1、第二节 任意角的三角函数学点：探究与梳理自主探究:探究问题1：在初中学过一个定理：如图，在中，过C作CDAB于D，则有CD2=ADDB你能用此定理证明吗？探究问题2：设角的终边与圆心在原点、半径为的圆交于点，则的三角函数与、之间有何关系？此时点P的坐标能否用与的三角函数表示？探究问题3：是否存在一个实数，使方程的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦某同学给出了如下的解答，请你分析此解答的正误解：设两个锐角为、，则，是方程的两个根，由韦达定理，得 ，到22，得，解之得，当时，原方程变为，原方程无解，故舍去，就是所求的值探究问题4：你能用所学的知识求出满足不等式的角的集合吗？试试看重点把握1对三
2、角函数定义的理解三角函数的定义是用角的终边上一点P的坐标、及其比值定义的，这个比值是一个实数，这个实数的大小由角的终边的位置所决定，与点P在终边上的位置无关 2对诱导公式的理解诱导公式一可写统一形式：（）此组诱导公式的实质是终边相同角的同名三角函数值相等，它的作用是将任意角的三角函数求值问题转化为（或）间的角的三角函数求值问题来解决3三角函数线正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，这三种线段都是与单位圆有关的特定的有向线段，其数值可表示三角函数值单位圆中的三角函数线是数形结合的有效工具，利用它能直观地研究函数的相关性质，如定义域、值域、单调性、周期性等4同角三角函数的基本
3、关系式基本关系式对任意恒成立，而仅在，（）时成立它们统称为三角恒等式，即它们在各自定义域上，当取使关系式有意义的任意值时，关系式两边的值都相等根据问题的需要，应注意它们的如下变形形式：，等在具体应用时，要注意公式的逆用、变用，从而熟练掌握公式 题例：解析与点拨例1 已知角的终边上一点P的坐标是(0)，且，求sin的值；已知角的终边上的点P与（）关于轴对称，角的终边上的点Q与A关于直线对称，求的值解析：设点P到原点的距离为，则，又，即3由0，3，249，25，.当时，；当时， .由题意可知，点P的坐标为，点Q的坐标为，它们到原点的距离都是，由三角函数的定义，得，=点拨：用定义求三角函数值，解决问
4、题的关键应找到终边的所在象限当角给定后，不论点P在的终边上的什么位置，其三角函数值都是确定的当角的终边上点P（不在单位圆上）的坐标确定后，通常用式子，求值较为方便（其中表示点P到原点的距离）但应记住：此时点P的坐标应为例2 x取什么值时，有意义?解析：由题意得，解得，即（），所以，当时，有意义点拨：要使此式有意义，除考虑分母不为零外，还应考虑本身的定义域，这是最容易出错的地方，应特别注意例3 已知，则下列命题成立的是 （ ）A若、是第一象限角，则B若、是第二象限角，则C若、是第三象限角，则D若、是第四象限角，则解析：设，分别为单位圆与、终边的交点，则，若、是第一象限角，由可得，此时，即，A不正
5、确；若、是第二象限角，如图，则有，观察图形可知AT1AT2，即，故B不正确；同理，可知C不正确；故选D点拨：此解法利用数形结合的思想，将待解决的问题转化为三角函数线来比较三角函数值的大小，直观形象，一目了然例4 已知，求sin的值；已知，且，求的值；已知为某三角形的一内角，且，求，的值解析：，是第二或第三象限角当是第二象限角时，；当是第三象限时，且，角的终边不在坐标轴上， 当角的终边在第一、四象限时，；当角的终边在第二、三象限时，由，得，即，又为某三角形的一内角， ，又， 由与可解得，点拨：此例属于“知式求值”问题，其基本解法是：先将条件用正弦或余弦表示出来，再由平方关系来解但在开方时应注意
6、“”的取舍，有时需要分类讨论此类问题的主要题型有：已知某一个三角函数值并知道角的范围此时由角的范围就可确定三角函数值的符号，一般不需要讨论；已知某一个三角函数值此时先由已知的三角函数值确定角的终边所在的象限，再进行分类讨论，然后求值；已知某一个三角函数值，但此值是用字母表示的，此时既要对角所在的象限进行讨论，更主要的是对字母的正负性进行讨论，并注意角的终边有可能落在坐标轴上例5 化简：；已知tan =3，求下列各式的值：；解析：原式= (2)原式=；原式=；原式=；点拨：三角函数式的化简实际上是一种不指定答案的恒等变形，对化简的一般要求是：项数要最少、次数要最低、函数种类要最少、分母不含根式，
