1、上海大学附中2014届高考数学一轮复习单元精品训练：导数及其应用本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知点P(1,2)是曲线y=2x2上一点，则P处的瞬时变化率为( )A2B4C6D【答案】B2已知某物体的运动方程是(的单位为m), 则当时的瞬时速度是( )A 10m /sB 9m /sC 4m /sD 3m /s【答案】C3已知函数其中为实数。若在处取得极值2，则的值为( )AB C D 【答案】C4函数f(x)的定义域为
2、开区间(a，b)，其导函数f(x)在(a，b)内的图像如右图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数有( )A1个B2个C3个D4个【答案】A5设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为( )ABCD【答案】D6设为可导函数，且满足，则过曲线上点（1，）处的切线斜率为( )A2B-1C1D-2【答案】D7已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )A 3B 2C 1D 【答案】A8给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称 在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数。以下四个函数在上不是凸函数的是( )AB CD【答案】D9若的值为( )AB C
3、D 【答案】A10函数y=f（x） 的图象过原点且它的导函数y=f（x）的图象是如图所示的一条直线，y=f（x）的图象的顶点在( )A第I象限B第II象限C第象限D第IV象限【答案】A11已知函数的图象上一点及邻近一点，则等于( )A4BCD【答案】B12若存在过点(1,0)的直线与曲线和都相切,则( )A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A第卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13记函数的导数为，的导数为的导数为。若可进行次求导，则均可近似表示为：若取，根据这个结论，则可近似估计自然对数的底数 (用分数表示）【答案
4、】14若，则的值为 【答案】15若直线是曲线的切线，则实数的值为 . 【答案】16已知三次函数的图象如图所示，则 【答案】-5三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17已知，(1）求在上的最小值；(2）若对一切，成立，求实数的取值范围【答案】（），令当单调递减；当单调递增，(1）当；(2）当所以 (）由得.设，则. 令，得或（舍），当时，h(x)单调递减；当时，h(x)单调递增，所以 所以18已知函数，其中(）求的单调区间；(）设若，使，求的取值范围【答案】（） 当时， 故的单调减区间为，；无单调增区间 当时，令，得，和的情况如下：故的单调减区间为，
5、；单调增区间为 当时，的定义域为 因为在上恒成立，故的单调减区间为，；无单调增区间 (）因为，所以 等价于 ，其中设，在区间上的最大值为则“，使得 ”等价于所以，的取值范围是19已知函数(1）当m=2时，求曲线在点（1，f(1)）处的切线方程；(2）若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）m=2时，切点坐标为（1，0），切线方程为(2）m=1时，令在（0，+）上是增函数. 又在上有且只有一个零点方程有且仅有一个实数根；(或说明也可以）(3）由题意知，恒成立，即恒成立，则当时，恒成立，令当时，则在时递减，在时的最小值为，则m的取值范围是20 2010年9月5日生效的一年期个人贷款利
6、率为7.29%,小陈准备购买一部汽车,购车一年后一次性付清车款,这时正好某商业银行推出一种一年期优惠贷款业务,年利率为，且（0.045,0.062）,贷款量与利率的平方成正比,因此,小陈申请这种一年期优惠贷款.（利息=贷款量乘以利率）(1)写出小陈采用优惠贷款方式贷款应支付的利息;(2) 一年期优惠利率为多少时,两种贷款的利息差最大?【答案】（1）由题意，贷款量为(，应支付利息= (2）小陈的两种贷款方式的利息差为 令=0，解得或 当 所以，时，利息差取得极大值，即一年期优惠利率为4.68%时,利息差最大.21有一块边长为6m的正方形钢板，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后焊接成一个
7、无盖的蓄水池。(）写出以x为自变量的容积V的函数解析式V(x)，并求函数V(x)的定义域；(）指出函数V(x)的单调区间；(）蓄水池的底边为多少时，蓄水池的容积最大？最大容积是多少？【答案】（）设蓄水池的底面边长为a，则a=6-2x, 则蓄水池的容积为：. 由得函数V(x)的定义域为x(0,3). (）由得.令，解得x3; 令，解得1x0恒成立，求a的取值范围. 【答案】 (1)当a=1时3; f (x)(2)=6. 所以曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y-3=6(x-2), 即.(2)f 1).令f (x)=0,解得x=0或. 以下分两种情况讨论: 若则.当x变化时,f (x),f(x)的变化情况如下表:当时,f(x)0等价于 即 解不等式组得-5a2,则.当x变化时,f (x),f(x)的变化情况如下表:当时,f(x)0等价于 即 解不等式组得或. 因此2a5. 综合和,可知a的取值范围为.
