1、试卷第 1 页，总 4 页2020 年军队院校生长军官招生文化科目统一考试数学模拟试卷六一、单选题1已知集合 A1,2,3,4，B2,4,6,8，则 AB 中元素的个数为 A1B2C3D4 2南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为1V、2V，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为1S、2S，则命题 p：“1V、2V 相等”是命题:
2、q“1S、2S 总相等”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 3已知每项均大于零的数列 na中,首项11a 且前n 项和nS 满足1112nnnnnnSSSSS S(*nN且2n),则81a()A641B640C639D6384设函数 f xxaxbxc（a，b，c 是互不相等的常数），则 abcfafbfc等于（）A0B1C3Dabc 5已知点(1,)Pm 在椭圆2214xy的外部，则直线23ymx与圆221xy的位置关系为（）A相离B相交C相切D相交或相切 6已知 为第三象限角，且sincos2m，2sin2m，则 m 的值为（）A13B22C33D23
3、试卷第 2 页，总 4 页7已知a 是实数，1aii是纯虚数，则 a 等于（）A2B 1C2D18一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为A33！B3(3！)3C(3！)4D9！9已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足 2ef xf x（其中e2.7182），且在区间0,e 上是增函数，令eln3a，eln4b，eln5c，则 f a，f b，f c 的大小关系为（）A f bf af cB f bf cf aC f af bf cD f af cf b二、填空题10数列 nx满足1lg1 lg()nnxx xN ，且 x1x2x100100，则 lg(x1
4、01x102x200）_ 11设1e 与2e 是两个不共线向量，1232ABee，12CBkee，1232CDeke，若 A，B，D 三点共线，则 k _.1241()(1)xxx的展开式中 x3的系数为_ 13在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 8b5c，C2B，则 cosC_.14已知一组数据1x，2x，3x，4x，5x 的方差为 2，则数据123x，223x，323x，423x，523x 的方差为_.15已知双曲线2222:10,0 xyCabab的一条渐近线与曲线1lnyx 相切，则该双曲线的离心率为_.16若无穷数列 na的所有项都是正数，且满足2123
5、naanannN，则1221lim231nnaaann_ 17若方程10 xxea 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是_.三、解答题试卷第 3 页，总 4 页18设 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知2 coscoscosbBaCcA.（1）求 B；（2）若3b，求ac的取值范围.19已知函数 1f xxax.（1）当0a 时，求不等式 1f x 的解集 A.（2）设 32f xx的解集为 B，若 AB，求这数 a 的值.20已知数列 na满足1212nna，246212nn naaaa，*nN.（1）求2na；（2）求数列 2nna的前2n 项和.21某商场为
6、吸引顾客消费推出一项优惠活动，活动规则如下：消费额每满 100 元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置.若指针停在 A 区域返券 60 元；停在 B 区域返券 30 元；停在C 区域不返券.例如：消费 218 元，可转动转盘 2 次，所获得的返券金额是两次金额之和.（1）若某位顾客消费 128 元，求返券金额不低于 30 元的概率；（2）若某位顾客恰好消费 280 元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为 X（元），求随机变量 X 的分布列和数学期望.试卷第 4 页，总 4 页22已知函数()ln1f xxxa，2ln2xg xaxxx，其中0a.（
7、1）求()f x 的单调区间；（2）当1x 时，g x 的最小值大于 3ln2a，求a 的取值范围.23已知椭圆1C：22221(0)xyabab 的左、右顶点分别是双曲线2C：2221xym 的左、右焦点，且1C 与2C 相交于点(2 33,33)（1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设直线l：13ykx与椭圆1C 交于 A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆是否恒过定点?若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由 24如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面 ABCD，PDDC，E 是 PC 的中点（）证明 PA/平面 BDE；（）求二面角 BDEC 的平面
