1、一、 知识梳理1.n次方根：如果，那么x叫做a的n次方根（）2.正数a的n次方根的性质： 3.式子叫根式，n叫根指数，a叫被开方数.4根式运算性质： 在有意义的前提下； 5.正数的正分数指数幂： )6.正数的负分数指数幂： 7. 0的分数指数幂：0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义8. 有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r,s,有下面的运算性质9指数函数： 函数（a0且a1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.10. 指数函数的图像及性质11 对数的定义:.如果（）,那么数b就叫做以a为底的N的对数，记作,其中 12指数式与对数式的互化13常用的两种对数：（1）常用对数
2、： =lgN（2）自然对数：无理数e=2.71828=lnN14 几个常用结论：（1） 负数与零没有对数（2） （3） （4）15.对数的运算性质：如果 a 0，a 1，M 0， N 0有：16. 对数换底公式： ( 其中a 0 ,a 1 ，m 0 ,m 1,N0) 推论： （ a, b 0且均不为1）17. 对数函数：函数，且叫做对数函数。其中x是自变量，函数的定义域是（0，+）值域为R.18. 对数函数的图像及性质19.幂函数定义： 函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数。20幂函数的图象与性质图象: 绿色,蓝色,棕色,黄色,紫色分别表示:性质:（1） 幂函数在（0，+）都有定义，并且图象
3、都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象都通过原点，抛物线型图象，并且在上是增函数；时，幂函数的图象都不过原点，双曲线型图象，在区间（0，+）上是减函数.二、 典型例题例1：(1)计算(0.027)2(1)0；(2) 计算；【解析】(1)原式(0.33)72149145.(2) 原式.变式训练1：(1)已知102,103，求1002；(2）已知9a2b，求的值.【解析】(1)原式10410(10a)4(10)24316.(2) 对条件式等式两边各取以为底的对数得，a9b22.3261.例2：函数f(x)的定义域为_变式训练2：若f(x)，则f(x)的定义域为() A(，0)B(，0 C(，)
4、D(0，)【解析】依题有02x11x0x0，故应选A.例3：已知xln，ylog52，ze，则() Axyz Bzxy Czyx Dyzx【解析】依题，xlnlne1，ylog52log5，1e0ze4，于是有yzx，选D.变式训练3：设alog32，bln2，c5，则() Aabc Bbca Ccab Dcba【解析】alog32，bln2，而3e且ylog2x为增函数，所以ab，又c5，而2log24log23，ca，综上所述cab.例4：当0x时，4xlogax，则a的取值范围是() A(0，) B(，1) C(1，) D(，2)【解析】)易知0a1，则函数y4x与ylogax的大致图象
5、如图，则只需满足loga2，解得a，a1，故选B.变式训练4：已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是() A.(1,10) B(5,6) C(10,12) D(20,24)【解析】a，b， c互不相等，不妨设abc.f(a)f(b)f(c)，则由图可知0a1,1b10,10c12.f(a)f(b)，|lga|lgb|，lgalgb，即lgalga，ab1,10abcc12，故选C.例5：当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，试求底数a的取值范围.【解析】设y(x1)2，ylogax.在同一坐标系中作出它们的图象，如右图所示若0a1，
6、则当x(1,2)时，(x1)2logax是不可能的，所以a应满足解得1a2.所以，a的取值范围为a|10(a0，且a1)的解集.三、 课堂练习1.若有意义，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】因为，所以即，故应选D.2.已知log23a，log25b，则log2等于()Aa2b B2abC. D.【答案】B【解析】由题可知，log2log29log252log23log252ab，故选B.3.在下列关于函数的单调性判断正确的个数是（ ）在上为减函数；在上为增函数；在上为增函数；在上是增函数A1B2 C3 D4、【答案】B 【解析】与的单调性相反，所以在上为增函数，错误；
7、与的单调性相同，所以在上为增函数，正确；与的单调性相反，所以在在上为增函数，正确；与的单调性相同，所以在上是减函数，错误。选B4.已知对数函数的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为()Aylog2xBylog3xCD【答案】B【解析】由题可知，设函数的解析式为ylogax(a0，且a1)，将M(9，2)代入，得2loga9，所以a29，所以a3，即函数的解析式为ylog3x，故选B.四、 课后练习1.（）（A）（B）5（C）（D）25【答案】C【解析】因为，故应选C.2.已知2x3，log4y，则x2y的值为()A3 B8 C4 Dlog48【答案】A【解析】由题可知，因为2x3，所以
8、xlog23log49，即x2ylog492log4log4log4643.故选B.3.如图是指数函数，的图象，则，与的大小关系为() B C D【答案】B 4.函数y的定义域是()ARB(2，)C(，2)D(2，1)(1，)【答案】D【解析】由题可知,要使函数有意义，x的取值需满足解得x2，且x1.故选D.5.已知函数yloga(x3)(a0，a1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)3xb的图象上，则b_【答案】-1【解析】由题可知,当x31，即x2时，对任意的a0，且a1都有yloga10，所以函数yloga(x3)的图象恒过定点A(2，)，若点A也在函数f(x)3xb的图象上，则3
9、2b，所以b1. 6.函数f(x)ax(a0且a1)，在x1,2时的最大值比最小值大，则a的值为_【答案】或【解析】注意进行分类讨论： (1)当a1时，f(x)ax为增函数，此时f(x)maxf(2)a2，f(x)minf(1)a，a2a，解得a1.(2)当0a1时，f(x)ax为减函数，此时f(x)maxf(1)a，f(x)minf(2)a2aa2，解得a(0,1)，综上所述：a或.7. 对于函数，(1)求函数的定义域、值域；(2)确定函数的单调性【答案】详见解析.【解析】 (1)设，函数及的定义域是R，函数的定义域是R.，又，函数的值域为(2)函数在上是增函数，在上是减函数，所以的单调性与相反,所以在3，)上是减函数，在（，3上是增函数.8.已知函数f(x)loga(1x)，g(x)loga(1x)，(a0，a1).(1)设a2，函数f(x)的定义域为3,63，求f(x)的最值；(2)求使f(x)g(x)0的x的取值范围【答案】（1）6；（2）a1时，解集为x|0x1；0a1时解集为x|1x0【解析】(1)当a2时，f(x)log2(1x)，在3,63上为增函数，因此当x3时，f(x)最小值为2.当x63时f(x)最大值为6.(2)f(x)g(x)0,即f(x)g(x),当a1时，loga(1x)loga(1x)
