1、2015-2016学年浙江省温州八中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列函数在（，0）（0，+）上既是偶函数，又在（0，+）上单调递增的是( )Ay=x2By=x1Cy=log2|x|Dy=2x2已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=( )A4B6C8D103下列命题正确的是( )A“x1”是“x23x+20”的必要不充分条件B对于命题p：xR，使得x2+x10，则p：xR均有x2+x10C若pq为假命题，则p，q均为假命题D命题“若x23x+2=0，则x=2”的否命题
2、为“若x23x+2=0，则x2”4设函数f（x）=sin（x+）+cos（x+）的最小正周期为，且f（x）=f（x），则( )Af（x）在单调递减Bf（x）在（，）单调递减Cf（x）在（0，）单调递增Df（x）在（，）单调递增5已知实数x，y满足约束条件且目标函数z=2x+y的最大值是6，最小值是1，则的值是( )A1B2C3D46设a、b为两条不同的直线，、为两个不同的平面下列命题中，正确的是( )A若a、b与所成的角相等，则abB若，m，则mC若a，a，则D若a，b，则ab7定义在实数集R上的奇函数f（x），对任意实数x都有f（+x）=f（x），且满足f（1）2，f（2）=m，则实数m的取
3、值范围是( )A1m3B0m3C0m3或m1Dm3或m18长方体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E，使得C1EB=90，则侧棱AA1的长的最小值为( )AaB2aC3aD4a二、填空题：（本大题共7小题，912小题每题6分，其它小题每题4分，共36分）9设全集U=R，集合A=x|x2，B=x|x24x+30，则AB=_，AB=_，UB=_10已知函数f（x）=2sin（x）（0）的最小正周期为，则=_，f（）=_，在（0，）内满足f（x0）=0的x0=_11某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V=_cm3，表面积S=_cm2
4、12已知函数f（x）=（x1），当且仅当x=_时，f（x）取到最小值为_13已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，且|PF2|=|F1F2|，则该双曲线的离心率e是_14已知f（x）=，若f（f（t）0，1，则实数t的取值范围是_15设非零向量与的夹角是，且|=|+|，则的最小值是_三、解答题：本大题共5小题，满分74分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16已知函数 f（x）=sin2xcos2x，xR（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=，f（
5、C）=0若sinB=2sinA，求a，b的值17（14分）设数列an的前n项的和为Sn，且是等差数列，已知a1=1，+=12（）求an的通项公式an；（）当n2时，an+1+恒成立，求的取值范围18如图，四边形ABCD为菱形，ACFE为平行四边形，且面ACFE面ABCD，AB=BD=2，AE=，设BD与AC相交于点G，H为FG的中点（）证明：CH面BFD；（）若CH=，求EF与面EDB所成角的大小19如图，已知抛物线C：y2=2px（p0）上有两个动点A，B，它们的横坐标分别为a，a+2，当a=1时，点A到x轴的距离为，M是y轴正半轴上的一点（）求抛物线C的方程；（）若A，B在x轴上方，且|O
6、A|=|OM|，直线MA交x轴于N，求证：直线BN的斜率为定值，并求出该定值20已知二次函数f（x）=x2+bx+c，方程f（x）x=0的两个根x1，x2满足0x1x21（）当x（0，x1）时，证明：xf（x）x1；（）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明：x02015-2016学年浙江省温州八中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列函数在（，0）（0，+）上既是偶函数，又在（0，+）上单调递增的是( )Ay=x2By=x1Cy=log2|x|Dy=2x【考点】对数函数的单调性与特殊点；函
7、数奇偶性的判断 【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据 y=x2 、y=2x、y=x1在（0，+）上单调递减，故排除A、B、D；再根据y=log2|x|是偶函数，且在在（0，+）上单调递增，从而得出结论【解答】解：由于y=x2 、y=2x、y=x1在（0，+）上单调递减，故排除A、B、D；再根据y=log2|x|是偶函数，且在在（0，+）上单调递增，故满足条件，故选：C【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断，属于基础题2已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=( )A4B6C8D10【考点】等差数列；等比数列 【专题】等差数列与等比数列【分析】
