1、2016-2017学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高三（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在复平面内，复数z的对应点为（1，1），则z2=（）AB2iCD.2+2i2命题p：xR且满足sin2x=1命题q：xR且满足tanx=1则p是q的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知实数x，y满足不等式组，则2xy的取值范围是（）A1，3B3，1C1，6D6，14如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）A34+6B44+12C34+6D32+65已知函数f（x）是定义在R上的
2、偶函数，且在区间0，+）单调递减，若实数a满足f（log3a）+f（）2f（1），则a的取值范围是（）A（0，3B（0，C，3D1，36过双曲线的左焦点F作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A、B，双曲线左顶点为M，若AMB=120，则该双曲线的离心率为（）ABC3D27在ABC中，BC=7，AC=6，cosC=若动点P满足=（1）+，（R），则点P的轨迹与直线BC，AC所围成的封闭区域的面积为（）A5B10C2D48已知f（x）=，且g（x）=f（x）+有三个零点，则实数a的取值范围为（）A（，+）B1，+）C（0， ）D（0，19已知数列a 满足a=，an+11=an2an （nN*
3、），则m=+的整数部分是（）A1B2C3D410已知函数 f（x）=x+a，xa，+），其中a0，bR，记m（a，b）为 f（x）的最小值，则当m（a，b）=2时，b的取值范围为（）AbBbCbDb二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11已知全集为R，集合A=y|y=3x，x1，B=x|x26x+80，则AB= ，ARB= 12已知数列an的前n项和Sn=n2+2n1（nN*），则a1= ；数列an的通项公式为an 13已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点F（1，0），则p= ；M是抛物线上的动点，A（6，4），则|MA|+|MF|的最小值为 14若sin（
4、+x）+cos（+x）=，则sin2x= ， = 15已知直线2x+my8=0与圆C：（xm）2+y2=4相交于A、B两点，且ABC为等腰直角三角形，则m= 16若正数a，b，c满足+=+1，则的最小值是 17如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=，将ABD沿对角线BD向上翻折，若翻折过程中AC长度在，内变化，则点A所形成的运动轨迹的长度为 三、解答题：（第18题）18已知函数f（x）=sin（x+）（xR，0）的图象如图，P是图象的最高点，Q是图象的最低点且|PQ|=（）求函数y=f（x）的解析式；（）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x0，2时，求函数h
5、（x）=f（x）g（x）的最大值19三棱锥ABCD中，E是BC的中点，AB=AD，BDDC（I）求证：AEBD；（II）若DB=2DC=AB=2，且二面角ABDC为60，求AD与面BCD所成角的正弦值20已知函数f（x）=+lnx（a0）（1）判断函数f（x）在（0，e上的单调性（e为自然对数的底）；（2）记f（x）为f（x）的导函数，若函数g（x）=x3x2+x2f（x）在区间（，3）上存在极值，求实数a的取值范围21已知椭圆上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且，点M的轨迹为C（1）求曲线C的方程；（2）过点D（0，2）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点且
6、平行于x轴的直线上一动点，满足（O为原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由22已知数列an满足a1=3，an+1=an2+2an，nN*，设bn=log2（an+1）（I）求an的通项公式；（II）求证：1+n（n2）；（III）若=bn，求证：232016-2017学年浙江省宁波市诺丁汉大学附中高三（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在复平面内，复数z的对应点为（1，1），则z2=（）AB2iCD.2+2i【考点】A5：复数代数形式
7、的乘除运算【分析】利用复数的几何意义、运算法则即可得出【解答】解：在复平面内，复数z的对应点为（1，1），z=1+iz2=（1+i）2=2i，故选：B2命题p：xR且满足sin2x=1命题q：xR且满足tanx=1则p是q的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据三角函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：由sin2x=1得2x=+2k，kZ，即x=，kZ，由tanx=1，得x=，kZ，p是q的充要条件故选：C3已知实数x，y满足不等式组，则2xy的取值范围是（）A1，3B3，1C1，6D
