1、第2课时函数的平均变化率必备知识探新知基础知识1直线的斜率(1)直线斜率的定义平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1x2时，称为直线的斜率，记作；_当x1x2时，称直线的斜率不存在_(2)直线的斜率与函数单调性的关系_函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于0._函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于0._2函数的平均变化率及增减性(1)当x1x2时，称_为函数yf(x)在区间x1，x2(x1x2时)或x2，x1(x1x2时)上的平均变化率(2)若I是函数yf(x)的定义域的子集，对任意x1，x2I且x1x2，记y1f(x1)，y2f(x
2、2)，则：yf(x)在I上是增函数的充要条件是_0在I上恒成立；_yf(x)在I上是减函数的充要条件是_0在I上恒成立_思考1：函数图像上任意两点连线的斜率大于0时，函数图像从左向右的变换趋势是什么？提示：函数图像从左向右逐渐上升3函数的最值前提函数f(x)的定义域为D，且x0D，对任意xD条件都有f(x)f(x0)都有f(x)f(x0)结论最大值为f(x0)，_x0为最大值点_最小值为f(x0)，_x0为最小值点_最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点思考2：最值点是点吗？提示：不是，是实数值，是函数取得最值时的自变量x的值基础自测1如果过点P(2，m)和Q(m,4)的直线
3、的斜率等于1，那么m的值为(A)A1B4C1或3D1或4解析：由题意1，解得m1.2已知函数f(x)2x24的图像上两点A，B，且xA1，xB1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为(C)A4B4xC4.2D4.02解析：4.23函数yf(x)在2,2上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是_1_，_2_.4函数f(x)，x2,4，则f(x)的最大值为_1_，最小值为_.解析：f(x)在2,4上单调递减，当x2时f(x)max1，当x4时，f(x)min.关键能力攻重难类型函数的平均变化率与单调性、最值典例剖析_典例1已知函数f(x).(1)判断函数f(x)在区间0，)上的单调
4、性，并用平均变化率证明其结论(2)求函数f(x)在区间2,9上的最大值与最小值思路探究：(1)利用函数的平均变化率与0的关系判断函数的单调性；(2)利用单调性求最值解析：(1)f(x)在区间0，)上是增函数证明如下：任取x1，x20，)，且x1x2，f(x2)f(x1).所以.因为x1，x20，)，所以(x11)(x21)0，所以0，所以函数f(x)在区间0，)上是增函数(2)由(1)知函数f(x)在区间2,9上是增函数，故函数f(x)在区间2,9上的最大值为f(9)，最小值为f(2).归纳提升：利用函数的平均变化率证明单调性的步骤(1)任取x1，x2D，且x1x2.(2)计算ff(x2)f(
5、x1)，.(3)根据x1，x2的范围判断的符号，确定函数的单调性对点训练_1已知函数f(x)，x3,7(1)判断函数f(x)的单调性，并用平均变化率加以证明；(2)求函数f(x)的最大值和最小值解析：(1)函数f(x)在区间3,7内单调递减，证明如下：在3,7上任意取两个数x1和x2，且x1x2，因为f(x1)，f(x2)，所以f(x2)f(x1).所以，因为x1，x23,7，所以x120，x220，所以0，函数f(x)为3,7上的减函数(2)由单调函数的定义可得f(x)maxf(3)4，f(x)minf(7).类型利用函数的图像求最值典例剖析_典例2(1)已知函数f(x)在区间2,5上的图像
6、如图所示，则此函数的最小值点，最大值分别为(D)A3,5B3，f(5)C2,5D2，f(5)(2)已知函数f(x)如图所示，在给定的直角坐标系内画出f(x)的图像；由图像指出函数f(x)的最值点，求出最值思路探究：分段函数求最值，先作出各段内函数图像，然后由图像求出函数的最值解析：(1)由函数f(x)的图像可知最小值点为2，最大值为f(5)(2)由题意，当x1,2时，f(x)x23，为二次函数的一部分；当x(2,5时，f(x)x3，为一次函数的一部分；所以，函数f(x)的图像如图所示：由图像可知，最大值点为0，最大值3；最小值点为2，最小值为1.归纳提升：图像法求最值、最值点的步骤对点训练_2
