1、湖北省武汉一中等部分重点中学联考2014-2015学年高一下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1+1与1的等差中项是（）A1B1CD12计算sin77cos47sin13cos43的值等于（）ABCD3符合下列条件的三角形ABC有且只有一个的是（）Aa=1，b=，A=30Ba=1，b=2，c=3Cb=c=1，B=45Da=1，b=2，A=1004已知，则sin4cos4的值为（）ABCD5若等差数列an满足a7+a8+a90，a7+a100，则当an的前n项和最大时n的值为（）A7B8C9D106已知ta
2、n（+）=，tan（）=，那么tan（+）等于（）ABCD7已知等比数列an前n项和为Sn，且a2015=3S2014+2015，a2014=3S2013+2015，则公比q等于（）A3BC4D8如图D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点的仰角分别为，（），则A点离地面的高度AB=（）ABCD9已知等比数列an中a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+a3a4+anan+1等于（）A16（14n）B16（12n）CD10在ABC中，A、B、C所对的边长分别是a、b、c若sinC+sin（BA）=sin2A，则ABC的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等
3、腰三角形或直角三角形11将正奇数1，3，5，7，按如表的方式进行排列，记aij表示第i行第j列的数，若aij=2015，则i+j的值为（） 第1列第2列第3列第4列第5列第1行1357第2行1513119第3行17192123第4行31292725第5行39373533A505B506C254D25312给出以下命题：存在两个不等实数，使得等式sin（+）=sin+sin成立；若数列an是等差数列，且am+an=as+at（m、n、s、tN*），则m+n=s+t；若Sn是等比数列an的前n项和，则S6，S12S6，S18S12成等比数列；若Sn是等比数列an的前n项和，且Sn=Aqn+B；（其
4、中A、B是非零常数，nN*），则A+B为零；已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2c2，则ABC一定是锐角三角形其中正确的命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题纸相应位置上）13已知，且sin=，则tan=14已知ABC中，设三个内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，且a=1，A=30，则c=15已知数列an，bn都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，并且，则=（用最简分数作答）16数列an的首项a1=1，数列bn为等比数列且bn=，若b10b11=2015，则
5、a21=三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（1）已知数列an的前n项和为Sn，若，求an（2）等差数列an的前n项和记为Sn，已知a10=30，a20=50，Sn=242，求n18已知cos（+）cos（）=，（，），求：（）sin2；（）tan19在ABC中，三个内角2的对边分别为a，b，c，cosA=，asinA+bsinBcsinC=asinB（1）求B的值；（2）设b=10，求ABC的面积S20已知an是各项均为正数的等比数列，且a1a2=2，a3a4=32（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足+=an+11（nN*），求数列bn的前
6、n项和21如图，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N （异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）22数列an的首项为a（a0），前n项和为Sn，且Sn+1=tSn+a（t0）设bn=Sn+1，cn=k+b1+b2+bn（kR+）（1）求数列an的通项公式；（2）当t=1时，若对任意nN*，|bn|b3|恒成立，求a的取值范围；（3）当t1时，试求三个正数a，t，k的一组值，使得cn为等比数列，且a，t，k成等差数列湖北省武汉一中
7、等部分重点中学联考2014-2015学年高一下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1+1与1的等差中项是（）A1B1CD1考点：等差数列 专题：等差数列与等比数列分析：由等差中项的定义易得答案解答：解：设x为+1与1的等差中项，则1x=x+1，即x=故选：C点评：本题考查等差中项，属基础题2计算sin77cos47sin13cos43的值等于（）ABCD考点：两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的求值分析：由诱导公式及两角差的正弦函数公式即可求值解答：解：sin77cos47sin13cos43=sin77
8、cos47cos77sin47=sin（7747）=sin30=故选：A点评：本题主要考查了诱导公式，两角差的正弦函数公式的应用，属于基础题3符合下列条件的三角形ABC有且只有一个的是（）Aa=1，b=，A=30Ba=1，b=2，c=3Cb=c=1，B=45Da=1，b=2，A=100考点：解三角形 专题：综合题分析：利用已知选项的条件，通过正弦定理，组成三角形的条件，判断能不能组成三角形，以及三角形的个数解答：解：对于A、a=1，b=，A=30三角形中B可以是45，135，组成两个三角形对于B、a=1，b=2，c=3组不成三角形对于D、a=1，b=2，A=100组不成三角形对于C、b=c=1
