1、2015-2016学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1设集合P=x|x1，Q=x|x0，则下列结论正确的是（）APQBQPCP=QDPQ=R2已知函数f（x）=|x1|，则下列函数与f（x）相等的函数是（）Ag（x）=Bg（x）=Cg（x）=Dg（x）=x13设平面向量，均为非零向量，则“=”是“（）=0”的（）A充分不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4若实数x，y满足：x2+y22x2y=0，则x+y的取值范围是（）A4，0B22，2+2C0，4D22，
2、2+25设等比数列an的前n项积为Pn，若P12=32P7，则a10的值是（）A16B8C4D26已知函数的最小正周期为，为了得到函数g（x）=cosx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度7设双曲线=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为的直线交双曲线的右支交于点P，若|PF2|=|F1F2|，则双曲线的离心率是（）A1BC +1D8如图，正方形ABCD与正方形BCEF所成角的二面角的平面角的大小是，PQ是正方形BDEF所在平面内的一条动直线，则直线BD与PQ所成角的取值范围是（）A，B，C，D
3、，二、填空题：本大题共7个小题，多空题，每题6分，单空题每题4分，共36分.9双曲线y2=1的实轴长是，离心率的值是，焦点到渐近线的距离是10若2x=3y=，则+=11已知函数f（x）=sin2x+2cos2x（xR），则f（）=，函数f（x）的最大值是12已知函数f（x）=，则f（f（3）=，f（x）的单调减区间是13已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则其体积是14设ABC的重心为G，且|GB|+|GC|=4，若|BC|=2，则|GA|的取值范围是15设向量，的夹角为，若对任意的m，nR，|m|的最小值为1，|n|的最小值是2，则=三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文
4、字说明、证明过程或演算步骤.16在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2+cos2A=（I）求A的值；（）若a=，求bc的最大值17在三棱锥ABCD中，点A在BD上的射影为O，BAD=BCD=90，AB=BC=2，AD=DC=2，AC=（）求证：AO平面BCD；（）若E是AC的中点，求直线BE和平面BCD所成角的正切值18设正项数列an的前n项和为Sn，且a+2an=4Sn（nN*）（）求an；（）设数列bn满足：b1=1，bn=（nN*，n2），求数列bn的前n项和Tn19已知函数x2=4y的焦点是F，直线l与抛物线交于A，B两点（）若直线l过焦点F且斜率为1，求
5、线段AB的长；（）若直线l与y轴不垂直，且|FA|+|FB|=3证明：线段AB的中垂线恒过定点，并求出该定点的坐标20已知函数f（x）=|ax2+x4a|，其中x2，2，a1，1（I）当=1时，求函数y=f（x）的值域；（）记f（x）的最大值为M（a），求M（a）的取值范围2015-2016学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1设集合P=x|x1，Q=x|x0，则下列结论正确的是（）APQBQPCP=QDPQ=R【考点】集合的包含关系判断及应用【专题】计算题；集合思
6、想；综合法；集合【分析】利用子集的定义，即可得出结论【解答】解：集合P=x|x1，Q=x|x0，根据子集的定义，可得PQ故选：A【点评】本题主要考查集合间的包含关系，属于基础题2已知函数f（x）=|x1|，则下列函数与f（x）相等的函数是（）Ag（x）=Bg（x）=Cg（x）=Dg（x）=x1【考点】判断两个函数是否为同一函数【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】判断函数是否相等要看两个方面，对应关系与定义域【解答】解：函数f（x）=|x1|的定义域为R，选项A：g（x）=的定义域为x|x1，选项B：g（x）=|x1|，且定义域也为R，故相等；选项C：g（x）=与f（x）的对应关系不同；选项
7、D：g（x）=x1的对应关系与其不同故选：B【点评】本题考查了函数相等的判断，只需对定义域与对应关系两者都判断即可3设平面向量，均为非零向量，则“=”是“（）=0”的（）A充分不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】平面向量数量积的运算【专题】转化思想；平面向量及应用；简易逻辑【分析】平面向量，均为非零向量，则“=”“（）=0”；反之不成立，即可判断出关系【解答】解：平面向量，均为非零向量，则“=”“（）=0”；反之不成立，由“（）=0”（），或=因此“=”是“（）=0”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理
