1、第七节 应 用 举 例【知识梳理】1.三角形的面积公式 SABC=aha=bhb=chc=_=_=_.1212121 absin C21 bcsin A21 casin B22.实际测量中的常见问题 求AB图形需要测量 的元素解法求竖直高度底部可达ACB=BC=a解直角三角形 AB=atan底部不可达ACB=ADB=CD=a解两个直角三角形 AB=atan tantantan 求AB图形需要测量 的元素解法求水平距离山两侧ACB=AC=b BC=a用余弦定理 AB=河两岸ACB=ABC=CB=a用正弦定理 AB=22ab2abcosasinsin()求AB图形需要测量 的元素解法求水平距离 河
2、对岸ADC=BDC=BCD=ACD=CD=a在ADC中,AC=在BDC中,BC=在ABC中,应用余弦定理求ABasinsin()asinsin()3.实际问题中的常用术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与 俯角 在目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.方位角的范围是0 B.=C.+=90 D.+=180【解析】选B.根据题意和仰角、俯角的概念画出草图,如图.知=,故应选B.4.(2016德州模拟)两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a(km),灯塔A在
3、C北偏东30,B在C南偏东60,则A,B之间距离为()A.akm B.akm C.akm D.2akm 23【解析】选A.在ABC中,AC=BC=a,ACB=90,所以 AB=a(km).25.(2016枣庄模拟)A,B是海面上 位于东西方向相距5(3+)海里的 两个观测点.现位于A点北偏东45,B点北偏西60的D点有一艘轮船发 出求救信号,位于B点南偏西60且与B点相距 320 海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30海里/小时,该救援船到达D点需要的时间为()A.1小时 B.2小时 C.(1+)小时 D.小时 333【解析】选A.由题意知AB=5(3+)海里,DBA=90-60=
4、30,DAB=45,所以ADB=105,在DAB中,由正弦定理得 所以DB=3AB sin DAB5(33)sin 4510 3,sin ADBsin 105海里DBAB,sin DABsin ADB又DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60,BC=20 海里,在DBC中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC=300+1200-2 所以CD=30(海里),则需要的时间t=1(小时).3110 320 3900,23030考向一 测量高度问题【典例1】(1)(2015湖北高考)如图,一 辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 3
5、0的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西 偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD=m.(2)如图从某电视塔CO的正东方向的A处,测得塔顶的仰角为60,在电视塔的南 偏西60的B处测得塔顶的仰角为45,AB间的距离为35米,则这个电视塔的高度 为 米.【解题导引】(1)先用正弦定理求得BC的长度,再解三角形得出CD的长度.(2)在图中,标注已知量,解三个三角形.【规范解答】(1)在ABC中，CAB=30,ACB=75-30=45,根据正弦定理知，即 BCAB,sin BACsin ACBAB6001BCsin BAC300 2 m,sin ACB222所以 答案：3CDBCta
6、n DBC300 2100 6 m.3100 6(2)如图,可知CAO=60,AOB=150,OBC=45,AB=35米.设OC=x米,则OA=米,OB=x米.在ABO中,由余弦定理,得 AB2=OA2+OB2-2OAOBcosAOB,3 x3即 整理得x=5 ,所以此电视塔的高度是5 米.答案：5 2222x2 335xx cos 150,33212121【规律方法】求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键.(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图
7、形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.易错提醒:解三角形实际问题时注意各个角的含义,根据这些角把需要的三角形的内角表示出来.而容易出现的错误是把角的含义弄错,把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错.【变式训练】(2016青岛模拟)如图所 示,为测一棵树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30,45,且A,B两点之间的距离为60m,则树的高度为()A.(30+30 )m B.(30+15 )m C.(15+30 )m D.(15+3 )m 3333【解析】选A.由正弦定理可得 60PB,s
8、in(4530)sin 30160302PB,hPBsin 453030 3 m.sin 15sin 15【加固训练】1.(2016东营模拟)如图,在塔底D的正西 方A处测得塔顶的仰角为45,在它的南偏 东60的B处测得塔顶的仰角为30,AB的距离是84m,则塔高为()A.24 m B.12 m C.12 m D.36 m 75【解析】选C.设塔高CD=xm,则AD=xm,DB=xm.在ABD中,利用余弦定理,得842=x2+(x)2-2 x2cos150,解得x=12 (负值舍去),故塔高为12 m.733372.(2016青岛模拟)如图,在湖面上高为 10m处测得天空中一个红色气球的仰角为
9、 30,测得湖中之影的俯角为45,则气 球距湖面的高度为(1.732,精确到0.1m)()A.2.7 m B.17.3 m C.37.3 m D.373 m 3【解析】选C.在ACE中，tan 30=所以AE=在AED中，tan 45=CECM10.AEAECM 10.tan 30DECM10AEAE，CM10CM 10CM10AEtan 45tan 30tan451031CM10 2337.3 m31所以，所以，所以3.(2016台州模拟)在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动,开始时该物体位于P点,一分钟后其位置在Q点,且POQ=90,再过两分钟后,该物体位于R点,且QOR=60,则ta
