1、陕西省延安市第一中学2020届高三数学上学期第二次质量检测试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先化简集合A,B,再判断每一个选项得解.【详解】，由此可知，故选A【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意利用所给的数所在的区间和指数函数的单调性比较大小即可.【详解】由题意可得：，指数函数单调递减，故，综上可得：.故选
2、C.【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确3.“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】因为，所以又因，所以，因此“”是“”的充分不必要条件故选A考点：充分性、必要性问题4.函数的零点所在区间为（ ）A. B. C. D. 【答
3、案】D【解析】【分析】分别验证区间端点值符号，结合零点存在定理可得到结果.【详解】，由零点存在定理可知：零点所在区间为.故选：.【点睛】本题考查利用零点存在定理确定零点所在区间的问题，属于基础题.5.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式可得，结合，可求出的值.【详解】因为，所以，又因为，所以.【点睛】本题考查了二倍角公式的应用，考查了计算能力，属于基础题.6.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（ ）A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】根据导数的几何意义，求得直线的斜率，即为倾斜角的正切值；结合同角三角函数关系式中齐次式的化简方法，即可得到
4、最后的值【详解】曲线，点的坐标为 所以 ，在点处切线斜率 ，即 所以分子分母同时除以 可得所以选B【点睛】本题考查了导数的几何意义，三角函数式的化简求值，属于中档题7.下列选项中说法正确的是（ ）A. 函数的单调减区间为；B. 命题“”的否定是“”；C. 在三角形中，“若，则”的逆否命题是真命题D. 幂函数过点，则.【答案】CD【解析】【分析】对选项逐一判断，可得答案. A项，先求函数定义域，再根据复合函数单调性的判断依据“同增异减”，可求函数的单调递减区间. B项，全称量词命题的否定是存在量词命题，注意“一改量词，二改结论”.C项，原命题与其逆否命题是等价命题，故可利用正弦定理判断原命题的真
5、假. D项，由幂函数的定义可得的值，把点代入解析式，可得的值，即求.【详解】A项，令，可得或，函数的定义域为.又函数在上单调递减，且函数是增函数，函数的单调减区间为.故A错误.B项，全称量词命题的否定是存在量词命题，命题“”的否定是“”. 故B错误.C项，三角形中，由正弦定理可得为三角形外接圆的半径.命题：在三角形中，“若，则”是真命题.原命题与其逆否命题是等价命题，故其逆否命题是真命题.故C正确.D项，是幂函数，.又的图象过点，.故D正确.故选：CD.【点睛】本题考查复合函数的单调性、含有一个量词的命题的否定、命题的真假及幂函数的有关知识，综合性较强，属于中档题.8.若函数在区间(2，)上为
6、增函数，则实数的取值范围为()A. (，2)B. (，2C. D. 【答案】D【解析】【详解】，当时，恒成立，即恒成立，恒成立，当时，即在上单调递增，.故选：D.9.函数的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：为奇函数且时，函数无意义，可排除，又在是减函数，故选.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象.10.定义在上的函数满足及，且在上有则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知可得是周期为的奇函数，将转化为，即可求出结论.【详解】由得，且，所以是周期为的奇函数，当时，.故选：A【点睛】本题考查函数的性质，利用函数的周期性
7、和奇偶性求函数值，属于基础题.11.已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（ ）A. 关于点对称B. 关于点对称C 关于直线对称D. 关于直线对称【答案】B【解析】分析】先根据相邻两条对称轴距离可得周期为，从而，再根据平移变换得到新图像对应的解析式，根据其对称性可计算，从而可确定图像的对称轴和对称中心，故可得正确答案【详解】因为相邻两条对称轴的距离为，故，从而设将的图像向左平移单位后，所得图像对应的解析式为，则，因的图像关于轴对称，故，所以，所以，因，所以又，令，故对称轴为直线，所以C，D错误；令，故，所以对称中心为，所以A错
8、误，D正确综上，选D【点睛】一般地，我们研究的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的单调区间时，我们先确定的单调性，再函数的单调性确定外函数的单调区间后求出的范围即可，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心.12.已知是奇函数的导函数，当时，则不等式的解集为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，可得为奇函数且在上单调递增，根据奇偶性可得在上单调递增，原不等式化为，从而可得结果.【详解】令，当时，在上单调递增，为奇函数，也是奇函数，且在上单调递增，由化为得，的解集为，故选B.【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函
9、数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.内角，的对边分别为，若，则_【答案】【解析】，即，14.已知.若，那么实数的值为_.【答案】【解析】【分析】先求f（
