c6ln0，则（）AcbaBbcaCabcDacb二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12
3、月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是（）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳10对于非零向量，下列命题中错误的是（）A若，则B若，则CD11如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面的一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，以下命题正确的是（）A有水的部分始终呈棱柱形B水面EFGH所在四边形的面积为定值C棱A1D1始终与水面所在平面平行D当容器倾斜如图（3）所示时，BEBF是
4、定值12已知双曲线C：1（a0，b0）的左，右焦点分别为F1，F2，过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若|F1F2|216|MA|MB|，则（）A双曲线C的离心率为B四边形AMBO的面积为（O为坐标原点）C双曲线C的渐近线方程为D直线MA与直线MB的斜率之积为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13的展开式中x2的系数为 （用数字作答）14甲、乙、丙等5位同学随机站成一排合影留念，甲、乙两人相邻且甲站在丙的左侧，则不同的站法共有 种（用数字作答）15，为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，给出下列命题：若ac，bc，则ab；若a，b，则ab；若c
5、，c，则；若，则其中正确命题的序号是 16设函数f（x）x34x2+ax+b，xR，其中a，bR若f（x）存在极值点x0，且f（x1）f（x0），其中x1x0，则x1+2x0 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，A，B两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A，B两点间的距离，在A，B两点的对岸选定两点C，D，测得CD20m，并且在点C，D两点分别测得BCA45，ACD60，BDC30，BDA60，试求A，B两点间的距离（精确到0.1m）附：，18甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，（）记甲击中目标的次数为X，求X
6、的概率分布及数学期望；（）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率19已知数列an是递增的等比数列，前3项和为7，且a1+2，2a2，a3+1成等差数列数列bn的首项为1，其前n项和为Sn，且2Sn（n+1）bn（1）求数列an和bn的通项公式；（2）设cnanbn，求数列cn的前n项和Tn20如图，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ABC60，侧面PAD是等边三角形，AD2AB，点P在平面ABCD上的射影恰是线段BC的中点E求：（1）二面角PADE的大小；（2）异面直线PA与CD所成角的余弦值21抛物线C的方程为yx2，过抛物线C上一点P（x0，y0）（x00）作斜率为k1
7、，k2的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（P，A，B三点互不相同），且满足k1+k20（1）若线段AB的中点为M，证明线段PM的中点在y轴上；（2）若点P的坐标为（1，1），求PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围22已知函数f（x）xex+a（1）讨论函数f（x）零点的个数；（2）若函数f（x）恰有两个零点x1，x2（x1x2），证明：2x1+x20参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1设集合Ax|1x2，Bx|0，则AB（）A（1，2）B1，2）C（，01，+）D（，01，2）【分析】求出集合B，利用交集定义能求出结果解：集合Ax|1x2，
8、Bx|0x|x0或x1，ABx|1x2（1，2）故选：A2复数的共轭复数是（）A2iB2iC2+iD2+i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案解：，复数的共轭复数是2i故选：B3若tan2，则sin（2）的值为（）ABCD【分析】由同角三角函数的关系式可推出cos2，再结合诱导公式与二倍角公式，得解解：tan2，sin2cos，又sin2+cos21，cos2，sin（2）cos212cos212故选：D4设a20.2，b，clog0.20.3，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCbcaDcab【分析】可以根据指数函数和对数函数的单调性得出，然后即可得出a
