1、3.1.2函数的单调性第1课时单调性的定义与证明学 习 目 标核 心 素 养1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图像理解和研究函数的单调性(重点)2会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间(重点、难点)3理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值(重点、难点)1.借助单调性判断与证明，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象素养2利用求单调区间、最值、培养数学运算素养3利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究他经过测试，得到了以下一些数据：以上数据表
2、明，记忆量y是时间间隔t的函数艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图问题(1)当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？1增函数与减函数的定义条件一般地，设函数yf(x)的定义域为D，且ID：如果对任意x1，x2I，当x2x1时都有f(x2)f(x1)都有f(x2)f(x1)结论yf(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)yf(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)图示思考1：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？提示定义
3、中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x2x1；(3)属于同一个单调区间拓展(1)自变量的大小与函数值的大小关系：单调递增：x1x2f(x1)f(x2)，x1x2f(x1)f(x2).单调递减：x1x2f(x1)f(x2)，x1x2f(x1)f(x2).即可以利用单调递增、单调递减的定义，实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化(2)若f(x)在区间I上为增(减)函数，则函数f(x)的图像在区间I上的对应部分自左向右逐渐上升(下降).2函数的单调性与单调区间如果函数yf(x)在I上单调递
4、增或单调递减，那么就说函数yf(x)在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间).思考2：函数y在定义域上是减函数吗？提示不是y在(，0)上递减，在(0，)上也递减，但不能说y在(，0)(0，)上递减3函数的最值最大值最小值条件一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0D；如果对任意xD都有f(x)f(x0)都有f(x)f(x0)结论称f(x)的最大值为f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点称f(x)的最小值为f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点统称最大值和最小值统称为最
5、值最大值点和最小值点统称为最值点1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若函数yf(x)在定义域上有f(1)f(2)，则函数yf(x)是增函数()(2)若函数yf(x)在区间1，3上是减函数，则函数yf(x)的单调递减区间是1，3.()(3)任何函数都有最大(小)值()(4)函数f(x)在a，b上的最值一定是f(a)(或f(b).()答案(1)(2)(3)(4)2下列函数中，在区间(0，)上是减函数的是()AyByxCyx2 Dy1xD函数y1x在区间(0，)上是减函数，其余函数在(0，)上均为增函数，故选D.3函数yf(x)在2，2上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A
6、1，0 B0，2C1，2 D，2C由题图可知，f(x)的最大值为f(1)2，f(x)的最小值为f(2)1.故选C.4函数f(x)x22x3的单调减区间是_(，1因为f(x)x22x3是图像开口向上的二次函数，其对称轴为x1，所以函数f(x)的单调减区间是(，1.定义法证明(判断)函数的单调性【例1】证明：函数f(x)x在(0，1)上是减函数思路点拨证明设x1，x2是区间(0，1)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2)，0x2x11，x1x20，0x1x21，则1x1x2x21，则y1y2.x1x21，x1x20，x110，x210，0，即y1y
7、20，y1y2，y在(1，)上是增函数求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数(1)f(x)；(2)f(x)(3)f(x)x22|x|3.解(1)函数f(x)的单调区间为(，0)，(0，)，其在(，0)，(0，)上都是增函数(2)当x1时，f(x)是增函数，当xf(b)，则a，b满足什么关系如果函数f(x)是减函数呢？提示若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)f(b)时，ab；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)f(b)时，af(5x6)，则实数x的取值范围为_思路点拨(1)(2)(1)(，4(2)(，1)(1)f(x
8、)x22(a1)x3的图像开口向下，要使f(x)在(，3上是增函数，只需(a1)3，即a4.实数a的取值范围为(，4.(2)f(x)在(，)上是增函数，且f(2x3)f(5x6)，2x35x6，即x.x的取值范围为.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围(2)若一个函数在区间a，b上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的求函数的最值(值域)【例4】已知函数f(x).(1)判断函数在区间(1，)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间2，4上的最大值和最小值解(1)f(x)在(1，)上为增函数，证明如下：任取1x1x2，则f(x1)f(x2)，因为1x10，x210，x1x20，所以f(x1)f(x2)0f(x1)x21，则f(x1)f(x2).因为x1x21，所以x2x10，x210，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在(1，)上是减函数