8、能力与计算能力，属于中档题4若实数x，y满足：x2+y22x2y=0，则x+y的取值范围是（）A4，0B22，2+2C0，4D22，2+2【考点】圆的一般方程【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】利用基本不等式得出x2+y2，结合x2+y22x2y=0，即可求x+y的取值范围【解答】解：x2+y22xy，2（x2+y2）x2+y2+2xy，2（x2+y2）（x+y）2，x2+y2，x2+y22x2y=0，2x2y0，4x+y0故选：A【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题5设等比数列an的前n项积为Pn，若P12=32P7，
9、则a10的值是（）A16B8C4D2【考点】等比数列的通项公式【专题】转化思想；定义法；等差数列与等比数列【分析】根据题意，利用等比数列的通项公式，得出a8a9a12=（a10）5=32，即可求出a10的值【解答】解：等比数列an的前n项积为Pn，且P12=32P7，a1a2a3a12=32a1a2a3a7，即a8a9a12=32，即（a10）5=32，解得a10=2故选：D【点评】本题考查了等比数列的性质与前n项积的应用问题，是基础题目6已知函数的最小正周期为，为了得到函数g（x）=cosx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右
10、平移个单位长度【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】由周期函数的周期计算公式：，算得=2接下来将f（x）的表达式转化成与g（x）同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可【解答】解：由题知=2，所以，故选择A【点评】本题考点定位：本小题考查诱导公式，函数图象的变换，基础题7设双曲线=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为的直线交双曲线的右支交于点P，若|PF2|=|F1F2|，则双曲线的离心率是（）A1BC +1D【考点】双曲线的简单性质【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设出双曲线的左焦点，由双曲线的定义求得|
11、PF1|，再由余弦定理和离心率公式计算即可得到所求【解答】解：设双曲线=1（ab0）的焦点为F1（c，0），由于|PF2|=|F1F2|=2c，由PF1F2=，由双曲线的定义可得，|PF1|=2a+2c，由余弦定理可得，|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|22|PF1|F1F2|cos，即有4c2=（2a+2c）2+4c22（2a+2c）2c，化简可得a=（1）c，可得e=故选：B【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，运用定义是解本题的关键8如图，正方形ABCD与正方形BCEF所成角的二面角的平面角的大小是，PQ是正方形BDEF所在平面内的一条动直线，则直线BD与PQ
12、所成角的取值范围是（）A，B，C，D，【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题；转化思想；向量法；空间角【分析】以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BD与PQ所成角的取值范围【解答】解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设BC=1，则B（0，0，0），D（1，1，0），C（1，0，0），E（1，），F（0，），当D点在正方形BCEF的投影刚好落在CE上，记为G点，其坐标为G（1，），此时BG与BD所成角刚好30度，即直线BD与PQ所成角的最小值为，取P（，0，0），Q
13、（0，）时，直线BD于PQ所成角取最大值，=（1，1，0），=（，），cos=0，直线BD于PQ所成角最大值为直线BD与PQ所成角的取值范围是，故选：B【点评】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，则中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用二、填空题：本大题共7个小题，多空题，每题6分，单空题每题4分，共36分.9双曲线y2=1的实轴长是4，离心率的值是，焦点到渐近线的距离是1【考点】双曲线的简单性质【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出双曲线的a，b，c，可得实轴长2a，离心率，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离【解答】解：双曲线y2=1的a=2，
14、b=1，c=，可得实轴长2a=4，e=，渐近线方程为y=x，可得焦点（，0）到渐近线的距离为d=1故答案为：4，1【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是实轴长和离心率，及渐近线方程，考查点到直线的距离公式的运用，属于基础题10若2x=3y=，则+=2【考点】对数的运算性质【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用【分析】把2x=3y=，化为对数式，y=代入计算即可得出【解答】解：2x=3y=，y=则+=2故答案为：2【点评】本题考查了指数式化为对数式及其运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11已知函数f（x）=sin2x+2cos2x（xR），则f（）=，函数f（x）的最大值是
