1、第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合【知识梳理】1.集合的相关概念(1)集合元素的三个特性:_、_、_.(2)元素与集合的两种关系:属于,记为_,不属于,记 为_.(3)集合的三种表示方法:_、_、_.确定性 无序性 互异性 列举法 描述法 图示法(4)五个特定的集合:集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 _ _ _ _ _ N N*或N+Z Q R 2.集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 相 等 集合A与集合B中的 所有元素_ _且_A=B 子 集 A中任意一个元素均 为B中的元素 _ 相同 AB BA AB或BA 表示 关系 文字语言 符号语言 真子
2、集 A中任意一个元素均 为B中的元素,且B中 至少有一个元素不是 A中的元素 _ 空 集 空集是_的 子集,是_ 的真子集 A B(B)A B或B A 任何集合 任何非空集合 3.集合的基本运算 并集交集补集图形 表示符号 表示AB=_ _AB=_ _ =_ _UAx|xA或 xB x|xA 且xB x|xU 且xA【特别提醒】1.集合的分类:集合按元素个数的多少分为有限集、无限集,有限集常用列举法表示,无限集常用描述法表示.2.集合子集的个数:若集合A中有n个元素,则其子集的个数为2n,真子集的个数为2n-1.3.AB=ABA;AB=AAB.【小题快练】链接教材 练一练 1.(必修1P12习
3、题1.1A组T5(2)改编)若集合A=xN|x ,则下面结论中正确的是()A.aA B.aA C.aA D.aA【解析】选D.因为 不是自然数,所以aA.10a2 2,2 22.(必修1P12习题1.1A组T6改编)设集合A=x|x2-160,B=x|3x-78-2x,则AB=()A.x|-4x4 B.x|-4x4 C.x|3x4 D.x|3x4【解析】选C.因为A=x|-4x4,B=x|x3,所以AB=x|3x4.3.(必修1P12习题1.1B组T1改编)已知集合A=0,1,2,集合B满足AB=0,1,2,则集合B有 个.【解析】由题意知BA,则集合B有8个.答案:8 感悟考题 试一试 4.
4、(2015福建高考)若集合M=x|-2x0,且1A,则实数a的取值范围是()A.(-,0 B.(-,1 C.1,+)D.0,+)【解析】选B.若1A,则1-2+a0,解得a1.因为1A,所以a1.故选B.3.已知集合A=x2+x,4x,若0A,则x=.【解析】由题意,得 或 解得x=-1.答案:-1 2xx0,4x024x0,xx0,考向二 集合间的关系【典例2】(1)已知集合A=x|x2-2x-30,xN*,则集合A的真子集的个数为()A.7 B.8 C.15 D.16(2)已知集合A=,B=x2,x+y,0,若A=B,则x+y=.(3)已知集合A=x|-2x7,B=x|m+1x2m-1,若
5、BA,则实数m的取值范围是 .y 12x1x，【解题导引】(1)先解不等式,确定集合A中元素的个数,再求解.(2)根据两个集合中元素的特点分类讨论求解.(3)分B=与B两种情况讨论求解.【规范解答】(1)选A.A=x|-1x3,xN*=1,2,3,其真子集有:,1,2,3,1,2,1,3,2,3,共7个.或因为集合A中有3个元素,所以其真子集的个数为23-1=7(个).(2)由题意,得A中必有零,又x0,所以 =0,即y=1.此时A=2x,0,1,B=x2,x+1,0,因为A=B,所以 y1x222xx1,2xx,x11,x1,或即x=0或x=1,由集合中元素的互异性知x=0不满足题意,故x=
6、1,所以x+y=2.答案:2(3)当B=时,满足BA,此时有m+12m-1,即m2,当B时,要使BA,则有 解得2m4.综上可得m4.答案:(-,4 m122m 17m2 ，【母题变式】1.本例(3)中,是否存在实数m,使AB?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】由AB,得 不等式组无解,故不存在实数m,使AB.m 12,m3,2m 17,m4,即2.本例(3)中,若B=x|m+1x1-2m,A B,求实数 m的取值范围.【解析】因为A=x|-2x7,A B,所以 解得m-3,又当m=-3时,B=x|-2x7=A,不满足题意,所以m-3.故实数m的取值范围为(-,-3).
