1、2014-2015学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知等差数列an的前n项和为Sn，若a3+a7=10，则S9=（） A 9 B 10 C 45 D 902“a4”是“a216”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件3函数f（x）=log（x29）的单调递增区间为（） A （0，+） B （，0） C （3，+） D （，3）4已知l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（） A 若l，m，则lm B 若lm，m，
2、则l C 若l，m，则lm D 若lm，l，则m5为了得到函数y=cos2xsin2x的图象，可以将函数y=cos2x的图象（） A 向右平移个单位 B 向右平移个单位 C 向左平移个单位 D 向左平移个单位6已知函数f（x）=m9x3x，若存在非零实数x0，使得f（x0）=f（x0）成立，则实数m的取值范围是（） A m B 0 C 0m2 D m27已知实数x、y满足，若z=xy的最大值为1，则实数b的取值范围是（） A b1 B b1 C b1 D b18已知F1、F2分别是双曲线C1：=1（a0，b0）的左右焦点，且F2是抛物线C2：y2=2px（p0）的焦点，双曲线C1与抛物线C2的
3、一个公共点是P，若线段PF2的中垂线恰好经过焦点F1，则双曲线C1的离心率是（） A 2+ B 1+ C 2+ D 1+二、填空题（本大题共7小题，第9-12题，每小题6分，第13-15题，每小题6分，共36分）9已知全集为R，集合A=x|x22x0，B=x|1x3，则AB=；AB=；CRA=10若函数f（x）=tan（x+），则f（x）的最小正周期为；f（）=11已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为；表面积为12如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABCD，ADCD，PD=AD=DC=2AB，则异面直线PC与AB所成角的大小为；直线PB与平面PDC所成角的正弦值为13已
4、知两圆C1：（x+1）2+y2=1与C2：（x1）2+y2=25，动圆M与这两个圆都内切，则动圆的圆心M的轨迹方程为14在ABC中，BC=3，CA=4，AB=5，M是边AB上的动点（含A，B两个端点）若=+（，R），则|的取值范围是15若函数f（x）=（2x2a2xa）（2x11）的定义域和值域都是0，+），则实数a=三、解答题（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=（1）求角B；（2）求sinAcosC的取值范围17如图，在四棱锥CA1ABB1中，A1ABB1，A1A平面ABC，ACB=，AC=AA1=1，BC
5、=BB1=2（1）求证：平面A1AC平面B1BC；（2）若点C在棱AB上的射影为点P，求二面角A1PCB1的余弦值18已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b，cR）（1）若f（1）=f（2），且不等式xf（x）2|x1|+1对x0，2恒成立，求函数f（x）的解析式；（2）若c0，且函数f（x）在1，1上有两个零点，求2b+c的取值范围19设数列an的前n项和记为Sn，对任意正整数n满足3an2=Sn（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=2n，记数列bn的前n项和为Tn，若不等式Tnan对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围20已知抛物线C：x2=4y和直线l：y=2，直线l与y轴的交点为
6、D，过点Q（0，2）的直线交抛物线C于A，B两点，与直线l交于点P（1）记DAB的面积为S，求S的取值范围；（2）设=，=，求+的值2014-2015学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知等差数列an的前n项和为Sn，若a3+a7=10，则S9=（） A 9 B 10 C 45 D 90考点： 等差数列的前n项和专题： 等差数列与等比数列分析： 利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解解答： 解：等差数列an的前n项和为Sn，a3+a7=10，S9=（a1+a9）
7、=45故选：C点评： 本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用2“a4”是“a216”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 简易逻辑分析： 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答： 解：由a216得a4或a4，则“a4”是“a216”的充分不必要条件，故选：A点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础3函数f（x）=log（x29）的单调递增区间为（） A （0，+） B （，0） C （3，+） D （，3）考点： 复合函数
8、的单调性；函数的单调性及单调区间专题： 函数的性质及应用分析： 设t=x29，根据复合函数单调性之间的关系即可得到结论解答： 解：由x290解得x3或x3，即函数的定义域为x|x3或x3，设t=x29，则函数y=logt为减函数，根据复合函数单调性之间的关系知要求函数f（x）的单调递增区间，即求函数t=x29的递减区间，t=x29，递减区间为（，3），则函数f（x）的递增区间为（，3），故选：D点评： 本题主要考查函数单调区间的求解，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键4已知l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（） A 若l，m，则lm B 若lm，m，则l