8、利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求得a2【解答】解：a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，a32=a1a4，即（a1+4）2=a1（a1+6），解得a1=8，a2=a1+2=6故选B【点评】本题考查了等差数列的通项公式和等比数列的定义，比较简单3下列命题正确的是( )A“x1”是“x23x+20”的必要不充分条件B对于命题p：xR，使得x2+x10，则p：xR均有x2+x10C若pq为假命题，则p，q均为假命题D命题“若x23x+2=0，则x=2”的否命题为“若x23x+2=0，则x2”【考点】命题的真假判断与应用 【专题】阅读型；分析法【分
9、析】首先对于选项B和D，都是考查命题的否命题的问题，如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则这两个命题称互为否命题 即可得出B正确，D错误对于选项A因为“x1”是“x23x+20”的充分不必要条件故选项A错误对于选项C，因为若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；故C错误即可根据排除法得到答案【解答】解：对于A：“x1”是“x23x+20”的必要不充分条件因为“x23x+20”等价于“x1，x2”所以：“x1”是“x23x+20”的充分不必要条件故A错误 对于B：对于命题p：xR，使得x2+x10，则p：xR均有x2+x10因为否
10、命题是对条件结果都否定，所以B正确 对于C：若pq为假命题，则p，q均为假命题因为若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；故C错误 对于D：命题“若x23x+2=0，则x=2”的否命题为“若x23x+2=0则x2”因为否命题是对条件结果都否定，故D错误故选B【点评】此题主要考查充分必要条件，其中涉及到否命题，且命题，命题的真假的判断问题，都是概念性问题属于基础题型4设函数f（x）=sin（x+）+cos（x+）的最小正周期为，且f（x）=f（x），则( )Af（x）在单调递减Bf（x）在（，）单调递减Cf（x）在（0，）单调递增Df（x）在（，）单调递增【考点】
11、由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性 【专题】三角函数的图像与性质【分析】利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与的关系确定出的值，根据函数的偶函数性质确定出的值，再对各个选项进行考查筛选【解答】解：由于f（x）=sin（x+）+cos（x+）=，由于该函数的最小正周期为T=，得出=2，又根据f（x）=f（x），得+=+k（kZ），以及|，得出=因此，f（x）=cos2x，若x，则2x（0，），从而f（x）在单调递减，若x（，），则2x（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确故选A【点评】本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运
12、用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握属于三角中的基本题型5已知实数x，y满足约束条件且目标函数z=2x+y的最大值是6，最小值是1，则的值是( )A1B2C3D4【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数的最值，作用平面区域即可得到结论【解答】解：由题意得：作出目标函数2x+y=6，和2x+y=1，则对应的平面区域如图：则B，C在直线ax+by+c=0上，由，解得，即C（1，1），由，解得，即B（2，2），则B，C在直线在直线ax+by+c=0上，BC的方程为3
13、xy4=0，即a=3，b=1，c=4，则=4，故选：D【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法6设a、b为两条不同的直线，、为两个不同的平面下列命题中，正确的是( )A若a、b与所成的角相等，则abB若，m，则mC若a，a，则D若a，b，则ab【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】当两条直线与一个平面所成的角相等时，这两条直线的关系不能确定，当两个平面垂直时，一条直线与一个平面垂直，则这条直线与另一个平面的关系都有可能，当两条直线分别和两个平面平行，这两条直线之间没有关系，得到结论【解答】解：当两条直线与一个平面所成的角相等时，这两条直线的关系不能确定，故A
14、不正确，当两个平面垂直时，一条直线与一个平面垂直，则这条直线与另一个平面的关系都有可能，故B不正确，当一条直线与一个平面垂直，与另一个平面平行，则这两个平面之间的关系是垂直，故C正确，当两条直线分别和两个平面平行，这两条直线之间没有关系，故D不正确，故选C【点评】本题考查空间中直线与平面之间的关系，对于这种问题中错误的结论只要找一个反例说明一下就可以得到结论是错误的7定义在实数集R上的奇函数f（x），对任意实数x都有f（+x）=f（x），且满足f（1）2，f（2）=m，则实数m的取值范围是( )A1m3B0m3C0m3或m1Dm3或m1【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质 【专题】函数的