9、，B=45显然只有一个三角形故选C点评：本题是基础题，考查三角形的基本性质，注意正弦定理的应用，大角对大边，小角对小边，常考题型4已知，则sin4cos4的值为（）ABCD考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正弦 专题：三角函数的求值分析：已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简求出cos2sin2的值，所求式子利用平方差公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系整理后将cos2sin2的值代入计算即可求出值解答：解：cos2=cos2sin2=，sin4cos4=（sin2+cos2）（sin2cos2）=（cos2sin2）=故选B点评：本题考查二倍角的余弦函数公式，考查学
10、生的计算能力，熟练掌握公式是解本题的关键5若等差数列an满足a7+a8+a90，a7+a100，则当an的前n项和最大时n的值为（）A7B8C9D10考点：等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：由题意和等差数列的性质可得an的前8项为正数，从第9项开始为负数，由此易得结论解答：解：等差数列an满足a7+a8+a90，a7+a100，3a8=a7+a8+a90，a8+a9=a7+a100，a80，a90，等差数列an的前8项为正数，从第9项开始为负数，当an的前n项和最大时n的值为8，故选：B点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列项的符号，属基础题6已知tan（+）=，tan（）=，
11、那么tan（+）等于（）ABCD考点：两角和与差的正切函数 专题：计算题分析：把已知的条件代入=tan（+）（）=，运算求得结果解答：解：已知，=tan（+）（）=，故选C点评：本题主要考查两角和差的正切公式的应用，属于中档题7已知等比数列an前n项和为Sn，且a2015=3S2014+2015，a2014=3S2013+2015，则公比q等于（）A3BC4D考点：等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：a2015=3S2014+2015，a2014=3S2013+2015，两式相减即可得出解答：解：a2015=3S2014+2015，a2014=3S2013+2015，a2015a
12、2014=3a2014，=4故选：C点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8如图D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点的仰角分别为，（），则A点离地面的高度AB=（）ABCD考点：解三角形 专题：计算题；解三角形分析：先分别在直角三角形中表示出DB，BC，根据DC=DBBC列等式求得AB解答：解：依题意知，DB=，BC=，DC=DBBC=AB（）=a，AB=，故选：A点评：本题主要考查了解三角形的实际应用把实际问题转化为三角形的问题，是常用思路9已知等比数列an中a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+a3a4+anan+1等
13、于（）A16（14n）B16（12n）CD考点：等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：设等比数列an的首项为a1，公比为q，由等比数列的通项公式求出a1和q，代入anan+1化简并判断出数列anan+1是等比数列，利用等比数列的前n项和公式化简所求的式子解答：解：设等比数列an的首项为a1，公比为q，因为等比数列an中，a2=2，a5=，所以=，则q=，由a2=2得，a1=4，所以anan+1=4（4）=8，所以数列anan+1是以8为首项、为公比的等比数列，则a1a2+a2a3+a3a4+anan+1=，故选：C点评：本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，以及等比数列的判断
14、，属于中档题10在ABC中，A、B、C所对的边长分别是a、b、c若sinC+sin（BA）=sin2A，则ABC的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形考点：两角和与差的正弦函数 专题：解三角形分析：由已知条件结合三角函数公式化简可得2cosA（sinAsinB）=0，分别可得A=，或a=b，可得结论解答：解：sinC+sin（BA）=sin2A，sin（A+B）+sin（BA）=sin2A，sinAcosB+cosAsinB+sinBcosAcosBsinA=sin2A，2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA，2cosA（sinAsinB）=0
15、，cosA=0，或sinA=sinB，A=，或a=b，ABC为等腰三角形或直角三角形故选：D点评：本题考查三角形形状的判断，涉及三角函数公式的应用，本题易约掉cosA而导致漏解，属中档题和易错题11将正奇数1，3，5，7，按如表的方式进行排列，记aij表示第i行第j列的数，若aij=2015，则i+j的值为（） 第1列第2列第3列第4列第5列第1行1357第2行1513119第3行17192123第4行31292725第5行39373533A505B506C254D253考点：归纳推理 专题：推理和证明分析：由题意知该数列是等差数列，四个数为一行，奇数行从第2列开始从小到大排列，偶数行从第一列