7、能求值的要求值；三角函数式的求值问题实际上也是一个化简问题，但比化简要求更高，即化简的结果必为常数，而不含三角函数式化简与求值的常用方法：直接利用公式法；间接利用公式法，即将公式“逆用”、“变用”如可变为或，等；注意“1”的灵活运用如，等数字“1”的代换，表面上看增加了运算，但同时它又可以将原表达式整体结构发生改变，给解决问题带来方面，故解题时，应给于足够的认识；注意常用的乘法公式及其变形的技巧例6 求证：解析：为证题方便，不妨令，则，即，左边=右边，原等式成立点拨：证明三角恒等式的常用方法与证明代数恒等式的常用方法基本相同，即从右证到左；从左证到右；证左右归一选择哪一种方法的基本原则是化繁为
8、简另外，还有换元法、变更论证法等如要证，可证，或证等 学业水平测试 基础巩固1有下列命题：终边相同角的同名三角函数值相等；终边不同的角的同名三角函数值不相等；若，则是第一、二象限角；若是第二象限角，且是其终边上一点，则其中正确的命题的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、42设为第二象限角，其终边上一点为，且，则的值为（ ） A、 B、 C、 D、3已知（），且，则角在第（ ）象限 A、一、二 B、二、四 C、二、三 D、一、四4当（）时，化简的结果是（ ） A、 B、 C、 D、5若点是角终边上一点，且，则= 6已知，则= 能力提升7设为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是（ ） A、
9、 B、 C、 D、8角的终边上一点，则角等于（ ） A、 B、 C、（） D、（）9在上满足的角的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、10若，且，则的值为 11已知，且，则的取值范围是 12已知，则 13已知，则的值为（ ） A、 B、 C、 D、14若为第三象限的角，且，则的值是（ ） A、 B、 C、 D、15若角的终边落在直线上，则的值等于（ ） A、2 B、2 C、1 D、016若角的终边与函数的图象重合，求、的值17化简：；拓展创新18已知，求的值19化简下列各式：；20已知关于的方程的两根为和，求：的值；的值；方程的两根及此时的值自主发展1使成立的的一个变化区间是（ ） A B
10、 C D2已知点在第一象限，则在内的取值范围是（ ） A、 B、C、 D、3当时，证明：第二节 任意角的三角函数探究问题：1设AB的长为2个单位长，取AB的中点为O，作单位圆如图，连CO，设，则， 由上定理可知，是和的比例中项，由此可得2由三角函数的定义，在单位圆中，利用相似三角形可得，此时点P的坐标为3错误在于对没有进行具体检验按题中要求，实数应满足、为直角三角形的两锐角，且，是方程的两个根若把代入，即得到，说明与异号，而实际上与都为正值，从而产生矛盾，这说明符合题中条件的实数不存在产生错误的原因在于将“两根是一个直角三角形的两个锐角的正弦”转换为，时，扩大了角、的取值范围，也就是削弱了、都
11、是锐角的条件4先作单位圆，分别找出和时的正弦线，再找出和时角的范围，最后求交集从单位圆中可以得出： （），（），两者求交集，得角的集合为：学业水平测试：1A；2A；3C；4D；5；6；7A；8D；9B；108；11或；129；13A；14C；15D；16由于角的终边与函数的图象重合，所以角是第三、四象限角若是第三象限角，则，；若是第四象限角，则，17；218，由得，（舍去）19原式=；化简，得原式；化简，得原式=20=；或自主发展：角的终边不可能落在直线的上方，只有A符合由知角的终边落在直线的上方，由知角的终边在第一、三象限，故选项B如图，连结AP，设OAP的面积为，扇形OAP的面积为，OAT的面积为，由，得，又OA=1，即