1、高考模拟卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合My|y，xZ的真子集的个数为()A.7 B.8 C.31 D.32解析因为My|y，xZ0，2，所以集合M的真子集一共有2317(个).故选A.答案A2.已知i是虚数单位，若复数z，则()A.1i B.1iC.1i D.1i解析zi(1i)1i，1i.故选B.答案B3.同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为()A. B. C. D.解析同时抛掷两枚质地均匀的骰子，共有6636种情况，其中向上的点数之和小于5的情况
2、有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6种，所以向上的点数之和小于5的概率P，故选A.答案A4.如图，已知圆柱OO1的轴截面是边长为2的正方形，A1，B1，C1是圆O1的三等分点，BB1AA1OO1，那么异面直线AC1与OB所成角的大小为()A.30 B.45C.60 D.90解析法一如图，取劣弧的中点D，连接AD，易知ADOB，则C1AD或其补角为异面直线AC1与OB所成的角.连接DO并延长交圆O于点C，连接C1C，C1D，由已知易得C1C2，AD1，C1A，C1D2，所以C1A2AD2C1D2，得C1AD90，故选D.法二如图，取优弧的中点C，连接C1
3、C，AC，则OBAC，OBCC1，故OB平面AC1C，所以OBAC1，所以异面直线AC1与OB所成的角为90，故选D.答案D5.已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图：根据该折线图可知，下列说法错误的是()A.该超市2019年的12个月中7月份的收益最高B.该超市2019年的12个月中4月份的收益最低C.该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元D.该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收益解析用列表法表示该超市2019年12个月的收入与支出及收益如下表：月份123456789101112收入/万元4060303
4、05060807070809080支出/万元203010202030203040504050收益/万元203020103030604030305030总收益/万元140240由上表可知C错误.故选C.答案C6.某食品的保鲜时长y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 的保鲜时长是192小时，在22 的保鲜时长是48小时，则该食品在33 的保鲜时长是()A.16小时 B.20小时C.24小时 D.28小时解析由已知条件得，192eb，所以bln 192.又因为48e22kbe22kln 192192e22k192(e
5、11k)2，所以e11k.设该食品在33 的保鲜时长是t小时，则te33kln 192192e33k192(e11k)319224.故选C.答案C7.在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，CD的中点，AF与BE相交于点M，则()A. B.C. D.解析由题意作出示意图，如图.设x，y.因为四边形ABCD是平行四边形，且E，F分别为边AD，CD的中点，所以xx()x2x.因为E，M，B三点共线，所以2x1，解得x.所以.故选D.答案D8.已知函数f(x)若|f(x)|axa0恒成立，则实数a的取值范围是()A. B.0，1C.1，) D.0，2解析由题意，知|f(x)|且|f(x)|a(x
6、1)恒成立，则分别作出函数y|f(x)|及ya(x1)的图象，如图.由图知，当a0，则当ya(x1)与y|f(x)|(x1)图象相切于点(1，0)时，|f(x)|a(x1)恒成立.由导数的几何意义知，(x21)|x1212.当a0时，ya(x1)0，由图知|f(x)|0，所以当a0时，|f(x)|a(x1)恒成立.结合图形可知0a2.故选D.答案D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线过点P，点F为双曲线C的右焦点，则下列结论正确的是()A
7、.双曲线C的离心率为B.双曲线C的渐近线方程为xy0C.若点F到双曲线C的渐近线的距离为，则双曲线C的方程为1D.设O为坐标原点，若|PO|PF|，则SPOF解析因为双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线过点P，所以渐近线方程为yx，即xy0，B错误；易得，所以离心率e，A正确；若点F到双曲线C的渐近线的距离为，即b，a2，则双曲线C的方程为1，C正确；O为坐标原点，P，若|PO|PF|，则F(，0)，所以SPOF，D错误.故选AC.答案AC10.设正实数a，b满足ab1，则()A.有最小值4B.有最小值C.有最大值D.a2b2有最小值解析对于A，因为a，b是正实数，且ab1，所以有2224(
