1、阶段质量评估(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知a2，b2，则有()AababBababCabab Dabab解析：作商比较法.，又a2，b2，.1.答案：C2设alg 2lg 5，bex(x0)，则a与b的大小关系是()AabCab Dab解析：alg 2lg 5lg 101，x0，bexe01.ab.答案：B3使不等式1成立的正整数a的最大值是()A10 B11C12 D13解析：用分析法可证a12时不等式成立，a13时不等式不成立答案：C4已知ba0，且ab1，则()A2ab
2、bB2abbC.2abbD2abb解析：(特殊值法)令a，b，则2ab，.答案：B5若0xy1，则()A3y3x Blogx3logy3Clog4xlog4y D.xy解析：y3x在R上是增函数，且0xy1，3x3y.故A错误ylog3x在(0，)上是增函数且0xy1，log3xlog3ylog310.0.logx3logy3.故B错误ylog4x在(0，)上是增函数，且0xy1，log4xlog4y.故C正确yx在R上是减函数，且0xy1，xy.故D错误答案：C6用反证法证明命题“如果ab，那么”时，假设的内容是()A. B.C.且 D.或解析：由反证法的特点可知D正确答案：D7已知正整数a
3、，b满足4ab30，则使得取最小值时的实数对(a，b)是()A(5,10) B(6,6)C(10,5) D(7,2)解析：，当且仅当且4ab30，即a5，b10时，取最小值答案：A8已知ABC中，C90，则的取值范围是()A(0,2) B(0，C(1， D1，解析：因为C90，所以c2a2b2.即c.又有abc，所以1(当且仅当ab时取等号)答案：C9如果正数a，b，c，d满足abcd4，那么()Aabcd且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一Babcd且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一Cabcd且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一Dabcd且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一解析
4、：a0，b0，c0，d0，且abcd4，又ab2，cd2，ab4，cd4.abcd.当且仅当ab2.cd2时取等号答案：A10设a，b，c，dR，若adbc，且|ad|bc|，则有()Aadbc Badbc Dadbc解析：|ad|bc|(ad)2(bc)2a2d22adb2c22bc，又因为adbc(ad)2(bc)2a2d22adb2c22bc，所以4ad4bc.所以adbc.答案：C11在ABC中，A，B，C分别为a，b，c所对的角，且a，b，c成等差数列，则B满足的条件是()A0B B0BC0B D.B解析：因为2bac，所以cos B(当且仅当ac时取等号)因为cos B在上是减函数
5、，所以0B.答案：B12已知a，b为非零实数，则使不等式：2成立的一个充分而不必要条件是()Aab0 Bab0，b0，b0解析：因为与同号，由2，知0，0，即ab0，又若ab0，则0，0，所以22(当且仅当ab时取等号)，综上，ab0是2成立的充要条件所以a0，b0是2成立的一个充分而不必要条件答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分把答案填写在题中的横线上)13用分析法证明：“若a，b，m都是正数，且ab，则.”完成下列证明过程证明：bm0，b0，要证原不等式成立，只需证明b(am)a(bm)，即只需证明_m0，只需证明ba.由已知显然成立原不等式成立解析：b(am)a(b
6、m)与bmam等价，因此欲证b(am)a(bm)成立，只需证明bmam即可答案：bmam14某工厂第一年年产量为A，第二年增长率为a，第三年增长率为b，则这两年的平均增长率x与的大小关系是_解析：设平均增长率为x，则A(1x)2A(1a)(1b)(1x)222.x.答案：x15abc0，n1，n2，n3，则n1n2，n2n3，n，n中最小的一个是_解析：可以利用赋值法比较令a3，b2，c1，可得n1，n2，n3，所以n1n2，n2n3，n，n.故n最小答案：n16实数x，y满足xy，则x的取值范围是_解析：由xy得xy12.当y1时，x224，当且仅当y2时取“”；当y1时，x220，当且仅当