9、 C 若l，m，则lm D 若lm，l，则m考点： 空间中直线与平面之间的位置关系专题： 空间位置关系与距离分析： 利用线面平行的性质定理和判定定理对四个选项分别分析解答解答： 解：对于A，若l，m，则l与m的位置关系可能为平行、相交或者异面；故A错误；对于B，若lm，m，则l与平行或者相交；故B 错误；对于C，若l，m，利用线面创造的性质可得lm；故C正确；对于D，若lm，l，则m或者m；故D错误；故选C点评： 本题考查了线面平行的性质定理和判定定理的运用；关键是熟练掌握定理，正确运用5为了得到函数y=cos2xsin2x的图象，可以将函数y=cos2x的图象（） A 向右平移个单位 B 向
10、右平移个单位 C 向左平移个单位 D 向左平移个单位考点： 两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（x+）的图象变换专题： 三角函数的图像与性质分析： 由和差角的公式化简可得y=cos2（x+），由三角函数图象变换的规则可得解答： 解：化简可得y=cos2xsin2x=（cos2xsin2x）=cos（2x+）=cos2（x+）只需将函数y=cos2x的图象向左平移个单位可得故选：D点评： 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数图象的变换，属基础题6已知函数f（x）=m9x3x，若存在非零实数x0，使得f（x0）=f（x0）成立，则实数m的取值范围是（） A m B 0 C 0m2 D
11、 m2考点： 指数函数综合题专题： 函数的性质及应用分析： 由题意可得m9x3x =m9x3x 有解，可得=3x+3x ，利用基本不等式求得m的范围解答： 解：由题意可得m9x3x =m9x3x 有解，即m（9x9x ）=（3x3x ）有解可得=3x+3x 2 ，求得0m再由x0为非零实数，可得中等号不成立，故0m，故选：B点评： 本题主要考查指数函数的综合应用，基本不等式的应用，注意检验等号成立条件是否具备，体现了转化的数学思想，属于中档题7已知实数x、y满足，若z=xy的最大值为1，则实数b的取值范围是（） A b1 B b1 C b1 D b1考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应
12、用分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知z=xy的最大值为1，在点（1，0）处取得最大值，因而y=x+b在正方形的可行域外，如图中的红线此时01+b，解得b1，故选：D点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键8已知F1、F2分别是双曲线C1：=1（a0，b0）的左右焦点，且F2是抛物线C2：y2=2px（p0）的焦点，双曲线C1与抛物线C2的一个公共点是P，若线段PF2的中垂线恰好经过焦点F1，则双曲线C1的离心率是（） A 2+ B 1+ C 2+ D 1+考点： 抛物线的简单性质；
13、双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： P作抛物线准线的垂线，垂足为A，连接PF2，在直角F1AP中利用勾股定理，结合双曲线、抛物线的定义，即可求出双曲线的离心率解答： 解：设点P（x0，y0），F2（c，0），过P作抛物线准线的垂线，垂足为A，连接PF2，由双曲线定义可得|PF2|=|PF1|2a由抛物线的定义可得|PA|=x0+c=2c2a，x0=c2a在直角F1AP中，|F1A|2=8ac4a2，y02=8ac4a2，8ac4a2=4c（c2a）c24ac+a2=0e24e+1=0e1e=2+故选：A点评： 本题考查双曲线与抛物线的定义，考查双曲线的几何性质，解
14、题的关键是确定关于几何量的等式二、填空题（本大题共7小题，第9-12题，每小题6分，第13-15题，每小题6分，共36分）9已知全集为R，集合A=x|x22x0，B=x|1x3，则AB=（2，3）；AB=（，0）（1，+）；CRA=0，2考点： 交集及其运算；并集及其运算专题： 集合分析： 求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集，并集，求出A的补集即可解答： 解：由A中不等式变形得：x（x2）0，解得：x0或x2，即A=（，0）（2，+），B=（1，3），AB=（2，3），AB=（，0）（1，+），RA=0，2，故答案为：（2，3）；（，0）（1，+）；0，2点评： 此题考查了交集及其
15、运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键10若函数f（x）=tan（x+），则f（x）的最小正周期为；f（）=考点： 正切函数的图象专题： 三角函数的图像与性质分析： 根据正切函数的图象和性质进行求解即可解答： 解：函数的周期为，f（）=tan（+）=，故答案为：，点评： 本题主要考查正切函数的图象和性质，比较基础11已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为；表面积为3+（+）考点： 由三视图求面积、体积专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 由三视图知几何体为圆锥的一半，且圆锥的底面圆半径为1，高为3，代入圆锥的体积公式计算解答： 解：由三视图知几何体为圆锥的一半，且圆锥的底面圆半径