9、，b，c的大小关系解：，log0.20.3log0.20.21，cab故选：D5如图是函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象，给出下列四种说法：函数f（x）的周期为；函数f（x）图象的一条对称轴方程为；函数f（x）的递减区间为；当时，函数f（x）的值域为其中，正确的说法是（）ABCD【分析】直接利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用函数的图象判断的结论解：根据函数的图象：A1，故T，所以2，当x时，f（）sin（）0，故k（kZ），故k（kZ），当k0时，k1时，根据函数的图象，故f（x）sin（2x），对于，函数f（x）的周期为，故正确；对于，当x时，f（），故错误；对于
10、，令（kZ），整理得：，故函数f（x）的递减区间为，故正确；当时，故，函数f（x）的值域为，故错误故选：B6已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线ax+by2ab0相切，则C的离心率为（）ABCD【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，可得原点到直线的距离a，化简即可得出解：以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点（0，0），半径为ra，圆的方程为x2+y2a2，直线bxay2ab0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得a23b2，即a23（a2c2），即2a23c2，从而，则椭圆的离心率 ，故选：A7三棱锥PABC的顶点均在一
11、个半径为4的球面上，ABC为等边三角形且其边长为6，则三棱锥PABC体积的最大值为（）ABCD【分析】根据题意画出图形，求出等边ABC外接圆的半径，计算ABC外接圆的圆心与球心的距离，判断点P的位置，再计算三棱锥PABC体积的最大值解：三棱锥PABC是半径为4的球面上四点，ABC为等边三角形，所以AB2sin60669，球心为O，三角形ABC 的外心为O，显然P是OO的延长线与球的交点，如图所示：计算OC62，OO2，所以三棱锥PABC高的最大值为2+46，所以三棱锥PABC体积的最大值为9618故选：B8已知a4ln0，b5ln0，c6ln0，则（）AcbaBbcaCabcDacb【分析】通
12、过构造函数f（x）xlnx，求导可推得，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，结合已知条件和构造函数的单调性，即可求解解：设f（x）xlnx，求导可得f（x），f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，a4ln0，alna4ln4，f（a）f（4），同理可得f（b）f（5），f（c）f（6），当x0+时，f（x）+，且f（x）在（0，1）单调递减，0a1，0b1，0c1，又f（4）f（5）f（6），f（a）f（b）f（c），又f（x）在（0，1）单调递减，cba故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分
13、，部分选对的得2分，有选错的得0分9某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是（）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量
14、逐月有增有减，故A错误；年接待游客量逐年增加，故B正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；故选：A10对于非零向量，下列命题中错误的是（）A若，则B若，则CD【分析】根据平面向量数量积的性质和运算判断即可解：A选项，0，由是非零向量，所以，故cos0，所以，即，故A错误；B选项，不能得到，故B错误；C选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，故C错误；D选项，由平面向量数量积运算律可知，D正确；故选：ABC11如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面的一边
15、BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，以下命题正确的是（）A有水的部分始终呈棱柱形B水面EFGH所在四边形的面积为定值C棱A1D1始终与水面所在平面平行D当容器倾斜如图（3）所示时，BEBF是定值【分析】根据棱柱的特征，结合图形对四个选项逐一进行分析判断即可解：由棱柱的特征：有两个平面时相互平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形，故选项A正确；因为睡眠EFGH所在四边形的面积，从图2，图3可以发现，有条边长不变，而另外一条长随着倾斜度变化而变化，所以EFGH所在四边形的面积是变化的，故选项B错误；因为棱A1D1始终与BC是平行的，BC与平面始终平
16、行，故选项C正确；因为水的体积是不变的，高始终是BC也不变，则底面也不变，即BEBF是定值，故选项D正确故选：ACD12已知双曲线C：1（a0，b0）的左，右焦点分别为F1，F2，过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若|F1F2|216|MA|MB|，则（）A双曲线C的离心率为B四边形AMBO的面积为（O为坐标原点）C双曲线C的渐近线方程为D直线MA与直线MB的斜率之积为定值【分析】先根据|F1F2|216|MA|MB|可得到，进而可判断A，B，C，D四个选项解：双曲线C的两条渐近线分别为bx+ay0和bxay0，设M（x0，y0），则所以，又M点在双曲线上，则，所以，因
