1、2015年浙江省杭州市余杭区高考数学适应性试卷（文科）（二）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1已知全集U=R，集合A=x|2x1，B=x|log3x0，则A（UB）=（）Ax|x1Bx|x0Cx|0x1Dx|x02“a=1”是方程“a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分有不必要条件3如图，已知DE是正ABC的中位线，沿AD将ABC折成直二面角BADC，则翻折后异面直线AB与DE所成角的余弦值为（）ABCD04过双曲线的左焦点F（c，0），（c0），作圆：x2+
2、y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）ABCD5已知z=2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是（）ABCD6在ABC中，已知（a2+b2）sin（AB）=（a2b2）sin（A+B），则ABC的形状（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形7已知等比数列an，a2a3=1，则使不等式（a1）+（a2）+（an）0成立的最大自然数n是（）A4B5C6D78已知函数f（x）=|log2（x1）|，g（x）=（）x，则图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则（）Ax1x21Bx1+x25Cx1+
3、x2x1x2Dx1+x2x1x2二、填空题：9已知曲线+=1，当曲线表示圆时k的取值是，当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围是，当曲线表示双曲线时k的取值范围是10函数y=3的定义域为，值域为11直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A，B两点，若AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（2，2）之间距离的最小值为，最大值12等差数列an中，若a1=2，an0，nan+1an2+nan1=0（n2），则an=， =13已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是14已知向量=（m2，m+3），=（2m+1，m2），且与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是1
4、5已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m0，对任意xR，有|f（x）|m|x|，则称函数f（x）为F函数给出下列函数：f（x）=x2；f（x）=；f（x）=2x；f（x）=sin2x其中是F函数的序号为三、解题题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且4cosCsin2+cos2C=0（）若函数f（x）=sin（C2x），求f（x）的单调增区间；（）若3ab=25c2，求ABC面积的最大值17如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60，PA=AB=BC，E是PC的中点（）证明
5、：CDAE；（）证明：PD平面ABE；（）求二面角APDC的正切值18等差数列an的首项a1=1，公差d0，数列bn为等比数列，且b2=a2，b3=a5，b4=a14（）求数列an和bn的通项公式；（）设数列cn对任意nN*均有+=an成立，求c1+c2+cn（n2）19已知函数，函数g（x）=2f（x）（）判断函数g（x）的奇偶性；（）若当x（1，0）时，g（x）tf（x）恒成立，求实数t的最大值20已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1），（）求抛物线的标准方程；（）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M，N，若抛物线上一点C满足（0）
6、，求的取值范围2015年浙江省杭州市余杭区高考数学适应性试卷（文科）（二）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1已知全集U=R，集合A=x|2x1，B=x|log3x0，则A（UB）=（）Ax|x1Bx|x0Cx|0x1Dx|x0【考点】指、对数不等式的解法；交、并、补集的混合运算【专题】不等式的解法及应用【分析】先化简集合A、B，求出UB，然后借助数轴即可求得答案【解答】解：A=x|x0，B=x|x1，则CUB=x|x1，A（UB）=x|x0，故选D【点评】本题考查指数、对数不等式的解法和集合的运算，属基础题，
7、指数、对数不等式常化同底后利用函数单调性求解2“a=1”是方程“a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分有不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】由题意可得：把方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0化简整理可得：a2（x+）2+（a+2）y2=1a，结合题意可得a2=a+2，并且1a0，再根据充要条件的定义即可判断【解答】解：由题意可得：把方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0化简整理可得：a2（x+）2+（a+2）y2=1a，因为此曲线表示圆，所以a2=a+2，并且1a0，所以解
8、得：a=1故“a=1”是方程“a2x2+（a+2）y2+ax+a=0表示圆”的充要条件，故选：A【点评】本题主要考查二元二次方程与圆的对应关系，解决此类问题的关键是熟练掌握圆的方程，以及学生要有较强的运算能力3如图，已知DE是正ABC的中位线，沿AD将ABC折成直二面角BADC，则翻折后异面直线AB与DE所成角的余弦值为（）ABCD0【考点】异面直线及其所成的角【专题】空间角【分析】以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出翻折后异面直线AB与DE所称的余弦值【解答】解：以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，设正ABC的边