15、1+【考点】三角函数的最值；函数的值【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】代值计算可得f（），化简函数可得得f（x）=1+sin（2x+），可得最值【解答】解：f（x）=sin2x+2cos2x（xR），f（）=sin+2cos2=+2=；由三角函数公式化简可得f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+1+cos2x=1+sin（2x+），函数f（x）的最大值为1+故答案为：；1+【点评】本题考查三角函数的最值，属基础题12已知函数f（x）=，则f（f（3）=1，f（x）的单调减区间是（1，2）【考点】函数单调性的性质；函数的值【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应
16、用【分析】根据二次函数的单调性便可判断f（x）在（，1上单调递增，而x1时，去绝对值号得到，从而可看出f（x）的单调减区间【解答】解：f（3）=|32|=1；f（f（3）=f（1）=（12）2+2=1；x1时，f（x）=（x2）2+2单调递增；x1时，；f（x）在（1，2）上单调递减；即f（x）的单调减区间是（1，2）故答案为：1，（1，2）【点评】考查对于分段函数，已知函数求值的方法，二次函数的单调性，分段函数单调区间的求法，以及含绝对值函数的处理方法，一次函数的单调性13已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则其体积是【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；数形结合；数形结合法；
17、立体几何【分析】几何体为直三棱柱切去一个小三棱锥【解答】解：几何体为直三棱柱切去一个三棱锥得到的三棱柱底面为左视图中三角形，棱柱的高为2，切去的三棱锥的底面与三棱柱的底面相同，高为1，所以几何体的体积V=故答案为【点评】本题考查了空间几何体的三视图，结构特征和体积计算，属于基础题14设ABC的重心为G，且|GB|+|GC|=4，若|BC|=2，则|GA|的取值范围是【考点】椭圆的简单性质【专题】数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由|BC|=2，可设B（1，0），C（1，0），即c=1|GB|+|GC|=4=2a2=|BC|，可得：点G在椭圆： =1上，可得|GO|再利用|G
18、A|=2|GO|，即可得出【解答】解：|BC|=2，可设B（1，0），C（1，0），即c=1|GB|+|GC|=4=2a2=|BC|，b2=a2c2=3点G在椭圆： =1上，|GO|b，a，即|GO|GA|=2|GO|，|GA|，故答案为：，【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形的重心的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15设向量，的夹角为，若对任意的m，nR，|m|的最小值为1，|n|的最小值是2，则=4【考点】平面向量数量积的运算【专题】数形结合；转化思想；平面向量及应用【分析】不妨设=（R，0），=（r0）对任意的m，nR，|m|的最小值为1，|n|的最小值是2，可
19、得：当时，|m|=1，当时，|n|=2，联立解出即可得出【解答】解：如图所示，不妨设=（R，0），=（r0）=， =对任意的m，nR，|m|的最小值为1，|n|的最小值是2，当时，|m|=1，当时，|n|=2，可得： =2mr，R2mRr+m2r2=1r=2Rn， nRr+n2R2=4联立解得：R=2，r=4，=4故答案为：4【点评】本题考查了向量的三角形法则、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2+cos2A
20、=（I）求A的值；（）若a=，求bc的最大值【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】（I）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得8cos2A+2cosA3=0，从而解得cosA=，由A为锐角，即可求得A的值（）利用余弦定理及基本不等式即可得：3=b2+c2bc2bcbc=bc，当且仅当b=c时等号成立，从而得解【解答】解：（I）sin2+cos2A=+cos2A=，8cos2A+2cosA3=0，解得：cosA=或（A为锐角，舍去）A=（）A=，a=，由余弦定理可得：3=b2+c2bc2bcbc=bc，当且仅当b=c时等号成立，bc的最大值为：3【点评】
21、本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理及基本不等式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题17在三棱锥ABCD中，点A在BD上的射影为O，BAD=BCD=90，AB=BC=2，AD=DC=2，AC=（）求证：AO平面BCD；（）若E是AC的中点，求直线BE和平面BCD所成角的正切值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【专题】转化思想；分析法；空间位置关系与距离；空间角【分析】（）连接OC，由题意可得AOBD，由勾股定理的逆定理可得AOCO，运用线面垂直的判定定理，即可得证；（）取CO的中点H，连接EH，运用中位线定理和线面垂直的性质定理，可得EH平面BCD，即有EBH为