17、为，所以，即c44a2b2c44a2（c2a2）e44（e21）（e22）0，又e1，所以，故A正确；因为，所以，所以OAOB，所以四边形OABM是矩形，故四边形OABM的面积为，故B正确；因为ab，所以双曲线的渐近线方程为yx，故C错误；kMAkMBkOBkOA（1）11，故D正确故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13的展开式中x2的系数为60（用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式，求出x的指数，通过指数为2，求出所求数值解：的通项公式为：令，得r2可得x2项的系数为C62（2）260，故答案为：6014甲、乙、丙等5位同学随机站成一排合影留念，甲、乙两人相邻
18、且甲站在丙的左侧，则不同的站法共有 24种（用数字作答）【分析】根据题意，分2步进行分析：将除甲乙丙之外的2人全排列，将甲乙看成一个整体，和丙一起安排在空位中，由分步计数原理计算可得答案解：根据题意，分2步进行分析：将除甲乙丙之外的2人全排列，有A222种情况，将甲乙看成一个整体，和丙一起安排在空位中，有2（C32+A31）12种情况，则有21224种不同的站法；故答案为：24，15，为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，给出下列命题：若ac，bc，则ab；若a，b，则ab；若c，c，则；若，则其中正确命题的序号是 【分析】由平行公理判断；由平行于同一平面的两直线的位置关系判断；由平
19、行于同一直线的两平面的位置关系判断；由平面平行的传递性判断解：若ac，bc，由平行公理可得ab，故正确；若a，b，则ab或a与b相交或a与b异面，故错误；若c，c，则或与相交，故错误；若，由平面与平面平行的传递性可得，故正确故答案为：16设函数f（x）x34x2+ax+b，xR，其中a，bR若f（x）存在极值点x0，且f（x1）f（x0），其中x1x0，则x1+2x04【分析】利用f（x0）0，f（x1）f（x0），联立化简即可得结果解：f（x）x34x2+ax+b，f（x）3x28x+a，因为x0是极值点，所以f（x0）0，即，又即，因为f（x1）f（x0），所以，即，因为x1x0，所以，把
20、代入化简得（x1x0）（x1+2x040），因为x1x0，所以x1+2x040，即x1+2x04故答案为：4四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，A，B两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A，B两点间的距离，在A，B两点的对岸选定两点C，D，测得CD20m，并且在点C，D两点分别测得BCA45，ACD60，BDC30，BDA60，试求A，B两点间的距离（精确到0.1m）附：，【分析】由已知可得ADC是直角三角形，从而可求得AC，在BCD中，利用正弦定理可求得BC，在ABC中，由余弦定理可求得AB解：在ADC中，CD30，ACD60，ADC60+30
21、90，所以，ADC是直角三角形，求得在BCD中，BDC30，BCD45+60105，所以CBD45由正弦定理，得，所以在ABC中，ACB45，由余弦定理，得，所以，A，B两点间的距离为31.6m18甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，（）记甲击中目标的次数为X，求X的概率分布及数学期望；（）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率【分析】（）根据题意看出变量的可能取值，根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，写出变量对应的概率，写出分布列，做出期望值（）甲恰比乙多击中目标2次，包括甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次，这两种
22、情况是互斥的，根据公式公式得到结果解：（）由题意知X的可能取值是0，1，2，3P（X0），P（X1），P（X2），P（X3），X的概率分布如下表：X0123PEX，（或EX31.5）；（）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B2，则AB1+B2，B1，B2为互斥事件甲恰好比乙多击中目标2次的概率为19已知数列an是递增的等比数列，前3项和为7，且a1+2，2a2，a3+1成等差数列数列bn的首项为1，其前n项和为Sn，且2Sn（n+1）bn（1）求数列an和bn的通项公式；（2）设cnanbn，求数列cn的
23、前n项和Tn【分析】（1）先利用利用等比数列的通项公式求出公比q，从而求出数列an的通项公式，利用前n项和与第n项之间的关系，求出数列bn的递推公式，然后利用叠乘法求解数列bn的通项公式即可；（2）利用（1）中的结论，得到数列cn的通项公式，然后由错位相减法求和即可解：（1）设等比数列an的公比为q，因为前3项和为7，且a1+2，2a2，a3+1成等差数列，所以，（其中舍去），所以数列an的通项公式为；因为2Sn（n+1）bn，所以2Sn1nbn1（n2），两式相减，得2bn（n+1）bnnbn1，化简得，于是，所以bnn；（2）由（1）知，则，所以，故，所以20如图，在四棱锥PABCD中，已