10、1）=4，再求f（4）=14，得a的方程求解即可【详解】由题f（1）=4，则f（4）=16+,解a=故答案为【点睛】本题考查分段函数的函数值，考查计算求解能力，是基础题15.如图，矩形中曲线的方程分别为，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为_.【答案】【解析】【分析】运用定积分可以求出阴影部分的面积，再利用几何概型公式求出在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率.【详解】解:阴影部分的面积为，故所求概率为【点睛】本题考查了几何概型，正确运用定积分求阴影部分的面积是解题的关键.16.已知函数f（x）=x（xc）2在x=2处有极小值，则实数c的值为_【答案】2【解析】【分析】求出，由
11、函数f（x）=x（xc）2在x=2处有极小值列方程，解得或，验证当时，不满足 函数f（x）=x（x6）2在x=2处有极小值，问题得解【详解】由题可得：因为函数f（x）=x（xc）2在x=2处有极小值，所以，解得：或，当时，恒成立，不满足 函数f（x）=x（x6）2在x=2处有极小值，故舍去所以.【点睛】本题主要考查了极值的概念及方程思想，考查计算能力，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知.（1）化简；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据诱导公式化简可得答案；（2）将两边平方可得，再将通分可得答案.【详解
12、】（1）（2）.【点睛】本题考查了利用诱导公式化简，考查了平方关系式，属于基础题.18.若函数f(x)ax2bxln x的导函数的零点分别为1和2（I） 求a ， b的值；（）若当时，恒成立， 求实数a的取值范围【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（I）求出函数的导数，由，求出的值即可；（）当时，恒成立，等价于，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出函数的最小值，从而求出的取值范围即可.【详解】（I） 函数的定义域是，函数的零点分别为1和2， 得， b = 2，（）当时，恒成立，当且仅当，由（I）得，由f(x)0，得x1或x2 当f(x)0时1x2；当f(x)0时0x1或x2 当x变化
13、时f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，2)2f(x)00f(x)因此，f(x)的区间的最小值是和的较小者，f（x）的区间的最小值是，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数.19.在中，内角的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若，求的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由两角和的正切得，进而得 ，即可求解C; （2），展开整理得，得,由正弦定理求a，则面积可求【详解】（1）因为，
14、所以，所以，所以，因为，所以，所以.（2）由及得，即，化简得，即.因为及，所以 由正弦定理得，得，所以的面积.【点睛】本题考查两角和的正切公式，正弦定理解三角形，考查面积公式，熟记公式，准确计算是关键，是中档题20.已知函数(1)写出函数的最小正周期；(2)设，的最小值是，最大值是，求实数的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式可得，利用最小正周期的计算公式可得所求的最小正周期.（2）求出的范围后利用正弦函数的性质可求的最值，结合已知的最值可求的值.【详解】（1），故的最小正周期为.（2）当时，故，又，故，所以 ，故.【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助
15、角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、最值、对称轴方程和对称中心等21.已知函数.（1）若过点的直线与曲线相切，求直线的斜率的值；（2）设，若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设直线的方程为，设切点坐标为，根据题意可得出关于、的方程组，求出、的值，进而可得出的值；（2）根据题意知，当时，当时，然后求得函数的导数，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，验证条件“当时，当时，”是否满足，由此可得出实数的取值范围.【详解】（1）因为直线过点，不妨设直线的方程为，由题意得，设切点为，则，解得.直线过点，则有，解得，即直线的斜率为
16、；（2），若，则当时，函数在上单调递减，此时，即，不合乎题意；若，则，当且仅当时等号成立.（i）当时，函数在上单调递增.又，所以当时，；当时，.于是有；（ii）当时，记，则，当时，所以函数在上单调递减，此时，即，不合乎题意；（iii）若，记，则，当时，所以函数在上单调递减，此时，即，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求解切线过点的问题，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于难题.22.在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系中，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴非负半轴为极轴，圆C的方程为.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点，设圆C与直线l交于点A，B，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由得，利用互化公式可得直角坐标方程.（2）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出.【详解】（1）由得，化为直角坐标方程为，即.（2）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，由，设是上述方程的两根，又直线过点，结合的几何意义得 ，的最小值.【点睛】本题考查了极坐标方程与普通方程的互化、参数的几何意义以及根与系数关系，属于基础题.