1、活页作业(七)二项式定理1(x2y)7的展开式中的第4项为()A280x4y3B280x4y3C35x4y3D35x4y3解析：(x2y)7的展开式中的第4项为T4Cx4(2y)3(2)3Cx4y3280x4y3.答案：A2在二项式5的展开式中，含x4的项的系数是()A10B10C5D20解析：由二项式定理可知，展开式的通项为C(1)rx103r，则103r4得r2，所以含x4项的系数为C(1)210.答案：A3若6的展开式中x3项的系数为20，则a2b2的最小值为()A1B2C3D4解析：由二项式定理的展开公式可得：Tr1C(ax2)6rrCa6rbrx123r，x3项为123r3r3，因为
2、6的展开式中x3项的系数为20，所以Ca3b320a3b31ab1，由基本不等式可得a2b22ab2，当且仅当ab时等号成立答案：B4设常数aR，若5的二项展开式中x7项的系数为10，则a_.解析：Tr1C(x2)5rr,2(5r)r7r1，故Ca10a2.答案：25在x(1)6的展开式中，含x3项系数是_(用数字作答)解析：(1)6展开式中通项Tr1C()r，令r4可得，T5C()415x2，(1)6展开式中x2项的系数为15，在x(1)6的展开式中，含x3项的系数为15.答案：156设m，nN，f(x)(1x)m(1x)n，(1)当mn7时，f(x)a7x7a6x6a1xa0，求a0a2a
3、4a6.(2)当mn时，f(x)展开式中x2的系数是20，求n的值(3)f(x)展开式中x的系数是19，当m，n变化时，求x2系数的最小值解： (1)赋值法：分别令x1，x1，得a0a2a4a6128.(2)T32Cx220x2，n5.(3)mn19，x2的系数为：CCm(m1)n(n1)(mn)22mn(mn)171mn171(19n)n2所以，当n10或n9时，f(x)展开式中x2的系数最小值为81.7若直线3x(a1)y10与直线ax2y10互相垂直，则5展开式中x的系数为()A40B10C10D40解析：由题意可得1，解得a2.则55的通项公式为Tr1C25r(1)rx103r，令10
4、3r1，求得r3，故5展开式中x的系数为10440.答案：D8如果n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为()A3B5C6D10解析：n展开式的通项为C(3x2)nrrC3nr(2)rx2n5r.若C(3x2)nrrC3nr(2)rx2n5r为非零常数项，必有2n5r0，nr，n的最小值为5.答案：B9(2015新课标卷)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10B20C30D60解析：(x2xy)5x(x1)y5，T3Cx(x1)3y2Cx3(x1)3y2，所以x5y2的系数为C C30. 答案：C10在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f
5、(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)_.解析：(1x)6(1y)4的展开式中，含x3y0的系数是：CC20.f(3, 0)20；含x2y1的系数是：CC60.f(2,1)60；含x1y2的系数是CC36.f(1,2)36；含x0y3的系数是CC4.f(0,3)4；f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)120.答案：12011已知(a21)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a21)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值解：由5，得Tr1C5r()r5rCx，令Tr1为常数项，则205r0，r4，常数项T5C16.又(a21)n展开式的各项系数之和等于2n
6、，由题意得2n16，n4.由二项式系数的性质知，(a21)n展开式中系数最大的项是中间项T3，Ca454，a.12已知n的展开式的各项依次记为a1(x)，a2(x)，an(x)，an1(x)设函数F(x)a1(x)2a2(x)3a3(x)nan(x)(n1)an1(x)若a1(x)，a2(x)，a3(x)的系数依次成等差数列(1)求正整数n的值(2)求证：任意x1，x20,2，恒有|F(x1)F(x2)|2n1(n2)1.(1)解：由题意知ak(x)Ck1，k1,2,3，n1.a1(x)，a2(x)，a3(x)的系数依次为C1，C，C2，21.解得n8或n1(不合题意，舍去)n8.(2)证明：F(x)a1(x)2a2(x)3a3(x)nan(x)(n1)an1(x)C2C3C2nCn1(n1)Cn.令x2，F(2)C2C3CnC(n1)C；令x0，F(0)1.设SnC2C3CnC(n1)C，则Sn(n1)CnC3C2CC，考虑到CC，将以上两式相加得2Sn(n2)(CCCCC)Sn(n2)2n1.又当x0,2时，F(x)0恒成立，从而F(x)是0,2上的单调增函数任意x1，x20,2，|F(x1)F(x2)|F(2)F(0)(n2)2n11.