7、m12,12m7,m112m,【规律方法】1.确定集合子集个数的思路(1)当集合中元素的个数不多于3个时,可通过逐一列出来确定.(2)当集合中元素的个数较多时,设其个数为n,可通过公式2n,2n-1求出其子集的个数和真子集的个数.2.集合相等问题的求解思路 对于集合相等,首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等,分几种情况列出方程(组)进行求解,要注意检验是否满足互异性.3.根据集合的关系求参数的关键点及注意点(1)关键点:将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系.(2)注意点:注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.注意区间端点的取舍.【变式训练】(20
8、16菏泽模拟)已知集合A=x|x2-ax+2=0,B=1,2,若AB,则实数a的取值范围是()A.3 B.-2 ,2 ,3 C.a|-2 a2 或a=3 D.a|a-2 或a=3 22222【解析】选C.若A是空集,则=(-a)2-80,即-2 a2 .若A=1,则 无解.若A=2,则 无解.222a80,1 a20 ，2a80,42a20,若A=1,2,则 解得a=3.综上所述,当AB时,a的取值范围为a|-2 a2 或a=3.12a,1 22,22【加固训练】1.(2016保定模拟)已知集合A=x|ax=1,B=x|x2-1=0,若AB,则a的取值构成的集合是()A.-1 B.1 C.-1
9、,1 D.-1,0,1【解析】选D.由题意,得B=-1,1,因为AB,所以当A=时,a=0;当A=-1时,a=-1;当A=1时,a=1.又A中至多有一个元素,所以a的取值构成的集合是-1,0,1.2.已知集合A=x|x2-3x+2=0,xR,B=x|0 x5,xN,则满足条件ACB的集合C的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选D.A=x|x2-3x+2=0,xR=1,2,B=x|0 x5,xN=1,2,3,4,由ACB,方法一:C中含有除1,2之外的3,4两元素中的0个、1个、2个,即C的个数可以看作是集合3,4的子集的个数,有22=4个.方法二:C可能为1,2,1,2,3,1,
10、2,4,1,2,3,4共4个.3.(2016郑州模拟)设A=1,4,2x,B=1,x2,若BA,则x=.【解析】由BA,得x2=4或x2=2x.当x2=4时,x=2,但x=2时,2x=4,这与集合元素的互异性相矛盾;当x2=2x时,x=0或x=2,但x=2时,2x=4,这与集合元素的互异性相矛盾.综上所述,x=-2或x=0.答案:0或-2 考向三 集合的运算【考情快递】命题方向命题视角求交集常与方程、不等式、函数结合命题,属容易题求并集常与方程、不等式、函数结合命题,属容易题交、并、补的混合运算对补集的考查常以有限集的形式命题,常与交集(或并集)综合考查,属容易题【考题例析】命题方向1:求交集
11、【典例3】(2015全国卷)已知集合A=x|x=3n+2,nN,B=6,8,10,12,14,则集合AB中的元素个数 为()A.5 B.4 C.3 D.2【解题导引】根据集合A中元素的特点求解.【规范解答】选D.集合A中的元素是由被3除余2的自然数构成的,由此可知B中的元素只有8和14满足,故选D.命题方向2:求并集【典例4】(2015陕西高考)设集合M=x|x2=x,N=x|lgx0,则MN=()A.0,1 B.(0,1 C.0,1)D.(-,1【解题导引】根据题意先求出集合M和集合N,再求MN即可.【规范解答】选A.集合M=0,1,集合N=x|0 x1,MN=x|0 x1,所以MN=0,1
12、.【典例5】(2015枣庄模拟)设全集U=1,2,3,4,5,6,A=1,2,B=2,3,4,则A(B)=.【解题导引】应用集合的运算法则进行计算.U命题方向3:交、并、补的混合运算 【规范解答】因为 =1,5,6，所以A()=1.答案：1 UBUB【技法感悟】1.集合交集、并集的求解方法:先化简集合,再由交集、并集的定义求解.2.集合交、并、补混合运算的求解方法:根据交、并、补的定义求解,有括号时,要先计算括号里面的,再按顺序求解.【题组通关】1.(2015广东高考)若集合M=-1,1,N=-2,1,0,则MN=()A.0,-1 B.0 C.1 D.1,1【解析】选C.MN=1.2.(201
13、5山东高考)已知集合A=x|2x4,B=x|(x-1)(x-3)0,则AB=()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)【解析】选C.A=x|2x4,B=x|1x3,故AB=x|2x3.3.(2015天津高考)已知全集U=1,2,3,4,5,6,集合 A=2,3,5,集合B=1,3,4,6,则集合A(B)=()A.3 B.2,5 C.1,4,6 D.2,3,5 U【解析】选B.A=2,3,5,B=2,5,则A(B)=2,5.UU4.(2015四川高考)设集合A=x|(x+1)(x-2)0,集合B=x|1x3,则AB=()A.x|-1x3 B.x|-1x1 C.x|1x2 D.x|2x3【解析】选A.由(x+1)(x-2)0,得-1x2,即A=x|-1x2,所以AB=x|-1x3.