16、开始从大到小排列，所以可得结论解答：解：由题意得，该数列是等差数列，则an=a1+（n1）d=1+（n1）2=2n1，由公式得n=2=1008，由四个数为一行得10084=252，由题意2015这个数为第252行第一列，故i+j=253，故选：D点评：本题考查归纳推理，难点是根据能够找出数之间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，是基础题12给出以下命题：存在两个不等实数，使得等式sin（+）=sin+sin成立；若数列an是等差数列，且am+an=as+at（m、n、s、tN*），则m+n=s+t；若Sn是等比数列an的前n项和，则S6，S12S6，S18S12成等比数列；若Sn是等比数列
17、an的前n项和，且Sn=Aqn+B；（其中A、B是非零常数，nN*），则A+B为零；已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2c2，则ABC一定是锐角三角形其中正确的命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：利用特殊值判断的正误；利用特殊数列即可推出命题的正误；根据等差数列的性质，判断的正误；根据等比数列的前n项的和推出A，B判断的正误利用特殊三角形判断的正误；解答：解：对于实数=0，0，则sin（+）=sin，sin+sin=sin，所以等式成立；故正确；对于取数列an为常数列，对任意m、n、s、tN*，都有am+an=
18、as+at，故不正确；对于设an=（1）n，则S2=0，S4S2=0，S6S4=0，此数列不是等比数列，故正确；Sn是等比数列an的前n项和，且Sn=Aqn+B；（其中A、B是非零常数，nN*），所以此数列为首项是a1，公比为q1的等比数列，则Sn=，所以A=，B=，A+B=0，故正确；对于，如果三角形是直角三角形，a=5，b=3c=4，满足a2+b2c2，故不正确；故选：C点评：此题考查学生灵活运用等差、等比数列的性质，三角函数以及三角形的判断，是一道综合题属中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题纸相应位置上）13已知，且sin=，则
19、tan=考点：三角函数的化简求值 专题：三角函数的求值分析：由题意结合三角函数公式易得tan的方程，结合角的范围，解方程可得解答：解：sin=，2sincos=，=，=，又，tan1，解方程可得tan=故答案为：点评：本题考查三角函数化简求值，涉及二倍角公式，属基础题14已知ABC中，设三个内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，且a=1，A=30，则c=1或2考点：余弦定理 专题：计算题分析：由余弦定理得到a2=b2+c22bccosA，将a，b及cosA的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值解答：解：a=1，A=30，由余弦定理a2=b2+c22bccosA得：1=3+c
20、23c，即c23c+2=0，因式分解得：（c1）（c2）=0，解得：c=1或c=2，经检验都符合题意，则c=1或2故答案为：1或2点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键15已知数列an，bn都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，并且，则=（用最简分数作答）考点：等差数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：利用等差数列的性质及求和公式，结合，可得结论解答：解：=故答案为：点评：本题考查等差数列的性质及求和公式，考查学生的计算能力，比较基础16数列an的首项a1=1，数列bn为等比数列且bn=，若b1
21、0b11=2015，则a21=2015考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：由已知结合bn=，得到a21=b1b2b20，结合b10b11=2015及等比数列的性质求得a21解答：解：由bn=，且a1=1，得b1=b2=，a3=a2b2=b1b2b3=，a4=a3b3=b1b2b3an=b1b2bn1a21=b1b2b20数列bn为等比数列，=2015故答案为：2015点评：本题考查了数列递推式，考查了等比数列的性质，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（1）已知数列an的前n项和为Sn，若，求an（2）等差数列an的前n项和记为S
22、n，已知a10=30，a20=50，Sn=242，求n考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用递推式即可得出；（2）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出解答：解：（1）当n=1时，a1=s1=6；当n2时，由于a1不适合此式，（2）解由an=a1+（n1）d，a10=30，a20=50，得程组，解得an=2n+10，得，解得n=11或n=22（舍去）n=11点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18已知cos（+）cos（）=，（，），求：（）sin2；（）tan考点：三角函数中的恒等变换应