8、角的余弦值；（）在棱 PB 上是否存在点 F，使 PB平面 DEF？证明你的结论答第 1 页，总 10 页参考答案1B由题意可得2,4AB，故 AB中元素的个数为 2，所以选 B.2B由祖暅原理可知，若1S、2S 总相等，则1V、2V 相等，即必要性成立；假设夹在两平行平面间的底面积为 S 的棱柱和底面积为3S 的棱锥，它们的体积分别为1V、2V，则12VV，这两个几何体被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为1S、2S，但1S 与2S 不总相等，即充分性不成立.因此，命题 p 是命题q 的必要不充分条件.故选：B.3B因为1112nnnnnnSSSSS S，所以12nnSS，即
9、nS为等差数列，首项为 1，公差为2，所以2=1+2(1)21(21)nnSnnSn，因此22818180161159640aSS，选 B.4A由题意，函数 f xxaxbxc 设 ,g xx bxc h xxaxc m xxax b，可得 ()fxg xxa gx，即有 fag a，同理可得 ,fbh bfcm c，则 ()()()()()()abcabcfafbfcab acba bcca cb()()()0()()()a bcb cac abab ac bc.故选：A.5B因为点(1,)Pm 在椭圆2214xy的外部，答案第 2 页，总 10 页所以2114m，即234m，则圆221xy
10、的圆心(0,0)到直线23ymx的距离 223312(2)(1)dRm ，所以直线23ymx与圆221xy相交 故选：B6Csincos2m，则222sincos1 sin214mm ，解得33m ，为第三象限角，则sincos20m，故33m .故选：C.7D由题意可知：1111112aiiaaiaiiii，1aii为纯虚数，则：1010aa ，据此可知1a .本题选择 D 选项.8C根据题意，分 2 步进行：将每个三口之家都看成一个元素，每个家庭都有33A 种排法；三个三口之家共有3333 33333()AAAA种排法，将三个整体元素进行排列，共有33A 种排法 故不同的作法种数为3 33
11、3 44333()()(3!)AAA 故选C 9C因为 2f xef x，所以 42f xef xef x，即 f x 周期为 4e.因为 f x 为奇函数且 2ef xf x，作一个周期2,2ee内的示意图，易得 f x 在0,e 单调答第 3 页，总 10 页递增，在,2ee 上单调递减.又ln3ln4ln52eeeee，故 f af bf c.故选：C10102111lg1 lglg1,10,nnnnnnxxxxxx ，所以数列 nx是等比数列，公比为 10，所以10010010110220012100lg()lg10lg 100 10102xxxxxx，故答案为：102.1194 12
12、121232321BDCDCBekekeek eke.A，B，D 三点共线，AB BD，存在实数，使得 BDAB，即1212123213232k ekeeeee.1e 与2e 是两个不共线向量，33212kk，解得94k .故答案为：94.1254(1)x的通项为4441()()11rrrrrrrTCxC x 令2r，此时3x 的系数为224(1)6C 令4r，此时3x 的系数为444(1)1C 则3x 的系数为6 15 故答案为：5 13 725答案第 4 页，总 10 页由 sinsinbcBC及 8b5c，C2B，得 5csin 2B8csin B，所以 cos B 45，所以 cos
13、Ccos 2B2cos2B1 725.148设 x，2s 为数据1x，2x，3x，4x，5x 的平均数和方差，X，2S 为数据123x，223x，323x，423x，523x 的平均数和方差 由题意可得222125125xxxxxx 所以 22212510 xxxxxx 12523 5235xxxXx 222125212323232323235xxxxSxx 22225151 444xxxxxx4 1085故答案为：8152设切点坐标为,ln1tt，对于函数1lnyx 求导得1yx，所以，曲线1lnyx 在 xt处的切线方程为11 lnytxtt，由于该切线过原点，则 1 ln1t ，解得1t
14、 .所以，切线的斜率为1ba，所以，该双曲线的离心率为212cbeaa.故答案为：2.162当1n 时，14a，可得116a；答第 5 页，总 10 页当2n 时，由21213nnaaaann，可得221211312naaannnn，两式相减得21nan，得241nan，116a 也适合241nan，则 241naNnn，411nann.所以，128448 1241232312nnnaaann nn.因此，12222313limlimlim 2 12231nnnnn naaannnn.故答案为：2.171(1,1)e由题意方程1xaxe 有两个不相等的实数根，设()1xf xxe，则函数()y
15、f x的图象与直线 ya有两个不同的交点()(1)xxxfxexex e当1x 时，()0fx，()f x 递增，当1x 时，()0fx，()f x 递减，所以1x 时，()f x 取得极大值也是最大值11(1)1 1fee ，又 x 时，()f x ，x 时，()1f x ，注意到1x 时，()11xf xxe，所以当111ae 时，直线 ya与函数()yf x的图象有两个交点 故答案为：1(1,1)e 18（1）因为2 coscoscosbBaCcA，所以2sincossincossincossin()sinBBACCAACB，因为sin0B，所以1cos2B，由0,B，3B.（2）由题意