9、长为2，则A（0，0，），B（1，0，0），D（0，0，0），E（0，），=（1，0，），=（0，），cos=，翻折后异面直线AB与DE所成角的余弦值为故选：A【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用4过双曲线的左焦点F（c，0），（c0），作圆：x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）ABCD【考点】圆与圆锥曲线的综合【专题】综合题；压轴题【分析】由题设知|EF|=，|PF|=2，|PF|=a，再由|PF|PF|=2a，知2a=2a，由此能求出双曲线的离心率【解答】解：|OF|=c，|O
10、E|=，|EF|=，|PF|=2，|PF|=a，|PF|PF|=2a，2a=2a，故选C【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答5已知z=2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是（）ABCD【考点】简单线性规划【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】根据题意，可得m1且不等式的表示的平面区域为一个有界区域由此作出不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=1时z取得最大值3，当x=y=m时z取得最小值3m结合题意建立关于m的方程，解之即可得到m的值【解答】解：z=2x+y既存在最大值，又存
11、在最小值，不等式表示的平面区域为一个有界区域，可得m1作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（1，1），B（m，m），C（m，2m）设z=F（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值；当l经过点B时，目标函数z达到最小值z最大值=F（1，1）=3；z最小值=F（m，m）=3mz的最大值是最小值的4倍，3=43m，解之得m=故选：A【点评】本题给出含有字母参数的二元一次不等式组，求在目标函数z=2x+y的最大值等于最小值的4倍的情况下求参数m的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题6在A
12、BC中，已知（a2+b2）sin（AB）=（a2b2）sin（A+B），则ABC的形状（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【考点】三角形的形状判断【专题】计算题；解三角形【分析】利用两角和与差的正弦将已知中的弦函数展开，整理后利用正弦定理将“边”化角的“正弦”，利用二倍角的正弦公式即可求得答案【解答】解：（a2+b2）（sinAcosBcosAsinB）=（a2b2）（sinAcosB+cosAsinB），a2sinAcosBa2cosAsinB+b2sinAcosBb2cosAsinB=a2sinAcosB+a2cosAsinBb2sinAcosBb2cosA
13、sinB，整理得：a2cosAsinB=b2sinAcosB，在ABC中，由正弦定理=2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，代入整理得：sinAcosA=sinBcosB，2sinAcosA=2sinBcosB，sin2A=sin2B，2A=2B 或者2A=1802B，A=B或者A+B=90ABC是等腰三角形或者直角三角形故选D【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦，属于中档题7已知等比数列an，a2a3=1，则使不等式（a1）+（a2）+（an）0成立的最大自然数n是（）A4B5C6D7【考点】等比数列的性质【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】先根据a2
14、a3=1判断公比q的范围，可得到当n3时，有an0，再用q表示出a1，a5，进而得到（a1）+（a2）+（a3）+（a4）+（a5）=0，从而得到不等式（a1）+（a2）+（an）0成立的条件【解答】解：设公比为q，a2a3=1，则有1q0可知n3时，有an0a3=a1q2=1得a1=则有a5=a1q4=q2=，同理有a2=得（a1）+（a2）+（a3）+（a4）+（a5）=0不等式（a1）+（a2）+（an）0成立的最大自然数n等于5故选：B【点评】本题主要考查等比数列的基本性质考查运算能力和递推关系8已知函数f（x）=|log2（x1）|，g（x）=（）x，则图象交于A（x1，y1），B（
15、x2，y2）两点，则（）Ax1x21Bx1+x25Cx1+x2x1x2Dx1+x2x1x2【考点】对数函数的图象与性质【专题】函数的性质及应用【分析】作出两个函数的图象，不妨设x1x2，利用对数的运算性质和指数函数的运算性质进行判断即可【解答】解：不妨设x1x2，作出f（x）和g（x）的图象，由图象知x12，x22，则f（x1）=|log2（x11）|=log2（x11），f（x2）=|log2（x21）|=log2（x21），则f（x2）f（x1）=log2（x21）+log2（x11）=log2（x11）（x21）=0，即（x11）（x21）1，即x1x2（x1+x2）+11，即x1+x2
16、x1x2，故选：C【点评】本题主要考查对数函数和指数函数的应用，利用数形结合是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度二、填空题：9已知曲线+=1，当曲线表示圆时k的取值是1或2，当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围是k1或k2，当曲线表示双曲线时k的取值范围是0k1【考点】曲线与方程【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用曲线表示圆、焦点在y轴上的椭圆、双曲线建立k的不等式，即可求得k的取值范围【解答】解：当曲线表示圆时，2=k2k，k=1或2；当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时，k2k2，k1或k2；当曲线表示双曲线时，k2k0，0k1故答案为：1或2；k1或k2；0k1【点