23、用 专题：计算题；三角函数的求值分析：（）利用二倍角的正弦可求得sin（2+）=，（，）2+（，）cos（2+）=，利用两角差的正弦即可求得sin2的值；（）结合（）2（，），sin2=，可求得cos2的值，从而可求得tan的值解答：解：（）cos（+）cos（）=cos（+）sin（+）=，即sin（2+）=，（，），故2+（，），cos（2+）=，sin2=sin（2+）=sin（2+）coscos（2+）sin=（）2（，），sin2=，cos2=，tan=2=2 点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查二倍角的正弦，两角差的正弦的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题19在ABC中
24、，三个内角2的对边分别为a，b，c，cosA=，asinA+bsinBcsinC=asinB（1）求B的值；（2）设b=10，求ABC的面积S考点：正弦定理；余弦定理 专题：解三角形分析：（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得cosC的值，进而求得C，进而求得sinA和sinC，利用余弦的两角和公式求得答案（2）根据正弦定理求得c，进而利用面积公式求得答案解答：解：（1），又A、B、C是ABC的内角，又A、B、C是ABC的内角，0A+C，（2），ABC的面积点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用注意对这两个公式的灵活运用来解决三角形问题20已知an是各项均为正数的
25、等比数列，且a1a2=2，a3a4=32（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足+=an+11（nN*），求数列bn的前n项和考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（）设等比数列an的公比为q，由已知得解得求出；（）由题意通过仿写作差求出进一步求出，利用错位相减的方法求出数列bn的前n项和解答：解：（）设等比数列an的公比为q，由已知得又a10，q0，解得；（）由题意可得 ，（n2）两式相减得 ，（n2）当n=1时，b1=1，符合上式，（nN*）设，两式相减得 ，点评：本题考查数列通项公式的求法、前n项和公式的求法；错位相减方法是求和方法中重要的方法，属于一道中档题21如图，经过
26、村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N （异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）考点：解三角形的实际应用 专题：综合题；解三角形分析：设AMN=，在AMN中，求出AM，在APM中，利用余弦定理，建立函数，利用辅助角公式化简，即可得出结论解答：解：设AMN=，在AMN中，=因为MN=2，所以AM=sin（120） 2分在APM中，cosAMP=cos（60+） 6分AP2=AM2+MP22AMMPcosAMP=sin2（120）+42
27、2 sin（120） cos（60+） 8分=sin2（+60） sin（+60） cos（+60）+4=1cos （2+120） sin（2+120）+4=sin（2+120）+cos （2+120）+=sin（2+150），（0，120） 12分当且仅当2+150=270，即=60时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2答：设计AMN为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小14分点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角函数的化简，正确构建函数是关键22数列an的首项为a（a0），前n项和为Sn，且Sn+1=tSn+a（t0）设bn=Sn+1，cn=k+b1+b2+bn（kR+）
28、（1）求数列an的通项公式；（2）当t=1时，若对任意nN*，|bn|b3|恒成立，求a的取值范围；（3）当t1时，试求三个正数a，t，k的一组值，使得cn为等比数列，且a，t，k成等差数列考点：数列与不等式的综合 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）在数列递推式中取n=n1，得到另一递推式，作差后求得数列an为等比数列并求出公比，则数列的通项公式可求；（2）由t=1求得an，Sn，bn，由|bn|b3|恒成立，利用取n得特殊值及单调性求函数的最值求得a的取值范围；（3）求出等比数列an的前n项和，代入bn=Sn+1，再求出cn=k+b1+b2+bn，由cn为等比数列，利用等比数列的通
29、项公式特点得到a，k，t的关系，再结合a，t，k成等差数列联立方程组求得a，t，k的值解答：解：（1）Sn+1=tSn+a当n2时，Sn=tSn1+a，得，an+1=tan（n2），又由S2=tS1+a，得a2=ta1，an是首项为a，公比为t的等比数列，（nN*）；（2）当t=1时，an=a，Sn=na，bn=na+1，由|bn|b3|，得|na+1|3a+1|，（n3）a（n+3）a+20（*） 当a0时，n3时，（*）不成立；当a0时，（*）等价于（n3）（n+3）a+20（*）n=3时，（*）成立n4时，有（n+3）a+20，即恒成立，n=1时，有4a+20，n=2时，有5a+20， 综上，a的取值范围是；（3）当t1时，=，当时，数列cn是等比数列，又a，t，k成等差数列，2t=a+k，即，解得从而，当，时，数列cn为等比数列点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了等比数列的通项公式，训练了特值化思想在解题中的应用，考查了数列的求和方法，考查了运算能力，属难度较大的题目