10、n2OPQ的值等于()42 34A.B.C.D.2799以上均不正确【解析】选A.设PQ=x,QR=2x,OPQ=.如图,因为POQ=90,QOR=60,所以ORP=30-,在RtOPQ中,OQ=xsin.在OQR中,由正弦定理,2OQQR,sin(30)sin 604 3xOQsin(30).34 3x,xsinsin(30),32 34tantan.927 得解得由 得解得，即4.(2016郑州模拟)在地平面上有一旗 杆OP(O在地面),为了测得它的高度h,在 地平面上取一基线AB,测得其长为20m,在A处测得P点 的仰角为30,在B处测得P点的仰角为45,又测得 AOB=30,则旗杆的高
11、h等于()A.10 m B.20 m C.10 m D.20 m 33【解析】选B.根据题意有PAO=30,PBO=45,AB=20,AO=h,BO=h,在ABO中,利用余弦定理求得h=20(m).35.(2016临沂模拟)张帅在操场上某点B处测得学校的 科技大楼AE的顶端A的仰角为,沿BE方向前进30 m至 点C处测得顶端A的仰角为2.继续前进10 m至D点,测得顶端A的仰角为4,则 等于 .3【解析】画出示意图,在ABE中,AC=BC=30m,CD=DA=10 m,所以cosACD=cos2=15.答案:15 3222CDACAD32CD AC2考向二 测量距离问题【典例2】(2016青岛
12、模拟)如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船 于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75,30,于水 面C处测得B点和D点的仰角均为60,AC=100m.试探究 图中B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B,D的 距离(计算结果精确到1m,1.414,1.732,2.449)236【解题导引】利用正弦定理求解.【规范解答】在ACD中,DAC=30,ADC=60-DAC=30,所以CD=AC=100m,又BCD=180-60-60=60,故CB是CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA.在ABC中,即AB=因此BD335m 所以B,D间的距离与
13、B,A间的距离相等,约为335m.ABACsin BCAsin ABC，ACsin 6050(3 26)335,sin 15【母题变式】1.若本例题中条件不变,求两灯塔的高度(灯塔塔顶离水平面的距离).【解析】如图,灯塔B的高度为BF=ABsin75=323(m),灯塔D的高度为DE=CDsin60=100 87(m).2650(3 26)4322.若本例题条件改为于水面C处测得B点和D点的仰角分别为45,75,其他条件不变,求BD.【解析】在ADC中，在ABC中，在DBC中，由余弦定理得 ACsin30 DC50 2 m,sin 45ACsin 105BC50(62),sin 302222B
14、DBCCD2BC CDcos BCD150(62)(50 2)250(62)50 2250 82 3169.米【规律方法】1.距离问题的常见类型及解法(1)类型:测量距离问题常分为三种类型:山两侧、河两岸、河对岸.(2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将实际问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.2.解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解能求解的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量
15、,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.【变式训练】如图,为了了解某海域海底构造,在海平 面内一条直线上的A,B,C三点进行测量,已知AB=50m,BC=120m,于A处测得水深AD=80m,于B处测得水深 BE=200m,于C处测得水深CF=110m,求DEF的余弦值.【解析】作DMAC交BE于点N，交CF于点M 222222222222222222DFMFDM3017010 298 mDEDNEN50120130 mEFBEFCBC90120150 m,DEFDEEFDF1301501029816cos DEF.2DEEF2 130 15065，在中，由余弦定理得，【加
16、固训练】1.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量 者在A的同侧所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,ACB=45,CAB=105后,就可以计算出A,B两点间的距离为()25 2A 50 2 m B 50 3 m C 25 2 m D.m2【解析】选A.由AC=50m,ACB=45,CAB=105,所以CBA=30,在ABC中,由正弦定理可得 ACAB50ABsin CBAsin ACBsin 30sin 45AB50 2 m.，即，所以2.(2016佛山模拟)在相距2千米的A,B两点处测量目标点C,若CAB=75,CBA=60,则A,C两点之间的距离为 千米.【解析】ACB=180-
17、75-60=45,由正弦定理得 AC=千米.答案：ACAB2,sin 60sin 45sin 4566考向三 正弦定理、余弦定理的综合应用【考情快递】命题方向命题视角航海方面的应用问题主要考查根据正弦定理、余弦定理解决航海方面的角度、速度、距离等问题,属中档题解三角形中与面积有关的综合问题考查面积的求法或以三角形的面积、周长为载体,求三角形的边、角等【考题例析】命题方向1:航海方面的应用问题【典例3】(2016淄博模拟)如图,在海 岸A处,发现北偏东45方向距A为(-1)海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75方向,距A为 2海里的C处的缉私船奉命以10 海里/时的速度追截 走私船.此时走私船