17、评】本题考查曲线表示圆、焦点在y轴上的椭圆、双曲线的条件，考查学生的计算能力，比较基础10函数y=3的定义域为x|x0，值域为y|y0且y【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法【专题】函数的性质及应用【分析】根据分母不为0，求出函数的定义域，根据指数函数的性质，求出函数的值域即可【解答】解：分母x0，函数的定义域是：x|x0，11，3，函数的值域是：y|y0且y，故答案为：x|x0，y|y0且y【点评】本题考查了函数的定义域、值域问题，考查指数函数的性质，是一道基础题11直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A，B两点，若AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（2，2）
18、之间距离的最小值为，最大值3【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】根据，AOB是等腰直角三角形，可得点O到直线ax+by=1的距离等于，求得点P（a，b）在以原点为圆心、半径等于的圆上，再根据点（2，2）与点（0，0）之间距离为2，从而得出结论【解答】解：由题意可得，AOB是等腰直角三角形，故点O到直线ax+by=1的距离等于，即=，求得a2+b2=2，即点P（a，b）与点（0，0）之间距离为，即点P（a，b）在以原点为圆心、半径等于的圆上而点（2，2）与点（0，0）之间距离为2，故点P（a，b）与点（2，2）之间距离的最小值为 2=；点P（a，b）与点（2，2）之间距离的最大值为
19、 2+=3，故答案为：；3【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，属于基础题12等差数列an中，若a1=2，an0，nan+1an2+nan1=0（n2），则an=2n， =2016【考点】数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】根据等差数列的性质进行化简推导即可得到结论【解答】解：设公差为d，则由nan+1an2+nan1=0得n（an+1+an1）=an2，即2nan=an2，an0，an=2n，当n=1时，a1=2满足an=2n，则an=2n，则公差d=2则=a1+1007d=2+10072=2016，故答案为：2n，2016【点评】本题主要考
20、查等差数列性质的应用，根据数列的递推关系求出数列的通项公式是解决本题的关键13已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是7【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，计算出柱体的底面面积和高，代入棱柱体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，棱柱的底面积S=2211=，棱柱的高h=2，故棱柱的体积V=Sh=7，故答案为：7；【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形状是解答的关键14已知向量=（m2，m+3），=（2m+1
21、，m2），且与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是【考点】数量积表示两个向量的夹角【专题】计算题【分析】由，夹角为钝角，根据平面向量的数量积运算公式，我们可得0，但要注意0，两个向量还有可能反向，故要注意，反向时的情况【解答】解：两向量的夹角为钝角则数量积为负且两向量不反向（m2）（2m+1）+（m+3）（m2）0m2；当与反向时，存在0使得（m2，m+3）=（2m+1，m2）m=m故答案为：m2且m【点评】如果已知向量的坐标，求向量的夹角，我们可以分别求出两个向量的坐标，进一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式cos=即可求解15已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m0，对任意x
22、R，有|f（x）|m|x|，则称函数f（x）为F函数给出下列函数：f（x）=x2；f（x）=；f（x）=2x；f（x）=sin2x其中是F函数的序号为【考点】绝对值不等式；函数的值域【专题】计算题；新定义【分析】本题是一个新定义的题目，故依照定义的所给的规则对所四个函数进行逐一验证，选出正确的即可【解答】解：对于，|f（x）|m|x|，显然不成立，故其不是F函数对于f（x）=，|f（x）|=1|x|，故函数f（x）为F函数对于f（x）=2x ，|f（x）|m|x|，显然不成立，故其不是F函数对于 f（x）=sin2x，由于|f（x）|=|sin2x|2x|=2|x|，故函数f（x）为F函数故答
23、案为 【点评】本题考查根据所给的新定义来验证函数是否满足定义中的规则，是函数知识的给定应用题，综合性较强，做题时要注意运用所深知识灵活变化进行证明，属于中档题，属于创新型题三、解题题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且4cosCsin2+cos2C=0（）若函数f（x）=sin（C2x），求f（x）的单调增区间；（）若3ab=25c2，求ABC面积的最大值【考点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算【专题】综合题；解三角形【分析】（1）利用已知等式，通过二倍角的余弦函数化简，求出C的余弦值，得到C的大小，化简函数
24、f（x）=sin（C2x），利用正弦函数的单调性，求f（x）的单调增区间；（2）利用3ab=25c2，由余弦定理：c2=a2+b22abcosC，253ab=a2+b2ab，求出（a+b）2=5，利用基本不等式求解面积的最大值【解答】解：（1）由条件：4cosC+2cos2C1=0，cosC=故C=，则f（x）=sin（2x），+2k2x+2k+kx+k，kZf（x）的单调增区间为+k，+kkZ（2）由余弦定理：c2=a2+b22abcosC253ab=a2+b2ab，（a+b）2=25，a+b=5，SABC=absinC=ab=，当且仅当a=b=取得最大值【点评】本题考查二倍角的余弦函数，余
