1、浙江省宁波市镇海区镇海中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：每小题4分，共40分1.方程表示的曲线是（ ）A. 一条射线B. 双曲线C. 双曲线的左支D. 双曲线的右支【答案】D【解析】【分析】根据方程表示点到点和点的距离之差为，得到答案.【详解】方程表示点到点和点的距离之差为，故表示的是双曲线的右支.故选：.【点睛】本题考查了方程表示的曲线，转化为几何意义是解题的关键.2.已知,则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求得不等式的解集为或，再结合充分条件和必要条件的判定，即
2、可求解【详解】由题意，不等式，等价与，即，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件故选A【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及分式不等式的求解，其中解答中正确求解不等式的解集，合理利用充分、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题3.“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思”这是唐代诗人王维相思诗，在这4句诗中，可作为命题的是()A. 红豆生南国B. 春来发几枝C. 愿君多采撷D. 此物最相思【答案】A【解析】【分析】利用命题的定义即可判断出答案【详解】由命题的定义可知：“红豆生南国”这一句可以判断红豆生在什么地方，因此可以作为一个命题故选A【点
3、睛】正确理解命题的定义是解题的关键4.已知m，n表示两条不同直线，表示两个不同的平面，以下能判定m的是（ ）A. 且mB. 且mC. 且mD. mn且n【答案】C【解析】【分析】选项均可得到，或与相交，得到答案.【详解】A. 且m，则或或与相交，故排除； B. 且m，则或或与相交，故排除； C. 且m，则m，正确；D. mn且n，则或或与相交，故排除；故选：.【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.5.在空间直角坐标系Oxyz中，O为坐标原点，若点P（1，2，3）在平面xOz上的投影为点B，则线段OB的长度为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】计
4、算得到，再计算长度得到答案.【详解】点P（1，2，3）在平面xOz上的投影为点，故.故选：.【点睛】本题考查了空间中点的投影，距离的计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.6.下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若，则0”的否命题为“若，则0”B. 命题“函数f（x）（a1）x是R上的增函数”的否定是“函数f（x）（a1）x是R上的减函数”C. 命题“在ABC中，若sinAsinB，则AB”的逆否命题为真命题D. 命题“若x2，则x23x+20”的逆命题为真命题【答案】C【解析】【分析】根据否命题，逆命题，逆否命题，命题否定的定义依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 命题“若，则
5、0”的否命题为“若不垂直，则0”，故错误；B. 命题“函数f（x）（a1）x是R上的增函数”的否定是“函数f（x）（a1）x不是R上的增函数”，故错误；C. 命题“在ABC中，若sinAsinB，则AB”是真命题，故逆否命题为真命题，正确；D. 命题“若x2，则x23x+20”的逆命题为“若x23x+20，则x2”，为假命题，错误；故选：.【点睛】本题考查了命题的否定，否命题，逆否命题，逆命题，意在考查学生对于命题的理解和掌握.7.已知正方体ABCDA1B1C1D1，点E为平面BCC1B1的中心，则直线DE与平面ACD1所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】如
6、图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为，则，.易知平面的法向量为，计算夹角得到答案.【详解】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为，则，.根据得到平面的法向量为，故，故，直线DE与平面ACD1所成角，满足.故选：.【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.8.设双曲线的上焦点为F，过点F作与y轴垂直的直线交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，则双曲线的离心率e的值是（ ）A. 3B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三点共线得到，计算得到，代入双曲线方程，化简得到答案.【详解】渐近线为：，取，解得，则.，且三点共
7、线，故，则 或，不妨取，则，代入双曲线方程得到：，即.故选：.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，根据共线得到是解题的关键.9.设抛物线y28x的焦点为F，经过定点P（a，0）（a0）的直线l与抛物线交于A，B两点，且，|AF|+2|BF|9，则a（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】过作垂直准线于，过点 作垂直准线于，连接并延长与的延长线交于，根据相似得到，得到答案.【详解】如图所示：过作垂直准线于，过点 作垂直准线于，连接并延长与的延长线交于.，则，即，.根据三角形相似得到：，故，故.故选：.【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力