8、当且仅当ab时取等号)，故A正确；对于B，因为a，b是正实数，所以有1ab2(当且仅当ab时取等号)，故B不正确；对于C，因为a，b是正实数，所有以(当且仅当ab时取等号)，故C正确；对于D，因为a，b是正实数，所以有a2b2(当且仅当ab时取等号).故D正确.故选ACD.答案ACD11.已知函数f(x)sin xcos x，g(x)是f(x)的导函数，则下列结论中正确的是()A.函数f(x)的值域与函数g(x)的值域相同B.若x0是函数f(x)的极值点，则x0是函数g(x)的零点C.把函数f(x)的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数g(x)的图象D.函数f(x)和g(x)在区间上均单调递
9、增解析f(x)sin xcos xsin，g(x)f(x)cos xsin xsin，A正确；若x0是函数f(x)的极值点，则x0k，kZ，即x0k，kZ，g(x0)sin0，kZ，即x0是函数g(x)的零点，B正确；把函数f(x)的图象向右平移个单位长度，可以得到函数h(x)sincoscos xsin x的图象，C错误；令2kx2k(kZ)，则函数f(x)在(kZ)上单调递增，令2kx0)，则h(x).当x(0，1)时，h(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4，则ah(x)min4，故实数a的取值范围是(，4.答案(，416.我们知道，在n次独立重复试验(伯努利试验)
10、中，每次试验事件A发生的概率均为p，则事件A发生的次数X服从二项分布B(n，p).事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A首次发生时试验进行的次数Y，显然P(Yk)p(1p)k1，k1，2，3，我们称Y服从“几何分布”，经计算得E(Y).由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为Z，则P(Zk)p(1p)k1(1p)pk1，k2，3，那么E(Z)_.解析由题意可知A发生的概率为p，则发生的概率为1p.设事件首次发生时试验进行的次数为W，则由“几何分布”的定义可知，P(Wm)(1p)pm1，m1，2，3，所以E(W).
11、因为E(W)1(1p)p02(1p)p3(1p)p2m(1p)pm1，m1，2，3，E(Y)且E(Y)1p(1p)02p(1p)3p(1p)2kp(1p)k1，k1，2，3，所以E(Z)2p(1p)2(1p)p3p(1p)23(1p)p2kp(1p)k1k(1p)pk1，k2，3，即E(Z)E(Y)E(W)1p(1p)01(1p)p0p1p1.答案1四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在3asin C4ccos A，2bsin asin B这两个条件中任选一个，补充至横线上，然后解答补充完整的问题.(注：如果选择多个条件分别解答
12、，按第一个解答计分)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知_，a3.(1)求sin A；(2)如图，点M为边AC上一点，MCMB，ABM，求ABC的面积.解选择条件.(1)由3asin C4ccos A及正弦定理，得3sin Asin C4sin Ccos A.因为sin C0，所以3sin A4cos A，9sin2A16cos2A，所以25sin2A16.因为sin A0，所以sin A.(2)法一设MBMCm，易知cos BMCcos BMAsin A.在BMC中，由余弦定理，得182m22m2，解得m(负值已舍去).所以SBMCm2sin BMC5.在ABM中，sin
13、 A，BM，ABM，则AB.所以SABM.所以SABC.法二因为MBMC，所以MBCMCB.因为ABM，所以A2C，则2CA，所以sin 2Csincos A.因为A为锐角，所以sin 2Ccos A.在ABC中，由正弦定理，得，所以bsin ABC，csin C.所以SABCbcsin Asin ABCsin Csinsin Csin Ccos Csin 2C.选择条件.(1)因为2bsin asin B，所以2bsin asin B.由正弦定理，得2sin Bcos sin Asin B.因为sin B0，所以2cos sin A，则cos sin cos .因为cos 0，所以sin ，
14、则cos ，所以sin A2sin cos .(2)同选择条件.18.(本小题满分12分)在数列an，bn中，a1b11，an13anbn3n1，bn13bnan3n1.等差数列cn的前两项依次为a2，b2.(1)求数列cn的通项公式；(2)求数列(anbn)cn的前n项和Sn.解(1)a1b11，a22，b26，则数列cn的公差d6(2)8.数列cn的通项公式为cn28(n1)8n10.(2)an13anbn3n1，bn13bnan3n1，得an1bn12(anbn).a1b12，数列anbn是首项为2，公比为2的等比数列，anbn2n.Sn22622(8n10)2n，则2Sn222623(