25、弦定理，正弦函数的单调性，三角形的面积以及基本不等式的应用，考查计算能力17如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60，PA=AB=BC，E是PC的中点（）证明：CDAE；（）证明：PD平面ABE；（）求二面角APDC的正切值【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定【专题】综合题【分析】（）由PA底面ABCD，可得 CDPA，又CDAC，故CD面PAC，从而证得CDAE；（）由等腰三角形的底边中线的性质可得AEPC，由（）知CDAE，从而AE面PCD，AEPD，再由 ABPD 可得 PD面ABE；（）过点A作
26、AMPD，由（）知，AE面PCD，故AME是二面角APDC的一个平面角，用面积法求得AE和AM，从而可求 二面角APDC的正切值【解答】（）证明：在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，CDPA又CDAC，PAAC=A，CD面PAC，AE面PAC，故CDAE（）证明：由PA=AB=BC，ABC=60，可得PA=AC，E是PC的中点，AEPC，由（1）知CDAE，从而AE面PCD，故AEPD由（）知，AECD，且PCCD=C，所以AE平面PCD而PD平面PCD，AEPDPA底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，ABAD，ABPD又ABAE=A，PD面ABE（）解：过点
27、A作AMPD，垂足为M，连接EM，则（）知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EMPD，因此AME是二面角APDC的一个平面角由已知，得CAD=30设AC=a，则PA=a，AD=，PD=，AE=在直角ADP中，AMPD，AMPD=PAAD，AM=在直角AEM中，AE=，AM=，EM=atanAME=所以二面角APDC的正切值为【点评】本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力18等差数列an的首项a1=1，公差d0，数列bn为等比数列，且b2=a2，b3=a5，b4=a14（）求数列an和bn的通项公式；（）设数列cn对
28、任意nN*均有+=an成立，求c1+c2+cn（n2）【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（I）设等比数列bn的公比为q，由于b2=a2，b3=a5，b4=a14利用等差数列与等比数列的通项公式可得：qb1=1+d，q2b1=1+4d，q3b1=1+13d，联立解得即可（II）由于数列cn对任意nN*均有+=an成立，可得当n=1时，c1=a1b1当n2时，可得=anan1=2，可得cn=23n1再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（I）设等比数列bn的公比为q，b2=a2，b3=a5，b4=a14qb1=1+d，q2b1=1+4d，q3b1=1+1
29、3d，联立解得b1=1，q=3，d=2an=1+2（n1）=2n1，bn=3n1（II）数列cn对任意nN*均有+=an成立，当n=1时，c1=a1b1=1当n2时， +=an1，可得=anan1=2，cn=23n1n2时，c1+c2+cn=1+2（3+32+3n1）=1+2=3n2【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19已知函数，函数g（x）=2f（x）（）判断函数g（x）的奇偶性；（）若当x（1，0）时，g（x）tf（x）恒成立，求实数t的最大值【考点】函数奇偶性的判断；函数恒成立问题【专题】函数的性质及应用【
30、分析】（）利用函数奇偶性的定义，判断函数g（x）的奇偶性；（）利用函数的单调性求函数的最值即可【解答】解：（）因为，函数g（x）=2f（x）所以，定义域为x|x0关于原点对称，因为，所以g（x）是奇函数（）由g（x）tf（x）得，（*） 当x（1，0）时，（*）式化为3x+1t（3x+11），（*） 设3x=u，则（*） 式化为 （3t1）ut10，再设h（u）=（3t1）ut1，则g（x）tf（x）恒成立等价于，解得t1，故实数t的最大值为1【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及利用指数函数的性质求含参问题恒成立问题，综合性较强，考查学生的运算能力20已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y
31、轴上，且过点（2，1），（）求抛物线的标准方程；（）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M，N，若抛物线上一点C满足（0），求的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质【专题】压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（） 设抛物线方程为x2=2py，把点（2，1）代入求得p即可；（II） 因为直线与圆相切，利用相切的性质即可得出k与t 的关系式，再把直线的方程与抛物线的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用判别式0得到t的取值范围，利用根与系数的关系及已知满足（0），即可得出的取值范围【解答】解（） 设抛物线方程为x2=2py，由已知得：22=2p所以 p=2所以抛物线的标准方程为 x2=4y（） 因为直线与圆相切，所以 把直线方程代入抛物线方程并整理得：x24kx4t=0由=16k2+16t=16（t2+2t）+16t0得 t0或t3设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=4k由得 C（4k，（4k2+2t）因为点C在抛物线x2=4y上，所以，16k22=4（4k2+2t）因为t0或t3，所以 2t+44或 2t+42所以 的取值范围为【点评】本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线及圆的位置关系等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力