8、.10.四棱锥PABCD中，已知，|AB|AD|a，|AP|b，|PC|1，则b的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据对称性知在平面的投影在的角平分线上，设为，作于，连接，计算得到，根据勾股定理计算得到答案.【详解】根据对称性知在平面的投影在的角平分线上，设为，作于，连接，.，故平面，故，故，.，.在中，即，故.当和点重合时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了四棱锥中距离的最值问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11.双曲线的渐近线方程为_，焦点坐标为_【答案】 (1). yx (2). （2，0）【解析】【分析
9、】直接利用渐近线方程公式和焦点公式得到答案.【详解】双曲线的渐近线方程为：，焦点坐标为.故答案：；.【点睛】本题考查了渐近线和焦点，属于简单题.12.已知，若，则_；若，则+_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据垂直得到，根据平行得到，计算得到答案.【详解】，故；，则，即，故，解得 故.故答案为：；.【点睛】本题考查根据向量垂直平行求参数，意在考查学生的计算能力.13.已知向量，是空间的一组单位正交基底，向量，是空间的另一组基底，若向量在基底，下的坐标为（2，1，3），p在基底，下的坐标为（x，y，z），则xy_，z_【答案】 (1). 1 (2). 3【解析】【分析】化简得到，
10、对比系数得到答案.【详解】根据题意知：，.故；故答案为：；.【点睛】本题考查了向量基本定理的应用，意在考查学生的计算能力.14.若动点P到点F（0，1）的距离比它到直线y2的距离少1，则动点P的轨迹C的方程为_，若过点（2，1）作该曲线C的切线l，则切线l的方程为_【答案】 (1). x24y (2). yx1【解析】【分析】设动点P的坐标为（x，y），代入化简得到答案，设过点（2，1）的直线方程为yk（x2）+1，计算得到答案.【详解】设动点P的坐标为（x，y），由题意可知：；x24y；动点P的轨迹C方程为x24y；设过点（2，1）的直线方程为yk（x2）+1；当k不存在时，则直线方程为x2
11、，与曲线C不相切；当k存在时，联立，x24kx+8k40直线与曲线C相切，16k232k+160；解得k1；切线l的方程为yx1故答案为：；.【点睛】本题考查了轨迹方程，切线问题，意在考查学生的计算能力.15.在四面体ABCD中，ABD和BCD均为等边三角形，AB2，则二面角BADC的余弦值为_【答案】【解析】【分析】如图所示建立空间直角坐标系，平面的法向量，平面的法向量，利用夹角公式计算得到答案.【详解】设中点为，则，故，故两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系.平面的法向量，设平面的法向量为，则，解得：，则法向量夹角.故二面角BADC的余弦值为.故答案为：.【点睛】本题考查了二面角，意在考查
12、学生的空间想象能力和计算能力.16.四边形ABCD的各个顶点依次位于抛物线yx2上，BAD60，对角线AC平行x轴，且AC平分BAD，若，则ABCD的面积为_【答案】【解析】【分析】不妨设，计算得到，计算得到，根据计算得到答案.【详解】不妨设.则 ，故；，故.，即，.故答案为：.【点睛】本题考查了抛物线的内接四边形面积，意在考查学生的计算能力.17.已知椭圆E：，点A，B分别是椭圆E的左顶点和上顶点，直线AB与圆C：x2+y2c2相离，其中c是椭圆的半焦距，P是直线AB上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，若存在点P使得PMN是等腰直角三角形，则椭圆离心率平方e2的取值范围是_【
13、答案】，）【解析】【分析】根据直线和圆相离得到a2b2c2（a2+b2），根据等腰三角形得到2e45e2+10，计算得到答案.【详解】AB所在直线方程为，即bxay+ab0，又直线AB与圆C：x2+y2c2相离，c，即a2b2c2（a2+b2），a2（a2c2）c2（2a2c2），整理得：e43e2+10，解得0e2；又存在点P使得PMN是等腰直角三角形，则在RtOPN中，OPONc，即a2b22c2（a2+b2），a2（a2c2）2c2（2a2c2），整理得2e45e2+10，解得e21e2的取值范围是，）故答案为：，）.【点睛】本题考查了椭圆的离心率问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能
14、力.三、解答题：5小题，共74分18.已知a0，且a1命题P：函数f（x）logax在（0，+）上为增函数；命题Q：函数g（x）x22ax+4有零点（1）若命题P，Q满足P真Q假，求实数a的取值范围；（2）命题S：函数yf（g（x）在区间2，+）上值恒为正数若命题S为真命题，求实数a的取值范围【答案】（1）（1，2）；（2）（1，）【解析】【分析】（1）根据命题P，Q满足P真Q假，计算得到答案.（2）首先保证g（x）x22ax+4在2，+）上恒大于0，再讨论0a1和1a2两种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）由命题P：函数f（x）logax在（0，+）上为增函数是真，得a1；由命题Q：函数
15、g（x）x22ax+4有零点为假，得4a2160，得2a2使命题P真Q假的实数a的取值范围是（1，2）；（2）若函数yf（g（x）在区间2，+）上值恒为正数，则首先保证g（x）x22ax+4在2，+）上恒大于0，则4a2160或，得2a2又a0且a1，0a2且a1当0a1时，外层函数f（x）单调递减，而内层函数g（x）当x+时，g（x）+，此时yf（g（x）0，不合题意；当1a2时，外层函数f（x）单调递增，要使yf（g（x）0在区间2，+）上恒成立，则g（x）x22ax+4在2，+）上的最小值大于1即g（2）84a1，得a1a即使命题S为真命题的实数a的取值范围是（1，）【点睛】本题考查了根