16、为1，高为3，几何体的体积V=123=，表面积为+=3+（+）故答案为：，3+（+）点评： 本题考查了由三视图求几何体的体积、表面积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量12如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABCD，ADCD，PD=AD=DC=2AB，则异面直线PC与AB所成角的大小为；直线PB与平面PDC所成角的正弦值为考点： 直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角专题： 综合题；空间角分析： 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，设PD=AD=DC=2AB=2，求出=（0，2，2），=（0，1，0），利用向量夹角公式求
17、出异面直线PC与AB所成角；求出平面PDC的法向量，即可求出直线PB与平面PDC所成角的正弦值解答： 解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴正方向建立空间坐标系设PD=AD=DC=2AB=2，则P（0，0，2），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0）=（0，2，2），=（0，1，0）设异面直线PC与AB所成角为则cos=，=平面PDC的法向量为=（2，0，0），=（2，1，2），直线PB与平面PDC所成角的正弦值为=故答案为：，点评： 本题考查异面直线PC与AB所成角、直线PB与平面PDC所成角的正弦值，考查向量法的运用，正确求向量的坐标是关键13已知两圆C1：
18、（x+1）2+y2=1与C2：（x1）2+y2=25，动圆M与这两个圆都内切，则动圆的圆心M的轨迹方程为考点： 轨迹方程专题： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设圆（x+1）2+y2=1的圆心O1（1，0），半径r1=1；圆（x1）2+y2=25的圆心O2（1，0），半径r2=5设动圆C的圆心C（x，y），半径R由于动圆C与圆（x+1）2+y2=1及圆（x1）2+y2=25都内切，可得|O1C|=R1，|O2C|=5R于是|O1C|+|O2C|=51=4|O1O2|=2，利用椭圆的定义可知：动点C的轨迹是椭圆求出即可解答： 解：设圆（x+1）2+y2=1的圆心O1（1，0）
19、，半径r1=1；圆（x1）2+y2=25的圆心O2（1，0），半径r2=5设动圆C的圆心C（x，y），半径R动圆C与圆（x+1）2+y2=1及圆（x1）2+y2=25都内切，|O1C|=R1，|O2C|=5R|O1C|+|O2C|=51=4|O1O2|=2，因此动点C的轨迹是椭圆，2a=4，2c=2，解得a=2，c=1，b2=a2c2=3因此动圆圆心C的轨迹方程是故答案为：点评： 本题考查了两圆相内切的性质、椭圆的定义，属于中档题14在ABC中，BC=3，CA=4，AB=5，M是边AB上的动点（含A，B两个端点）若=+（，R），则|的取值范围是考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用
20、分析： 如图所示，由已知可得C=90斜边AB上的高h=而=+=（3，4），可得=即可得出|=解答： 解：如图所示，BC=3，CA=4，AB=5，32+42=52，C=90斜边AB上的高h=+=（0，4）+（3，0）=（3，4），=（0，4）（3，0）=（3，4）则|=故答案为：点评： 本题考查了向量坐标运算、数量积运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15若函数f（x）=（2x2a2xa）（2x11）的定义域和值域都是0，+），则实数a=1考点： 函数的值域；函数的定义域及其求法专题： 函数的性质及应用分析： 由函数f（x）=（2x2a2xa）（2x11）的定义域和值域为
21、0，+）知当x0，1）时，2x2a2xa0，当x（1，+）时，2x2a2xa0，从而利用二次函数的性质求解解答： 解：函数f（x）=（2x2a2xa）（2x11）的定义域和值域都是0，+），当x0，1）时，2x110，则2x2a2xa0，当x1，+）时，2x110，2x2a2xa0，1是方程2x2a2xa=0的根，则有2a2a=0，解得a=2或a=1；若a=2，则2x24x+2=2（x1）20恒成立，与要求不符，舍去；若a=1，则2x2x1=（x1）（2x+1），经检验成立；故答案为：1点评： 本题考查了函数的性质的应用，属于基础题三、解答题（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过
22、程或演算步骤）16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=（1）求角B；（2）求sinAcosC的取值范围考点： 余弦定理；正弦定理专题： 计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形分析： （1）运用正弦定理和余弦定理，即可得到B；（2）运用内角和定理可得C，再由二倍角公式和两角和的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到范围解答： 解：（）由正弦定理，=即为=，化简得：b2c2=a2ac即a2+c2b2=ac，由余弦定理可得，cosB= 由0B，则B=； （）由于A+C=，则sinAcosC=sinAcos（A）=sinA（cosA+sinA），=sin2A+（1