8、6，1【考点】7C：简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2xy，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的取值范围【解答】解：设z=2xy，则y=2xz，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=2xz，由图象可知当直线y=2xz经过点B（0，1）时，直线y=2xz的截距最大，此时z最小，最小值z=01=1当直线y=2xz经过点C（3，0）时，直线y=2xz的截距最小，此时z最大z的最大值为z=23=6，即1z6即1，6故选：C4如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）A34+6B44+12C34+6D32+6【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】
9、一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2，底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，根据勾股定理做出三角形的高，写出所有的面积表示式，得到结果【解答】解：由三视图知，这是一个底面是矩形的四棱锥，矩形的长和宽分别是6，2底面上的高与底面交于底面一条边的中点，四棱锥的高是4，四棱锥的表面积是26+2+6+=34+6，故选A5已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间0，+）单调递减，若实数a满足f（log3a）+f（）2f（1），则a的取值范围是（）A（0，3B（0，C，3D1，3【考点】3N：奇偶性与单调性的综合【分析】由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（x）=f
10、（x），即有f（x）=f（|x|），f（log3a）+f（log3a）2f（1），即为f（|log3a|）f（1），再由f（x）在区间0，+）上单调递减，得到|log3a|1，即有1log3a1，解出即可【解答】解：由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），由实数a满足f（log3a）+f（）2f（1），则有f（log3a）+f（log3a）2f（1），即2f（log3a）2f（1）即f（log3a）f（1），即有f（|log3a|）f（1），由于f（x）在区间0，+）上单调递减，则|log3a|1，即有1log3a1，解得a3故选C6过双曲线的左
11、焦点F作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A、B，双曲线左顶点为M，若AMB=120，则该双曲线的离心率为（）ABC3D2【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】依题意，作出图形，易求该双曲线的离心率e=2，从而得到答案【解答】解：依题意，作图如下：OAFA，AMO=60，OM=OA，AMO为等边三角形，OA=OM=a，在直角三角形OAF中，OF=c，该双曲线的离心率e=2，故选：D7在ABC中，BC=7，AC=6，cosC=若动点P满足=（1）+，（R），则点P的轨迹与直线BC，AC所围成的封闭区域的面积为（）A5B10C2D4【考点】98：向量的加法及其几何意义；HP：正弦定理【分析】
12、根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用正弦定理解出AB，得出ABC的面积，从而求出围成封闭区域的面积【解答】解：设=，=（1）+=（1）+B，D，P三点共线P点轨迹为直线BC在ABC中，BC=7，AC=6，cosC=，sinC=SABC=76=15，SBCD=SABC=5故选：A8已知f（x）=，且g（x）=f（x）+有三个零点，则实数a的取值范围为（）A（，+）B1，+）C（0， ）D（0，1【考点】52：函数零点的判定定理【分析】根据图象得出g（x）在（，0）上的零点个数，得出g（x）在0，+）上的零点个数，利用二次函数的性质得出a的范围【解答】解：令g（x）=0得f（x）=，作出f（x
13、）=ln（1x）与y=的函数图象，由图象可知f（x）与y=在（，0）上只有1个交点，g（x）=0在（，0）上只有1个零点，f（x）=在0，+）上有2个零点，即得到x2ax+=0在0，+）上有两解，解方程x2ax+=0得x1=0，x2=a，a0，即a故选A9已知数列a 满足a=，an+11=an2an （nN*），则m=+的整数部分是（）A1B2C3D4【考点】8E：数列的求和【分析】先判断数列an是单调递增数列，再根据数列的递推公式利用裂项求和即可得到m=+=3，再根据数列的单调性判断出a20182，问题得以解决【解答】解：a=，an+11=an2an （nN*），an+1an=an2+10，
14、an+1an，数列an是单调递增数列，由an+11=an2an=an（an1），=，=，m=+=（）+（）+（）=3，由a=1，则an+1an=（an1）20，a2=1+，a3=1+，a4=1+2，a20182，01，2m3，整数部分是2，故选：B10已知函数 f（x）=x+a，xa，+），其中a0，bR，记m（a，b）为 f（x）的最小值，则当m（a，b）=2时，b的取值范围为（）AbBbCbDb【考点】3H：函数的最值及其几何意义【分析】求出f（x）的导数，讨论当b0时，当b0时，判断函数f（x）的单调性，可得f（x）的最小值，解方程可得b的范围【解答】解：函数 f（x）=x+a，xa，+
15、），导数f（x）=1，当b0时，f（x）0，f（x）在xa，+）递增，可得f（a）取得最小值，且为2a+，由题意可得2a+=2，a0，b0方程有解；当b0时，由f（x）=1=0，可得x=（负的舍去），当a时，f（x）0，f（x）在a，+）递增，可得f（a）为最小值，且有2a+=2，a0，b0，方程有解；当a时，f（x）在a，）递减，在（，+）递增，可得f（）为最小值，且有a+2=2，即a=220，解得0b综上可得b的取值范围是（，）故选：D二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11已知全集为R，集合A=y|y=3x，x1，B=x|x26x+80，则AB=（0，4，