24、知底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ABC60，侧面PAD是等边三角形，AD2AB，点P在平面ABCD上的射影恰是线段BC的中点E求：（1）二面角PADE的大小；（2）异面直线PA与CD所成角的余弦值【分析】（1）可设ABa，则AD2a，然后取AD的中点F，连接EF，PF，然后可说明PFE是二面角PADE的平面角，根据条件可得出PEF是RtPEF，且得出，从而得出PFE60；（2）可过A作AGCD，从而得出PAG为异面直线PA与CD所成的角，可求出，从而可求出，并得出AGa，PA2a，然后根据余弦定理即可求出cosPAG的值解：设ABa，则AD2a，（1）如图，取AD的中点F，连接EF，PF，
25、因为ABCD是等腰梯形，且E为BC的中点，所以EFAD于F因为PAD是等边三角形，F为AD的中点，所以PFAD于F所以PFE是二面角PADE的平面角点P在平面ABCD上的射影为E，PEEF，PEF90于是RtPEF中，所以PFE60即二面角PADM的大小是60（2）过A作CD的平行线交BC于G，则PAG等于异面直线PA与CD所成的角由GADC是平行四边形，得在RtPEF中，在RtPEG中，在PAG中，由余弦定理得，异面直线PA与CD所成角的余弦值为21抛物线C的方程为yx2，过抛物线C上一点P（x0，y0）（x00）作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）
26、两点（P，A，B三点互不相同），且满足k1+k20（1）若线段AB的中点为M，证明线段PM的中点在y轴上；（2）若点P的坐标为（1，1），求PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围【分析】（1）设直线PA，PB的方程，联立直线PA与抛物线方程，求出k1x1x0，同理可得k2x2x0，利用中点坐标公式，得到xM+xP0，即可证明；（2）利用（1）中的结论，得到y1和y2，求出A、B的坐标，利用，求出k1的范围，再求出y1的范围解：（1）证明：设直线PA的方程为yy0k1（xx0），直线PB的方程为yy0k2（xx0），点P（x0，y0）和点A（x1，y1）的坐标是方程组的解，消去y，整理得x2+
27、k1xk1x0+y00，于是x1+x0k1，即k1x1x0，同理可得，k2x2x0，因为k1+k20，所以2x0+x1+x20，因为线段AB的中点为M，所以，因为xM+xP0，所以线段PM的中点在y轴上；（2）由（1）知，当点P的坐标为（1，1）时，x1k11，代入yx2，求得，同理可得，因此直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为，于是，所以，因为PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，所以，即k1（k1+2）（2k1+1）0，解得k12或，又，所以当k12时，y11；当时，综上所述，PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围为22已知函数f（x）xex+a（1）讨论函数f（x）零点的个
28、数；（2）若函数f（x）恰有两个零点x1，x2（x1x2），证明：2x1+x20【分析】（1）求导得f（x）1ex，分析导数的正负，f（x）的单调区间，进而可得f（x）有最大值f（0）a1，分三种情况：当a1时，当a1时，当a1时，f（x）的零点个数（2）由（1）知，函数f（x）恰有两个零点时，a1，且ax10x2a，要证2x1+x20，只需证x22x1，结合f（x）单调性，推出只需证f（x2）f（2x1），只需证f（x1）f（2x1），其中ax10令g（x）f（x）f（2x），ax0，求导分析单调性，推出g（x）g（0）0，即可得出答案解：（1）f（x）1ex当x0时，f（x）0；当x0时，
29、f（x）0所以，函数f（x）在（，0）单调递增；在（0，+）单调递减所以，当x0时，f（x）有最大值f（0）a1当a1时，f（0）a10，函数f（x）无零点；当a1时，f（0）a10，函数f（x）有1个零点：当a1时，f（0）a10，f（a）ea0，f（a）2aea，f（a）2ea当aln2时，f（a）0；当aln2时，f（a）0所以，f（a）在（，ln2）单调递增，在（ln2，+）单调递减所以，即f（a）0所以f（x）在（，0）和（0，+）各有一个零点，即f（x）有两个零点综上，当a1时，函数f（x）无零点；当a1时，函数f（x）有1个零点；当a1时，f（x）有两个零点（2）证明：由（1）知，函数f（x）恰有两个零点时，a1，且ax10x2a要证2x1+x20，只需证x22x1因为f（x）在（0，+）单调递减，所以只需证f（x2）f（2x1）因为f（x1）f（x2）0，所以只需证f（x1）f（2x1），其中ax10令g（x）f（x）f（2x），ax0，则g（x）（xex+a）（2xe2x+a）3xex+e2x，所以g（x）3ex2e2x，因为g（x）4e2xexg（0）0，所以g（x）在（，0）单调递增，从而g（x）g（0）0，所以g（x）在（，0）单调递减，所以g（x）g（0）0，即f（x）f（2x），于是f（x2）f（2x1），所以2x1+x20