23、cos2A），=sin（2A+），由B=可知 0A，所以2A+，故1sin（2A+）1，则sin（2A+）+，所以sinAcosC+点评： 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题17如图，在四棱锥CA1ABB1中，A1ABB1，A1A平面ABC，ACB=，AC=AA1=1，BC=BB1=2（1）求证：平面A1AC平面B1BC；（2）若点C在棱AB上的射影为点P，求二面角A1PCB1的余弦值考点： 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角分析： （1）证明BC平面A1AC，即可证明
24、平面A1AC平面B1BC；（2）证明A1PB1即二面角的A1PCB1一个平面角，利用tanA1PB1=tan（A1PA+B1PB），即可求二面角A1PCB1的余弦值解答： （1）证明：因为A1A平面ABC，所以A1ABC，（2分）又因为ACBC，A1AAC=A，所以BC平面A1AC，（4分）所以平面A1AC平面B1BC（5分）（2）解：先考查二面角APCA1和二面角BPCB1，因为A1A平面ABC，所以A1ACP，又因为CPAB，所以CP面A1ABB1，所以CPA1P，CPB1P，所以A1PB1即二面角的A1PCB1一个平面角，（7分）因为tanA1PA=，（9分）tanB1PB=，（11分）
25、所以tanA1PB1=tan（A1PA+B1PB）=，（14分）所以cosA1PB1=，所以二面角A1PCB1的余弦值为（15分）点评： 本题考查平面与平面垂直的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查二面角的平面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b，cR）（1）若f（1）=f（2），且不等式xf（x）2|x1|+1对x0，2恒成立，求函数f（x）的解析式；（2）若c0，且函数f（x）在1，1上有两个零点，求2b+c的取值范围考点： 二次函数的性质；函数零点的判定定理专题： 函数的性质及应用分析： （1）因为f（1）=f（2），不等式xf（x）2|
26、x1|+1对x0，2恒成立，函数的对称轴为x=，且f（1）=1，进而可得b，c的值，及函数f（x）的解析式；（2）若c0，且函数f（x）在1，1上有两个零点，则，利用线性规划可得2b+c的取值范围解答： 解：（1）因为f（x）=x2+bx+c，f（1）=f（2），所以1b+c=4+2b+c，解得：b=1，（3分）因为当x0，2，都有xf（x）2|x1|+1，令x=1，则1f（1）1，所以有f（1）=1，（6分）即c=1，所以f（x）=x2x+1； （7分）（2）因为f（x）在1，1上有两个零点，且c0，所以有，即其对应的平面区域如图所示：（11分）令Z=2b+c，则当b=1，c=0时，Z取最小
27、值2，当b=1，c=0时，Z取最大值2，由于可行域不包括（1，0）和（1，0）点故22b+c2（12分）点评： 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点，线性规划，难度中档19设数列an的前n项和记为Sn，对任意正整数n满足3an2=Sn（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=2n，记数列bn的前n项和为Tn，若不等式Tnan对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围考点： 数列的求和；数列递推式专题： 等差数列与等比数列分析： （1）由已知得3a12=S1，3an12=Sn1，从而得an是以a1为首项，为公比的等比数列，由此能求出an=（）n1（2）先求出Tn=，从而不等式Tnan等
28、价于，令f（n）=，从而得到f（n+1）f（n）=，由此能求出实数的取值范围解答： 解：（1）3an2=Sn，当n=1时，3a12=S1，解得：a1=1，（2分）当n2时，3an2=Sn，3an12=Sn1，两式相减得：3an3an1=an，即，（5分）an是以a1为首项，为公比的等比数列，an=（）n1（7分）（2）bn=2n，数列bn的前n项和为Tn=，（9分）不等式Tnan等价于，令f（n）=，（10分）则f（n+1）f（n）=（n+1）2+（n+1）（n2+n）（）n1=，（12分）当n4时，f（n+1）f（n），当n4时，f（n+1）f（n），即f（n）的最大值为f（4）=f（5）=
29、，（14分）（15分）点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意构造法和等价转化思想的合理运用20已知抛物线C：x2=4y和直线l：y=2，直线l与y轴的交点为D，过点Q（0，2）的直线交抛物线C于A，B两点，与直线l交于点P（1）记DAB的面积为S，求S的取值范围；（2）设=，=，求+的值考点： 抛物线的简单性质专题： 平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）显然直线AB斜率k存在，且k0，设直线AB方程y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程，运用韦达定理，弦长公式，由三角形的面积公式计算即可得到；（2）设P（x0，2），运用向量的共线坐标表示，可得=，同理=，计算化简即可求得+的值为0解答： 解：（1）显然直线AB斜率k存在，且k0，设直线AB方程y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程得x24kx8=0，得，所以|x1x2|=，所以S=|QD|x1x2|=8；（2）设P（x0，2），则由（）可知=（x1，2x1），=（x2，y22），所以=，同理=，又y1y2=4，故+=+=2=0，因此+的值为0点评： 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，属于中档题