18、正以10海里/时的速度从B处向北 33偏东30方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走 私船?并求出所需要的时间(注:2.449).6【解题导引】根据题意在图中标注已知条件,先使用余弦定理求BC,再使用正弦定理求角度.【规范解答】设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能 最快截获(在D点)走私船,则有CD=10 t(海里),BD=10t(海里).在ABC中,因为AB=(-1)海里,AC=2海里,BAC=45+75=120,33根据余弦定理,可得 根据正弦定理,可得 sinABC=所以ABC=45,易知CB方向与正北方向垂直,从而CBD=90+30=120.22BC3122 231 cos 1206
19、()海里 32ACsin 12022.BC26 在BCD中,根据正弦定理,可得 sinBCD=所以BCD=30,BDC=30,所以BD=BC=(海里),BDsin CBD10t sin 1201CD210 3t，6则有10t=,t=0.245小时=14.7分钟.答:缉私船沿北偏东60方向,需14.7分钟才能追上走私船.6610命题方向2:解三角形中与面积有关的综合问题【典例4】(1)(2015天津高考)在ABC中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知ABC的面积为 ,b-c=2,cosA=-,则a的值为 .3 1514(2)(2015杭州模拟)已知ABC的周长为 +1,且sinA+s
20、inB=sinC.求边AB的长;若ABC的面积为 sinC,求角C的度数.2216【解题导引】(1)先求A的正弦,代入面积公式,求得bc的值,解方程组求b,c,最后由余弦定理求a.(2)根据题意和正弦定理,列出关于AB的方程求解;由面积公式及余弦定理求解.【规范解答】(1)因为0A,所以sinA=又SABC=所以bc=24,2151 cos A4，115bcsin Abc3 15,28解方程组 得b=6,c=4,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=62+42-264 =64,所以a=8.答案:8 bc2bc24，1()4(2)由题意及正弦定理,得AB+BC+AC=+1,BC+AC=
21、AB,由两式消元,解方程得AB=1.由ABC的面积 BCACsinC=sinC,得BCAC=由余弦定理,得cosC=因为0C180,所以C=60.22121613，22222ACBC2AC BCABACBCAB12AC BC2AC BC2，【技法感悟】1.航海方面的应用问题的解题策略 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.2.解三角形中与面积有关的综合问题(1)求三角形面积的方法 若三角形中已知一个角(角的大小,或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之
22、积,套公式求面积.若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦值,套公式求面积,总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.(2)三角形中,已知面积求边、角的方法 三角形面积公式中含有两边及其夹角,故根据题目的特点,若求角,就寻求夹这个角的两边的关系,利用面积公式列方程求解;若求边,就寻求与该边(或两边)有关联的角,利用面积公式列方程求解.【题组通关】1.(2016泰安模拟)一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75,距灯塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向N处,则该船航行的速度为()17 2A./B 34 6/217 6C./D 34 2/2海里 小时
23、海里 小时海里 小时 海里 小时【解析】选C.如图所示,在PMN中,PM=68,PNM=45,PMN=15,MPN=120,由正弦定理可得 所以MN=所以该船的航行速度为 海里/小时.68MNsin 45sin 120，34 6，17 622.(2016聊城模拟)在ABC中,AB=3,AC=4,BC边上的 中线长为 ,则ABC的面积为 .372【解析】如图，设BD=DC=x，ADB=,在ABD和ACD中，应用余弦定理得 23737x2xcos 9,42 23737x2xcos()1642 两个式子相加，得 在ABC中，由余弦定理得 cos A=所以A=60,所以SABC=34sin 60=答案
24、：2237132x25x24，即，222434x1,2 4 32 123 3.3 33.(2016淄博模拟)在ABC中,已知B=,AC=4 ,D为BC边上一点.(1)若AD=2,SDAC=2 ,求DC的长.(2)若AB=AD,试求ADC的周长的最大值.333【解析】(1)因为SDAC=所以 ADACsinDAC=所以sinDAC=.因为DACBAC 所以DAC=在ADC中，由余弦定理，得 2 3，12122 3，233，.6DC2=AD2+AC2-2ADACcos ，所以DC2=4+48-22 所以DC=(2)因为AB=AD，B=所以ABD为正三角形，在ADC中，根据正弦定理，可得 634 3
25、282，2 7.3，AD4 3DC2sin Csinsin(C)33AD8sin CDC8sin(C)3ADCADDCAC8sin C8sin(C)4 33318(sin Ccos Csin C)4 322138(sin Ccos C)4 38sin(C)4 3.223，所以，所以的周长为2ADC0C332CC33332CADC84 3.6因为，所以，所以，所以当，即时，的周长的最大值为【加固训练】(2016温州模拟)如图,水平地面ABC与 墙面CBD垂直,E,F两点在线段BC上,且满 足|EF|=4,某人在地面ABC上移动,为了 保证观察效果,要求他到E,F两点的距离和恰好为6,把 人的位置记为P,点R在线段EF上,满足RF=1,点Q在墙面上,且QRBC,QR=2,由点P观察点Q的仰角为,当PE垂直墙面DBC时,则tan=.【解析】由题意知,PE+PF=6,在直角三角形PEF中,由勾股定理可知,PE2+EF2=PF2,即PE2+16=PF2,联立可得PE=5,3所以在直角三角形PER中,由勾股定理可知,PE2+ER2=PR2,所以PR=于是在直角三角形PRQ中,tan=答案:106,3QR23106.PR531063310653
