1、A1ABCD1B1C1DP(第 7 题图)xOy1xOy1xOy1xOy1浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷（2022 年 4 月）数 学 试 题本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共 6 页，选择题部分 1 至 3 页，非选择题部分 3 至6 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。考生注意：1答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。2答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。参考公式:如果事件 A，B 互斥，那么柱体的体积公式()()()P ABP AP
2、BVSh=如果事件 A，B 相互独立，那么其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P A BP AP B锥体的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那13VSh=么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()C(1)(0 1 2)kkn knnP kppkn，球的表面积公式台体的体积公式24SR=11221()3VSS SS h球的体积公式其中12S S，分别表示台体的上、下底面积，h 表34 3VR=示台体的高其中 R 表示球的半径第卷（共 40 分）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共
3、40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知全集0 1 2 3 4 5U，集合1 3 5A，0 1B，则()U AB A0B2 4，C0 1 3 5，D0 1 2 4，2若复数 z 满足 i1 iz （i 为虚数单位），则 z A 1 i B 1 i C1 iD1 i3某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A1B 32C 2D 524若实数 x y，满足约束条件03020 xxyxy，则 zxy的最大值是A3B0C 1D 35已知函数()sin()cos()f xxx(00 2)，则“34”是“函数()f x为奇函数”的A充分不必要条件
4、B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6在同一直角坐标系中，函数1log()(0aayxyax，且1)a 的图象可能是ABCD7如图，在正方体1111ABCDA B C D中，P 是线段1CD 上的动点，则A/AP平面1BC DB/AP平面11A BCC AP 平面1A BDD AP 平面11BB D数学试题卷第 1 页（共 6 页）数学试题卷第 2 页（共 6 页）正视图侧视图俯视图1121（第 3 题图）PBCDA(第 19 题图)ABCD1P2P3P3Q2Q1Q(第 15 题图)8若存在 aR，对任意的0 x，恒有()sinf xax，则函数()f x 不可能是A()f x
5、xB2()2f xxx C()2xf x D()lnf xx9已知12F F，为双曲线22221(00)xyabab，的左、右焦点，P 为双曲线的渐近线上一点，满足1245F PF，122(2OPF FO为坐标原点)，则该双曲线的离心率是A 2 147B 8 27C62 27D63 2710已知各项均为正数的数列na满足11a，1*111()nnnnnaanaN，则数列naA无最小项，无最大项B无最小项，有最大项C有最小项，无最大项D有最小项，有最大项第卷（共 110 分）二、填空题（本大题共 7 小题，单空题每题 4 分，多空题每空 3 分，共 36 分）11我国古代数学著作九章算术方田篇记
6、载“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”（注：宛田，扇形形状的田地；径，扇形所在圆的直径；周，扇形的弧长），即古人计算扇形面积的公式为：扇形面积4 径 周 现有一宛田的面积为 1，周为 2，则径是.12已知(0)2，且1sin()23，则 cos，tan 13在1()2nxx的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64，则正整数 n，常数项是14已知抛物线24yx的焦点为 F，过抛物线上一点 P 作圆221(1)4xy的一条切线，切点为 A，且 PAPF，则点 F 的坐标是，PF 15如图，在平行四边形 ABCD 中，123P P P，依次为边 BC 的四等分点，123Q Q Q，依次为边 DC
7、的四等分点，若111AP AQ，332AP AQ，则22APAQ 16在抗击疫情期间，某区对3 位医生、2 位护士和1位社区工作人员进行表彰并合影留念现将这 6人随机排成一排，设3 位医生中相邻人数为1（若互不相邻，则11；有且仅有 2 人相邻，则12；3 人连在一起，则13），2 位护士中相邻人数为2，记112212 ，则1(3)P ；()E 17已知 a bR，若123x xx，是函数32()f xxaxb的零点，且123xxx，123xxx，则6ab的最小值是三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（本题满分 14 分）在ABC中，内角 A