16、ARB=（0，2）【考点】1H：交、并、补集的混合运算；1D：并集及其运算【分析】求函数值域得集合A，解不等式求集合B，根据集合的运算性质计算即可【解答】解：全集为R，集合A=y|y=3x，x1=y|y3=（0，3，B=x|x26x+80=x|2x4=2，4AB=（0，4，RB=（，2）（4，+），ARB=（0，2）故答案为：（0，4、（0，2）12已知数列an的前n项和Sn=n2+2n1（nN*），则a1=2；数列an的通项公式为an=【考点】8H：数列递推式【分析】本题直接利用数列前n项和与数列通项的关系，可得到本题结论【解答】解：Sn=n2+2n1，当n=1时，a1=1+21=2，当n2
17、时，an=SnSn1=n2+2n1（n1）2+2（n1）1=2n+1，当n=1时，a1=2+1=32，an=，故答案为：2，=13已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点F（1，0），则p=2；M是抛物线上的动点，A（6，4），则|MA|+|MF|的最小值为7【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】根据焦点坐标，求出p，求出准线方程，把|MA|+|MF|转化为|MA|+|PM|，利用当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值【解答】解：抛物线C：y2=2px（p0）的焦点F（1，0），=1，p=2准线方程为 x=1，设点M到准线的距离为d=|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|
18、=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=6（1）=7，故答案为2，714若sin（+x）+cos（+x）=，则sin2x=， =【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GI：三角函数的化简求值【分析】利用诱导公式求得sinx+cosx=，两边平方，根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式即可求得sinx2x=， =，化简整理即可求得答案【解答】解：sin（+x）+cos（+x）=sinxcosx=，即sinx+cosx=，两边平方得：sin2x+2sinxcosx+cos2x=，即1+sin2x=，则sinx2x=，由=，故答案为：，15已知直线2x+
19、my8=0与圆C：（xm）2+y2=4相交于A、B两点，且ABC为等腰直角三角形，则m=2或14【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】由三角形ABC为等腰直角三角形，得到圆心C到直线的距离d=rsin45，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到a的值【解答】解：由题意得到ABC为等腰直角三角形，圆心C（m，0）到直线2x+my8=0的距离d=rsin45，即=，解得：m=2或14，故答案为2或1416若正数a，b，c满足+=+1，则的最小值是【考点】7F：基本不等式【分析】根据题意，对+=+1变形可得+=2（）+1，又由基本不等式的性质分析可得+=+6，即可得2（）+16，化简
20、可得答案【解答】解：根据题意，若+=+1，则有+=2（）+1，而+=+=（+）+（+）+（+）2+2+2=6，则有2（）+16，化简可得，即的最小值是；故答案为：17如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=，将ABD沿对角线BD向上翻折，若翻折过程中AC长度在，内变化，则点A所形成的运动轨迹的长度为【考点】J3：轨迹方程【分析】过A作BD的垂线AE，则A点轨迹是以E为圆心的圆弧，以E为原点建立坐标系，设二面角ABDA的大小为，用表示出A和C的坐标，利用距离公式计算的范围，从而确定圆弧对应圆心角的大小，进而计算出圆弧长【解答】解：过A作AEBD，垂足为E，连接CE，AE矩形ABCD中，AB=1，B
21、C=，AE=，CE=A点的轨迹为以E为圆心，以为半径的圆弧AEA为二面角ABDA的平面角以E为原点，以EB，EA，EA为坐标轴建立空间直角坐标系Exyz，设AEA=，则A（0， cos， sin），C（1，0）AC=，解得0cos，6090，A点轨迹的圆心角为30，A点轨迹的长度为=故答案为：三、解答题：（第18题）18已知函数f（x）=sin（x+）（xR，0）的图象如图，P是图象的最高点，Q是图象的最低点且|PQ|=（）求函数y=f（x）的解析式；（）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x0，2时，求函数h（x）=f（x）g（x）的最大值【考点】HK：由y
22、=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】（）由余弦定理得cosPOQ 的值，可得sinPOQ，求出P的坐标可得A的值，再由函数的周期求出的值，再把点P的坐标代入函数解析式求出，即可求得 y=f（x） 的解析式（）求出g（x） 的解析式，化简h（x）=f（x）g（x）的解析式，再根据x的范围求出h（x） 的值域，从而求得h（x） 的最大值【解答】解：（）过P作x轴的垂线PM过Q作y轴的垂线QM，则由已知得|PM|=2，|PQ|=，由勾股定理得|QM求=3，T=6，又T=，=，函数y=f（x）的解析式：f（x）=sin（x+）；（）将函数y=f（x