16、据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.19.如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是菱形，BD2（1）若点E，F分别为线段PD，BC上的中点，求证：EF平面PAB；（2）若平面PBD平面ABCD，且PDPB，PDPB，求平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）取AP的中点为H，连接EH，HB，证明四边形BFEH为平行四边形得到答案.（2）过A作ANPB于点N，连接NC，AC，BD，设AC交BD于点O，确定则ANC 为二面角APBC 的平面角，计算得到答案.【详解】（1）取AP的中点为H，连接EH，HB；由E，H分别为PD，
17、PA的中点，则EHAD且；又F为BC的中点，则BFAD且；所以EHBF且EHBF，则四边形BFEH为平行四边形；所以EFBH，又HB平面PAB；所以EF平面PAB；（2）过A作ANPB于点N，连接NC，AC，BD，设AC交BD于点O，在PBD中O为AC的中点，PDPB，则POBD；又平面PBD平面ABCD，所以PO平面ABCD；在PBD中，PDPB，BD2则PDPB；由题意有PAPC，AO2，在等腰三角形APB中，；由PABPCB，则CNPB；CNAN在ACN中，；故平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为【点睛】本题考查了线面平行和二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20.如
18、图，已知椭圆，过动点M（0，m）的直线交x轴于点N，交椭圆C于A，P（其中P在第一象限，N在椭圆内），且M是线段PN的中点，点P关于x轴的对称点为Q，延长QM交C于点B，记直线PM，QM的斜率分别为k1，k2（1）当时，求k2的值；（2）当时，求直线AB斜率的最小值【答案】（1）k21（2）最小值为1【解析】【分析】（1）设P（x0，y0），（x00，y00），M（0，m），计算得到，得到答案.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA的方程为ykx+m，（k0），联立方程计算得到，代入数据利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）设P（x0，y0），（x00，y00），M（0，m）
19、，可得P（x0，2m），Q（x0，2m）所以直线PM的斜率；直线QM的斜率；此时当时k21；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）直线PA的方程为ykx+m，（k0）由，得（1+3k2）x2+6kmx+3m230，即；所以；直线QB的方程为y3kx+m同理有：，2，当且仅当，即时取等号；故直线AB 的斜率的最小值为1【点睛】本题考查了椭圆内的斜率问题，综合考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合理解能力.21.如图，ABC为正三角形，且BCCD2，CDBC，将ABC沿BC翻折（1）当AD2时，求证：平面ABD平面BCD；（2）若点A的射影在BCD内，且直线AB与平面ACD所成角为60
20、，求AD的长【答案】（1）见解析（2）【解析】分析】（1）根据长度关系得到AE平面BCD，得到证明.（2）取BC中点O，BD中点E，连接AO，OE，得HQ平面ACD，计算HQ，AH，计算得到答案.【详解】（1）若AD2，又ABAC2，则A在底面BCD内的射影为BCD的外心，BCD为直角三角形，且BCD90，A在底面BCD内的射影E落在BD的中点上，AE平面BCD，而AE平面ABD，平面ABD平面BCD；（2）取BC中点O，BD中点E，连接AO，OE，可得BC平面AOE，过A作AHOE于H，过H作HNBC交CD于N，连接AN，作HQAN于Q，得HQ平面ACD，点B到平面ACD的距离为2HQ，则s
21、in60，得HQ，设AHx，有，解得x，即AH，又AO，H与O重合，则AD【点睛】本题考查了面面垂直，根据线面夹角求线段长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.22.已知抛物线C：x22py（p0）的焦点到直线l：2xy10的距离为（1）求抛物线的方程；（2）过点P（0，t）（t0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，交x轴于点Q，若抛物线C上总存在点M（异于原点O），使得PMQAMB90，求实数t的取值范围【答案】（1）x2y；（2）t1【解析】【分析】（1）直接利用点到直线的距离公式计算得到答案.（2）过点P（0，t）（t0）的直线l的方程设为ykx+t，联立方程，利用韦达定理得到x1+
22、x2k，x1x2t，且y1x12，y2x22，根据PMQAMB90，可得1，化简得到答案.【详解】（1）抛物线C：x22py（p0）的焦点（0，）到直线l：2xy10的距离为，可得，解得p，即抛物线的方程为x2y；（2）过点P（0，t）（t0）的直线l的方程设为ykx+t，联立x2y，可得x2kxt0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得k2+4t0，x1+x2k，x1x2t，且y1x12，y2x22，设M（m，m2），Q（，0），由PMQAMB90，可得1，化为m3mt+m，1，即（m+x1）（m+x2）1，化为m2+kmt+10，由可得tk2m2，由k24（1t）0可得4（1t）k2，由于m0，m20，可得0解得t1【点睛】本题考查了抛物线方程，根据直线和抛物线的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力.