8、 B C，的对边分别为 a b c，且 sin3 cos0cAaC（）求角C 的大小；（）若ABC是锐角三角形，且2ab，求b 的取值范围19（本题满分 15 分）如图，在三棱锥 PABC中，PAC是边长为 2 的正三角形，BAAC，3BA，2BP，D 为 BC 的中点（）证明：ACPD；（）求直线 BP 与平面 PAC 所成角的正弦值周宛田径(第 11 题图)数学试题卷第 3 页（共 6 页）数学试题卷第 4 页（共 6 页）ABMNPQOxy(第 21 题图)20（本题满分 15 分）已知数列na是公差不为0 的等差数列，11a，且124a a a，成等比数列；数列 nb的前 n 项和是n
9、S，且21nnSb，*nN（）求数列na，nb的通项公式；（）设11nnnnnaaca a，是否存在正整数 m，使得2222123231(3)nmnaccccb 对任意*nN 恒成立？若存在，求 m 的最小值；若不存在，请说明理由21（本题满分 15 分）如图，已知椭圆22221(0)xyabab的左顶点为(2 0)A ，焦距为 2 3，过点(2 2)B，的直线交椭圆于点 M N，直线 BO 与线段 AM、线段 AN 分别交于点 P Q，其中O 为坐标原点记OMN，APQ的面积分别为12S S，（）求椭圆的方程；（）求12SS的最大值22（本题满分 15 分）已知 aR，函数22()ee2xa
10、xf xx.（）求曲线()yf x在0 x 处的切线方程；（）若函数()f x 有两个极值点12x x，且1201xx，（）求 a 的取值范围；（）当9a 时，证明：212e6e4axxaa（注：e2.71828是自然对数的底数）数学试题卷第 5 页（共 6 页）数学试题卷第 6 页（共 6 页）PBCDAEGF浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷（2022 年 4 月）数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1A2D3B4C5A6C7B8D9A10D二、填空题（本大题共 7 小题，单空题每题 4 分，多空题每空 3 分，共 36 分）11 212
11、13，2 2136，5214(1 0)，171615191316 15，613017 16三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分）18（本题满分 14 分）解：（）因为 sin3 cos0cAaC，又 sinsinacAC，所以sinsin3sincos0CAAC，3 分又因为sin0A，所以sin3 cosCC，5 分所以 tan3C，所以3C 7 分（）因为3C，所以2222cos 3cabab，即2222cab9 分因为 A 是锐角，所以cos0A，所以2220bca，所以21b ，1b 11 分因为 B 是锐角，所以cos0B，所以2220acb，所以21a，1a，又2ab，所以
12、，2b 13 分因此，12b14 分19（本题满分 15 分）（）证明：取 AC 的中点 E，连结 PE DE，因为PAC是正三角形，所以 PEAC，2 分又因为/DEBA，BAAC，所以 DEAC，4 分又 PE 平面 PDE，DE 平面 PDE，PEDEE，所以 AC 平面 PDE，5 分又因为 PD 平面 PDE，所以 ACPD7 分（）解法 1：过点 D 作 DFPE，垂足为 F.9 分由（）知 AC 平面 PDE，所以 ACDF，所以 DF 平面 PAC 11 分取 PC 的中点G，连结 DG，因为 D 为 BC 的中点，所以/DGBP，所以直线 BP 与平面 PAC 所成角等于直线
13、 DG 与平面 PAC 所成角DGF12 分因为 PBPC，所以 PDBC，又由（）知 ACPD，所以 PD 平面 ABC，所以 PDDE在直角PDE中，3PE，1322DEAB，得32PD，34PDDEDFPE，又在直角DGF中，112DGBP，3sin4DFDGFDG因此，直线 BP 与平面 PAC 所成角的正弦值为 3415 分解法 2：如图，以 E 为原点，分别以射线 ED EC，为x y，轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Exyz，则(01 0)A，(31 0)B，(0 1 0)C，3(0 0)2D，9 分因为 PBPC，D 为 BC 中点，所以 PDBC，又 ACPD，所以 PD 平
14、面 ABC，所以33(0)22P，33(1)22BP ，10 分设平面 PAC 的法向量为()x y z，n，又(0 2 0)AC，33(1)22AP，由00ACAP，nn得2033022yxyz，可取(3 01)，n12 分设直线 BP 与平面 PAC 所成角为，则3sincos4BPBPBP，nnn，因此，直线 BP 与平面 PAC 所成角的正弦值为 3415 分数学答案第 1 页（共 6 页）数学答案第 2 页（共 6 页）PBCDAyxzE20（本题满分 15 分）解：（）设等差数列na的公差为(0)d d，因为124a a a，成等比数列，所以2214aa a，1 分所以2(1)1