16、可得：32sinsinsin60acAC，可得2sinaA，2sincC.所以22sin2sin2sin2sin3acACAA3sin3cos2 3sin6AAA，答案第 6 页，总 10 页因为20,3A，5,666A 所以1sin,162A，故 3,2 3ac .19（1）当0a 时，()|1|f xxx，即解不等式|1|1xx，由绝对值不等式知，|1|(1)|1xxxx，当且仅当(1)0 x x 时取等号，因此()1f x的解集|01Axx；（2）由 AB，即0 x，1，不等式3()|2f xx 恒成立，即3|12xaxx，整理得1|2xa，故1122xa在0 x，1上恒成立，则1212
17、a xa x在0 x，1上恒成立，得1212aa，故12a 20（1）当1n 时，21a ，当2n 时，因为246212nn naaaa，所以2462212nnnaaaa，两式相减得2nan，21a 也满足上式，所以*2nannN，；（2）23212212321222222nnnnnSaaaaa 3521242212 122222221222nnnn 0122 42 42 42 1 222nn n 22 1 42 1 2221 4nn n 答第 7 页，总 10 页 22 412 1 2223nn n 设22 1 222nnTn 则23122 1 222nnTn ，相减得，231112 1 2
18、2222221221 2nnnnnnTnnn 11 22nnTn，所以 122 411 223nnnSn.21设指针落在 A,B,C 区域分别记为事件 A,B,C.则111(),(),()632P AP BP C.（）若返券金额不低于 30 元，则指针落在 A 或 B 区域.111()()632PP AP B即消费 128 元的顾客，返券金额不低于 30 元的概率是 12.（）由题意得，该顾客可转动转盘 2 次.随机变量 X 的可能值为 0，30，60，90，120.111(0);224111(30)2;23311115(60)2;263318111(90)2;369111(120).6636
19、P XP XP XP XP X 所以，随机变量 X 的分布列为：P0306090120X141351819136其数学期望115110306090120404318936EX .答案第 8 页，总 10 页22（1）函数()f x 的定义域为(0)，.11()1xfxxx.当01x 时，()0fx；当1x 时，()0fx.函数()f x 的单调递减区间是(0)1，单调递增区间是(1)，.（2）易知()ln1().g xxxaf x 由（1）知，()(1)0f xfa，所以当1x 时，()(1)0g xga.从而()g x 在1)，上单调递增，所以()g x 的最小值 112ga.依题意得12a
20、 3ln2a，即ln10aa.令 ln1h aaa，0a,110h aa 在0 ，恒成立，所以 h a 在0 ，上单调递增.所以 10h ah，所以 a 的取值范围是1 ，.23（1）将 2 3333，代入2221xym 解得21m ，2212am.将 2 33,33代入22212xyb解得21b ，椭圆1C 的标准方程为：2212xy；（2）设 1122,A x yB x y，由221312ykxxy整理得229 1812160kxkx，121 2221216,9 189 18kxxx xkk2214464 9 180kk 答第 9 页，总 10 页法一：由对称性可知，以 AB 为直径的圆若
21、恒过定点，是定点必在 y 轴上.设定点为00,My，则 110220,MAx yyMBx yy1 21020MA MBx xyyyy21 2120120 x xy yyyyy221 21 212012021339kx xk x xxxyk xxy221 2012001211339kx xkyxxyy222000218196159 18ykyyk0202001096150yyy，解得01y ，0,1M 以线段 AB 为直径的圆恒过定点0,1法二：设定点为00,M xy，则 10102020,MAxx yyMBxx yy 1020120MA MBxxxxyyyy221 20120120120 x
22、xxxxxy yyyyy22120120120120112333x xxxxxkxkxy k xxy2221 200120001211339kx xxykxxxyy22222000000218112996159 18xykx kxyyk02200022000100996150 xyxxyy 解得0001xy，0,1M 以线段 AB 为直径的圆恒过定点0,1.答案第 10 页，总 10 页24（）证明：以 D 为坐标原点，分别以 DA、DC、DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设 PDDC2，则 A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），（2
23、，0，2），（0，1，1），设是平面 BDE 的一个法向量，则由，得，取 y1，得 PA n220，PAn，又 PA 不在平面 BDE 内，PA平面 BDE；（）由（）知（1，1，1）是平面 BDE 的一个法向量，又（2，0，0）是平面 DEC 的一个法向量 设二面角 BDEC 的平面角为，coscos，故二面角 BDEC 的余弦值为（）（2，2，2），（0，1，1），0，PBDE，假设棱 PB 上存在点 F，使 PB平面 DEF，设，（01），则（2，2，2），（2，2，22），由0，得 42422（22）0，（0，1），此时 PF，即在棱 PB 上存在点 F，PF，使得 PB平面 DEF