15、8n10)2n1，Sn2Sn48(22232n)(8n10)2n1，即Sn48(2n14)(8n10)2n1(188n)2n136，Sn(4n9)2n236.19.(本小题满分12分)追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据，结果统计如下：AQI0，50(50，100(100，150(150，200(200，250(250，300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数61418272510(1)从空气质量指数在0，50，(50，100内的20天中任取3天，求这3天中空气质
16、量至少有2天为优的概率；(2)已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y(单位：元)与空气质量指数x的关系式为y假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别是，.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.解(1)设为选取的3天中空气质量为优的天数，则P(2)P(2)P(3).(2)X的所有可能取值为0，220，1 480.P(X0)P(0x100)，P(
17、X220)P(100x250)，P(X1 480)P(25028 800，所以这3个月经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.20.(本小题满分12分)如图，PABC是一个三棱锥，AB是圆的直径，C是圆上异于A，B的点，PC垂直于圆所在的平面，D，E分别是棱PB，PC的中点.(1)求证：DE平面PAC；(2)若二面角ADEC是45，ABPC4，求AE与平面ACD所成角的正弦值.(1)证明因为AB是圆的直径，所以BCAC.因为PC垂直于圆所在的平面，BC在圆所在平面内，所以PCBC.又因为ACPCC，所以BC平面PAC.因为D，E分别是棱PB，PC的中点，所以DEBC，所以DE平面PAC.(2
18、)解由(1)可知，DE平面PAC，AE，CE平面PAC，所以DEAE，DEEC，所以AEC为二面角ADEC的平面角，所以AEC45，因为PC垂直于圆所在的平面，AC在圆所在平面内，所以PCAC，所以ACECPC2.由BCAC，AB4，得BC2.以C为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系Cxyz，则C(0，0，0)，A(0，2，0)，E(0，0，2)，D(，0，2)，所以(0，2，2)，(0，2，0)，(，0，2).设n(x，y，z)是平面ACD的法向量.由得令x2，得y0，z，所以平面ACD的一个法向量为n(2，0，).所以cosn，.所以AE与平面AC
19、D所成角的正弦值为.21.(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm(k0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线l过定点(1，0)，求实数k的取值范围.解(1)由题意可知得故椭圆C的标准方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将ykxm(k0)代入椭圆方程，消去y得，(14k2)x28kmx4m240，(8km)24(14k2)(4m24)0，即m24k21.由一元二次方程根与系数的关系，得x1x2，则y1y2，所以线段MN的中点P的坐标为.又线段MN的垂直平分线l的方程为y(x1)，
20、由点P在直线l上，得，即4k23km10，所以m(4k21).由得，0，所以4k219k2，解得k，故实数k的取值范围是.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)axsin x(aR)，且在上的最大值为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，)内的零点个数，并加以证明.解(1)由已知得f(x)a(sin xxcos x)，对于任意x，有sin xxcos x0.当a0时，f(x)，不合题意；当a0时，x时，f(x)0，从而f(x)在内单调递减，又f(x)在上的图象是连续不间断的，故f(x)在上的最大值为f(0)，不合题意；当a0，x时，f(x)0，从而f(x)在内单调递
21、增，又f(x)在上的图象是连续不间断的，故f(x)在上的最大值为f，即a，解得a1.综上所述，得f(x)xsin x.(2)f(x)在(0，)内有且只有两个零点.证明如下：由(1)知，f(x)xsin x，从而有f(0)0，f0，又f(x)在上的图象是连续不间断的，所以f(x)在内至少存在一个零点.又由(1)知f(x)在上单调递增，故f(x)在内有且只有一个零点.当x时，令g(x)f(x)sin xxcos x.由g10，g()0，且g(x)在上的图象是连续不间断的，故存在m，使得g(m)0.由g(x)2cos xxsin x，知x时，有g(x)0，从而g(x)在内单调递减.当x时，g(x)g(m)0，即f(x)0，从而f(x)在内单调递增，故当x时，f(x)f0，故f(x)在上无零点；当x(m，)时，有g(x)g(m)0，即f(x)0，从而f(x)在(m，)内单调递减.又f(m)0，f()0，且f(x)在m，上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，)内有且仅有一个零点.综上所述，f(x)在(0，)内有且只有两个零点.