7、函数f(x)的图像如图，则其最大值、最小值点分别为(D)Af，Bf(0)，fCf，f(0)Df(0)，解析：观察函数图像，f(x)最大值、最小值点分别为f(0)，.类型常见的函数最值问题1不含参数的最值问题典例剖析_典例3求f(x)x的最小值思路探究：求函数f(x)x的最小值，可先利用单调函数的定义判断其在定义域上的单调性，再利用单调性求出最值解析：f(x)x的定义域为1，)，任取x1、x21，)，且x10，则yf(x2)f(x1)(x2)(x1)(x2x1)()(x2x1)(x2x1).xx2x10,10，f(x2)f(x1)0.f(x)在1，)上为增函数，f(x)minf(1)1.归纳提升
8、：研究函数最值时，先求定义域，再判断其单调性，最后根据单调性求其最值2含参数的最值问题典例剖析_典例4已知函数f(x)x22ax2，x1,1，求函数f(x)的最小值思路探究：抛物线开口方向确定，对称轴不确定，需根据对称轴的不同情况分类讨论可画出二次函数相关部分的简图，用数形结合法解决问题解析：函数f(x)x22ax2(xa)22a2图像的开口向上，且对称轴为直线xa.当a1时，函数图像如图(1)所示，函数f(x)在区间1,1上是减函数，最小值为f(1)32a；当1a1时，函数图像如图(2)所示，函数f(x)在区间1,1上是先减后增，最小值为f(a)2a2；当a1时，函数图像如图(3)所示，函数
9、f(x)在区间1,1上是增函数，最小值为f(1)32a.综上可得，f(x)min归纳提升：求二次函数最值的常见类型及解法求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间上，在区间左侧，在区间右侧)来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，还需要进行分类讨论对点训练_3设a为实数，函数f(x)x2|xa|1，xR.(1)当a0时，求f(x)在区间0,2上的最大值和最小值(2)当0a时，求函数f(x)的
10、最小值解析：(1)当a0，x0,2时函数f(x)x2x1，因为f(x)的图像抛物线开口向上，对称轴为x，所以，当x时f(x)值最小，最小值为，当x2时，f(x)值最大，最大值为3.(2)f(x)当xa时，f(x)x2xa12a.因为0a，所以a，则f(x)在a，)上的最小值为fa；当xa时，函数f(x)x2xa12a.因为0a，所以a，则f(x)在(，a上的最小值为fa.综上，当xa时，f(x)的最小值为a；当x0，ycf(x)d在I上是递增(减)的；若c0，则函数yf(x)与y具有相同的单调性(6)复合函数yfg(x)的单调区间求解步骤：将复合函数分解成基本初等函数yf(u)，ug(x)；分
11、别确定各个函数的定义域；分别确定分解成的两个函数的单调区间；若两个函数在对应区间上的单调性相同，则yfg(x)为增函数；若不同，则yfg(x)为减函数该法可简记为“同增异减”值得注意的是：在解选择题、填空题时我们可直接运用此法，但在解答题中不能利用它作为论证的依据，必须利用定义证明典例剖析_典例6求y的单调区间，并指明在该区间上的单调性思路探究：这是一个复合函数，应先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断法则确定其单调性解析：要使函数y有意义，需满足x22x30，即(x1)(x3)0.或，x1，或x3.函数y的定义域为x|x1，或x3令ux22x3，则y，易知u(x1)24，其中开口向上
12、，对称轴为x1.当x1时，u是x的增函数，y是u的增函数，从而y是x的增函数；当x3时，u是x的减函数，y是u的增函数，从而y是x的减函数y的递增区间是1，)，递减区间是(，3课堂检测固双基1已知函数f(x)在2,2上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(C)Af(2)，0B0,2Cf(2)，2Df(2)，2解析：由函数最值的几何意义知，当x2时，有最小值f(2)；当x1时，有最大值2.2已知函数f(x)x22xa(x0,2)有最小值2，则f(x)的最大值为(B)A4B6C1D2解析：f(x)x22xa(x0,2)为增函数，所以最小值为f(0)a2，最大值f(2)8a6.3函数f(x
13、)在1，b(b1)上的最小值是，则b_4_.解析：因为f(x)在1，b上是减函数，所以f(x)在1，b上的最小值为f(b)，所以b4.4函数f(x)在区间2,4上的最大值为_，最小值为_.解析：f(x)1，函数f(x)在2,4上是增函数，f(x)minf(2)，f(x)maxf(4).5已知f(x)，x2,6(1)证明：f(x)是定义域上的减函数；(2)求函数f(x)的最大值和最小值解析：(1)设任意实数x12,6，x22,6，且x10.yf(x2)f(x1)，x1x2x0，x110，0，y0.故函数f(x)是定义域上的减函数(2)由(1)知f(x)是定义域上的减函数，f(x)maxf(2)1, f(x)minf(6).