7、y0时取“”，而y0，所以x0.答案：(，0)4，)三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知a，b，c为三角形的三条边，求证：，也可以构成一个三角形证明：因为a，b，c为三角形的三条边，于是有abc，acb，bca.又设f(x)1，它在0，)上为单调增函数，所以f(c)f(ab)，即.同理，所以，也可以构成一个三角形18(本小题满分12分)若a0，b0，a3b32，求证：ab2，ab1.证明：证法一：因为a0，b0，a3b32，所以(ab)323a3b33a2b3ab283a2b3ab263ab(ab)23ab(ab)(a
8、3b3)3(ab)(ab)20.即(ab)323，又ab0，所以ab2.因为2ab2，所以ab1.证法二：设a，b为方程x2mxn0的两根，则因为a0，b0，所以m0，n0，且m24n0.因为2a3b3(ab)(a2abb2)(ab)(ab) 23abm(m23n)，所以n.将代入得m240，即0，所以m380，即m2.所以ab2.由2m得4m2，又m24n，所以44n.即n1，所以ab1.证法三：因为a0，b0，a3b32，所以2a3b3(ab)(a2b2ab)(ab)(2abab)ab(ab)于是有63ab(ab)，从而83ab(ab)23a2b3ab2a3b3(ab)3，所以ab2(以下
9、略)证法四：因为30，所以对任意正实数a，b，有3.因为a0，b0，a3b32，所以13.所以1，即ab2(以下略)证法五：假设ab2，则a3b3(ab)(a2abb2)(ab)(ab)23ab(ab)ab2ab，所以ab1.又a3b3(ab)(a2abb2)(ab)(ab)23ab2(223ab)，且a3b32，所以22(43ab)因此ab1，前后矛盾，故ab2(以下略)19(本小题满分12分)已知x，yR，且|x|1，|y|1，求证：.证明：因为|x|1，|y|1，所以0，0.所以.故要证明结论成立，只需证成立，即证1xy成立即可，因为(yx)20，有2xyx2y2，所以(1xy)2(1x
10、2)(1y2)所以1xy0.所以不等式成立20(本小题满分12分)设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和(1)求证：数列Sn不是等比数列(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？(1)证明：若Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2), a10，(1q)21qq2.解得q0，这与q0相矛盾，故数列Sn不是等比数列(2)解：当q1时，易知Sn是等差数列当q1时，Sn不是等差数列假设q1时，S1，S2，S3成等差数列，即2S2S1S3，则2a1(1q)a1a1(1qq2)由于a10，2(1q)2qq2，即qq2.q1，q0，这与q0相矛盾综上可知，当q1时，Sn是等差数列；
11、当q1时，Sn不是等差数列21(本小题满分12分)数列an为等差数列，an为正整数，其前n项和为Sn，数列bn为等比数列，且a13，b11，数列ban是公比为64的等比数列，b2S264.(1)求an，bn.(2)求证：.(1)解：设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正整数，an3(n1)d，bnqn1，依题意有由(6d)q64知q为正有理数，故d为6的因子1,2,3,6之一，解得d2，q8.故an32(n1)2n1，bn8n1.(2)证明：Sn35(2n1)n(n2)，.22(本小题满分12分)已知数列an满足：a1，anan10(n1，nN*)，数列bn满足：bnaa(n1，nN*)(1)求数列an，bn的通项公式(2)求证：数列bn中的任意三项不可能成等差数列(1)解：由题意知，1a(1a)，令Cn1a，则Cn1Cn，又C11a，则数列Cn是首项为C1，公比为的等比数列，即Cnn1，故1an1a1n1.又a10，anan10，故an(1)n1，bnaan1.(2)证明：假设数列bn中存在三项br，bs，bt(rsbsbt，则只可能有2bsbrbt成立所以2s1r1t1.两边同乘3t121r化简得22sr3ts3tr2tr，由于rst，所以上式右边为奇数，左边为偶数故上式不可能成立，导致矛盾故数列bn中任意三项不可能成等差数列