22、直线BE和平面BCD所成角运用正切函数的定义，计算即可得到所求值【解答】解：（）证明：连接OC，由点A在BD上的射影为O，可得AOBD，由BAD=BCD=90，AB=BC=2，AD=DC=2，可得BD=4，AO=，同理可得CO=，由AO2+CO2=AC2，可得AOCO，又BD，CO平面BCD，且BD，CO为相交二直线，可得AO平面BCD；（）取CO的中点H，连接EH，由中位线定理可得EHAO，EH=AO，由AO平面BCD，可得EH平面BCD，即有EBH为直线BE和平面BCD所成角又EH=，BE=，BH=，可得tanEBH=即有直线BE和平面BCD所成角的正切值为【点评】本题考查线面垂直的证明，
23、注意运用线面垂直的判定定理，考查线面所成角的正切值，注意运用中位线定理和线面所成角的定义，考查运算能力和逻辑推理能力，属于中档题18设正项数列an的前n项和为Sn，且a+2an=4Sn（nN*）（）求an；（）设数列bn满足：b1=1，bn=（nN*，n2），求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】转化思想；作差法；等差数列与等比数列【分析】（）令n=1，求得首项为2；再由n1时，将n换为n1，相减可得anan1=2，再由等差数列的通项公式，计算即可得到所求；（）求得bn=（），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和【解答】解：（）当n=1时，a12+2
24、a1=4S1=4a1，解得a1=2，当n1时，an12+2an1=4Sn1，又a+2an=4Sn（nN*）两式相减可得，aan12+2an2an1=4Sn4Sn1=4an，即有（anan1）（an+an1）=2（an+an1），可得anan1=2，则an=a1+2（n1）=2n：（）b1=1，bn=（），前n项和Tn=1+（+）=1+（+）=【点评】本题考查数列的通项的求法，注意运用等差数列的通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题19已知函数x2=4y的焦点是F，直线l与抛物线交于A，B两点（）若直线l过焦点F且斜率为1，求线段AB的长；（）若直线l与y
25、轴不垂直，且|FA|+|FB|=3证明：线段AB的中垂线恒过定点，并求出该定点的坐标【考点】抛物线的简单性质【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）由题意写出直线方程的斜截式，联立直线方程和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系结合焦半径公式求得答案；（）设直线l的方程y=kx+b，联立直线方程和抛物线方程，由|FA|+|FB|=3得到k与b的关系，利用根与系数的关系求得A，B的中点坐标，由线段AB的中点为定点可得答案【解答】（）解：由x2=4y，得抛物线焦点F（0，1），则直线l的方程为y=x+1，联立，得y26y+1=0设A（x1，y1），
26、B（x2，y2），则y1+y2=6，|AB|=y1+y2+2=8；（）证明：由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+b，联立，得y2（4k2+2b）y+b2=0则，|FA|+|FB|=，则，A，B的中点坐标为（），则AB的中垂线恒过定点（）【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查了抛物线的焦半径公式，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题20已知函数f（x）=|ax2+x4a|，其中x2，2，a1，1（I）当=1时，求函数y=f（x）的值域；（）记f（x）的最大值为M（a），求M（a）的取值范围【考点】二次函数的性质；绝对值不等式的解法【专题】分类讨论；分析法；函数的性
27、质及应用【分析】（I）求出当=1时，f（x）=|x2+x4|，x2，2，解方程可得两根，再由f（x）的单调性，可得值域；（）设f（x）=0的两根为x1，x2，（x1x2），对a讨论，当1a时，当a0时，当0a时，当a1时，运用单调性可得最大值，再由基本不等式和单调性，即可得到所求范围【解答】解：（I）当=1时，f（x）=|x2+x4|，x2，2，由x2+x4=0，解得x=，由f（x）在2，递增，在（，）递减，在（，2递增，可得f（x）的最小值为0，由f（）=，f（2）=4，最大值为则f（x）的值域为0，；（）设f（x）=0的两根为x1，x2，（x1x2），当1a时，f（x）在（2，x1）递减，
28、（x1，）递增，（，2）递减，可得f（x）在x=处取得最大值，且为；当a0时，f（x）在（2，x1）递减，（x1，2）递增，可得f（x）在x=2处取得最大值2；当0a时，f（x）在（2，x2）递减，（x2，2）递增，可得f（x）在x=2处取得最大值2；当a1时，f（x）在（2，）递增，（，x2）递减，（x2，2）递增，可得f（x）在x=处取得最大值，且为即有M（a）=，当1a时，M（a）=（4a）+在1，递减，可得M（a）2，；当a1时，M（a）=4a+递增，可得M（a）2，综上可得，M（a）的取值范围是2，【点评】本题考查含绝对值函数的值域的求法，注意运用函数的单调性和对称轴与区间的关系，考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，以及函数的单调性及对称轴和区间的关系，属于难题