23、）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，g（x）=sinx函数h（x）=f（x）g（x）=sin（x+） sinx=sin2x+sinxcosx =（1cosx）+sinx=sin（x）+当x0，2时， x，当x=，即 x=1时，hmax（x）=19三棱锥ABCD中，E是BC的中点，AB=AD，BDDC（I）求证：AEBD；（II）若DB=2DC=AB=2，且二面角ABDC为60，求AD与面BCD所成角的正弦值【考点】MI：直线与平面所成的角；LO：空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（I）取BD的中点F，连EF，AF，推导出FEDC从而BDFE再求出BDAF，从而BD面AFE，
24、由此能证明BDFE（II）由BDAF，得AFE即为二面角ABDC的平面角，由此能求出AD与面BCD所成角的正弦值【解答】证明：（I）如图，取BD的中点F，连EF，AF，E为BC中点，F为BD中点，FEDC又BDDC，BDFEAB=ADBDAF又AFFE=F，AF，FE面AFE，BD面AFE，AE面AFE，AEBD，BDFE解：（II）由（I）知BDAF，AFE即为二面角ABDC的平面角 AFE=60AB=AD=2，ABD为等腰直角三角形，故，又FE=，AE2=AF2+FE22AFFEcosAFE=1+=， 即AE=，AE2+FE2=1=AF2，AEFE，又由（1）知BDAE，且BDFE=F，B
25、D面BDC，FE面BDC，AE平面BDC，ADE就是AD与面BCD所成角，在RtAED中，AE=，AD=2，AD与面BCD所成角的正弦值sin20已知函数f（x）=+lnx（a0）（1）判断函数f（x）在（0，e上的单调性（e为自然对数的底）；（2）记f（x）为f（x）的导函数，若函数g（x）=x3x2+x2f（x）在区间（，3）上存在极值，求实数a的取值范围【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值【分析】（1）先求导，再根据a与e的关系，得到函数的单调区间，（2）先求出g（x），再求导，函数g（x）有极值等价于关于x的方程3x2ax+1=0在区间（，3）上有异号实
26、根，继而求得a的范围【解答】解：（1）f（x）=+lnx（a0）f（x）=，若0ae，当x（0，a）时，f（x）0，函数f（x）在（0，a上单调递减，当x（a，e）时，f（x）0，函数f（x）在（a，e上单调递增，若ae，f（x）0，函数f（x）在（0，e上单调递减（2）g（x）=x3x2+x2f（x）=x3x2+xag（x）=3x2ax+1函数g（x）=x3x2+x2f（x）在区间（，3）上存在极值，等价于关于x的方程3x2ax+1=0在区间（，3）上有异号实根，a=，又a=3x+在（，）上单调递增，在（，3）上单调递增，2a，当a=2时，g（x）=（1）20不存在极值，实数a的取值范围为（
27、2，）21已知椭圆上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且，点M的轨迹为C（1）求曲线C的方程；（2）过点D（0，2）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点且平行于x轴的直线上一动点，满足（O为原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程【分析】（1）设M（x，y）是所求曲线上的任意一点，然后得出的坐标代入方程，化简即可求出轨迹C的方程（2）设出直线l的方程，以及与椭圆的交点坐标，将直线方程代入已知C的方程，联立并化简，根据根的判别式计算【解答】解：（1
28、）设M（x，y）是曲线C上任一点，因为PMx轴，所以点P的坐标为（x，3y） 点P在椭圆上，所以，因此曲线C的方程是（2）当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件所以设直线l的方程为y=kx2与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），N点所在直线方程为，由，因为，所以四边形OANB为平行四边形，假设存在矩形OANB，则，即x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x22k（x1+x2）+4=（1+k2）x1x22k（x1+x2）+4=0，所以，设N（x0，y0），由，得，即N点在直线，所以存在四边形OANB为矩形，直线l的方程为y=2x222已知数列an满足a1=3，an+1=an2+2an，n
29、N*，设bn=log2（an+1）（I）求an的通项公式；（II）求证：1+n（n2）；（III）若=bn，求证：23【考点】8K：数列与不等式的综合；8H：数列递推式【分析】（I）由题意可知：，两边取对数，即可求得bn+1=2bn，则bn是以2为公比的等比数列，利用等比数列通项公式即可求得an，代入即可求得an；（II）利用数学归纳法即可求证1+n（n2）；（III）证明：由得cn=n，利用二项式定理展开， ，当n=1时显然成立所以得证【解答】解：（I）由，则，由a1=3，则an0，两边取对数得到，即bn+1=2bn又b1=log2（a1+1）=20，bn是以2为公比的等比数列即又bn=log2（an+1），（2）用数学归纳法证明：1o当n=2时，左边为=右边，此时不等式成立； 2o假设当n=k2时，不等式成立，则当n=k+1时，左边=k+1=右边当n=k+1时，不等式成立综上可得：对一切nN*，n2，命题成立（3）证明：由得cn=n，首先，其次，当n=1时显然成立所以得证2017年7月1日