15、3dd，解得1d，所以1(1)naandn3 分当1n 时，11121bSb，所以11b 4 分当2n 时，1122nnnnnbSSbb，所以12nnbb，5 分所以 nb是以1为首项，以 2 为公比的等比数列，所以，12nnb6 分（）由题意得21(1)nncn n，7 分则222222111(1)(1)nncn nnn，9 分所以2221222222222111111111223(1)(1)mcccmmmm211(1)m 11 分设1231(3)31(3)2nnnnandb，则121231(2)31(3)31(4)222nnnnnnnndd，所以，当1 2 3n ，时，1nndd；当4n
16、时，45dd；当5n 时，1nndd，所以，数列nd的最大项为453132dd，13 分所以21311(1)32m，整理得2(1)32m，所以，存在正整数 m，且 m 的最小值是5 15 分21（本题满分 15 分）解：（）因为左顶点为(2 0)A ，所以2a，1 分又焦距为 2 3，所以223ab，所以21b ，3 分所以椭圆的方程是2214xy 4 分（）由题意设直线:(2)2MN yk x，其中1k，设11()M x y，22()N xy，5 分由22(2)214yk xxy，消去 y 整理得222(41)16(1)4(483)0kxkk xkk，且22216(1)16(41)(483)
17、16(83)0kkkkkk，所以12216(1)41k kxxk，21224(483)41kkx xk，7 分所以222212121224 18311()441kkMNkxxkxxx xk，又点O 到直线 MN 的距离12221kdk，所以11214(1)83241kkSMN dk9 分因为 P Q，在直线 BO 上，所以可设33()P x x，44()Q xx，又因为 A P M，三点共线，所以311322xyxx，所以131122yxxy，同理242222yxxy，11 分所以121234112212222222 22 222(1)2(1)2yykxkkxkPQxxxyxyk xkk xk
18、212212124 2 214 2 83=42(1)()(1)83kxxkkkkxxkx xk，又点 A 到直线 BO 的距离22d，所以，2214 83283kSPQ dk13 分设1(0)tk ，则122216(1)161644(52)5414855248ktSSktttt（当且仅当52t，即512k 时，等号成立）因此，12SS的最大值是 4 5815 分数学答案第 3 页（共 6 页）数学答案第 4 页（共 6 页）22（本题满分 15 分）（）解：因为2()2eexfxax，2 分所以(0)2ef，又(0)1f，所以曲线()yf x在0 x 处的切线方程为(2e)1yx4 分（）（）
19、解：因为函数()f x 有两个极值点12x x，所以12x x，是关于 x 的方程2()2ee0 xfxax的两根，也是关于 x 的方程22eexax 的两正根5 分设22ee()(0)xg xxx，则2224 e2ee()xxxg xx7 分令22()4 e2ee(0)xxh xxx，则2()8 e xh xx，当0 x 时，()0h x，所以()h x 在(0)，上单调递增，又1()04h，所以，当104x时，()0()0h xg x，；当14x 时，()0()0h xg x，所以，函数()g x 在1(0)4，上单调递减，在 1()4 ，上单调递增又因为1201xx，所以1()(1)4g
20、ag ，即24 e2eea ，所以，a 的取值范围是2(e2e4 e)，9 分（）证明：结合（）可知2e2e9a 因为1exx ，所以1112(21)e()0 xaxfx，所以1(4)e2ax，所以1e24xa又由（）知2114x，所以21e26e144axxaa 11 分下面先证明不等式21e(01)1xxxx设21()e(01)1xxr xxx，则2222e()(1)xxr xx，所以，当01x时，()0r x，()r x 在(0 1)，上单调递减，所以，()(0)1r xr，所以不等式21e(01)1xxxx成立12 分因为1212(01)x xxx，是2()2ee0 xfxax的两个根
21、，所以()0(1 2)ifxi，又21e(01)1xxxx，所以12e()0(1 2)1iiiixaxf xix，整理得2(2e)2e0(1 2)iiaxaxi，设函数2()(2e)2em xaxax，2e2ata，因为22(2e)4(2e)(6e)16(e2)0aaa，且1(0)0(1)0 02mmt，所以函数()m x 有两个不同的零点，记为()，且 01t 因为21()2ee2e1ttf tatatt2(6e)16(e2)02(2e)aa，且(0)0(1)0ff，所以1201xtx 因为()m x 在(0)t，上单调递减，且1()0()m xm，所以10 xt；因为()m x 在(1)t，上单调递增，且2()0()m xm，所以21tx；所以1201xx，所以21xx14 分因为2222e4(2e)(2e)122 e()1aaaaa，又122 e10(9)aa ，所以2ea，所以212exxa 因此，212e6e4axxaa15 分数学答案第 5 页（共 6 页）数学答案第 6 页（共 6 页）