15、性质及应用【分析】先由题意求出函数为3为周期的周期函数，再根据函数为奇函数得到f（2）2，代入解不等式即可【解答】解：f（+x）=f（x），用x+代换x得，f（x+）=f（x）=f（x），再用x+代换x得，f（x+3）=f（x+）=f（x），函数为以3为周期的周期函数，f（x）=f（x），f（1）=f（1），f（1）=f（2），f（2）=f（1）=f（1）2，f（2）2，f（2）=m2，解得0m3，或m1，故选：C【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，属于中档题8长方体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E，使得C1E
16、B=90，则侧棱AA1的长的最小值为( )AaB2aC3aD4a【考点】点、线、面间的距离计算 【专题】空间位置关系与距离【分析】设侧棱AA1的长为x，A1E=t，则AE=xt，由已知得t2xt+a2=0，由此利用根的判别式能求出侧棱AA1的长的最小值【解答】解：设侧棱AA1的长为x，A1E=t，则AE=xt，长方体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，C1EB=90，2a2+t2+a2+（xt）2=a2+x2，整理，得：t2xt+a2=0，在侧棱AA1上至少存在一点E，使得C1EB=90，=（x）24a20，解得x2a侧棱AA1的长的最小值为2a故选：B【点评】本题考查长方体的侧
17、棱长的最小值的求法，是中档题，解题时要注意根的判别式的合理运用二、填空题：（本大题共7小题，912小题每题6分，其它小题每题4分，共36分）9设全集U=R，集合A=x|x2，B=x|x24x+30，则AB=（2，3），AB=（1，+），UB=（，13，+）【考点】交集及其运算 【专题】集合【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集，并集，求出B的补集即可【解答】解：由B中不等式变形得：（x1）（x3）0，解得：1x3，即B=（1，3），A=（2， +），AB=（2，3），AB=（1，+），UB=（，13，+）故答案为：（2，3）；（1，+）；（，13，+）【点评】此题考查了交集及其
18、运算，并集及其运算，以及补集的运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键10已知函数f（x）=2sin（x）（0）的最小正周期为，则=2，f（）=，在（0，）内满足f（x0）=0的x0=【考点】正弦函数的图象 【专题】三角函数的图像与性质【分析】根据三角函数的周期公式求出，即可得到结论【解答】解：三角函数的周期是，则=，则=2，则f（x）=2sin2x，则f（）=2sin=2=，由f（x）=0得sin2x=0，x（0，），2x（0，2），则2x=，故x=，故x0=，故答案为：2，【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的周期公式求出是解决本题的关键11某空间几何体的三视图如图所示（单
19、位：cm），则该几何体的体积V=cm3，表面积S=cm2【考点】由三视图求面积、体积 【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由三视图可得该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，根据标识的各棱长及高，代入棱锥体积、表面积公式可得答案【解答】解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，所以V=cm3，S=+=故答案为：；【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积、表面积，其中根据已知分析出几何体的形状及各棱长的值是解答的关键12已知函数f（x）=（x1），当且仅当x=2时，f（x）取到最小值为2【考点】基本不等式；函数的最值及其几何意义 【专题】不等式的解
20、法及应用【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：x1，x10函数f（x）=x1+=2，当且仅当x=2时取等号故答案分别为：2；2【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题13已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，且|PF2|=|F1F2|，则该双曲线的离心率e是【考点】双曲线的简单性质 【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设直线PF1与圆x2+y2=a2相切于点M，取PF1的中点N，连接NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF1|=4b，再由双曲线
21、的定义和a，b，c的关系及离心率公式，计算即可得到【解答】解：设直线PF1与圆x2+y2=a2相切于点M，则|OM|=a，OMPF1，取PF1的中点N，连接NF2，由于|PF2|=|F1F2|=2c，则NF2PF1，|NP|=|NF1|，由|NF2|=2|OM|=2a，则|NP|=2b，即有|PF1|=4b，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|=2a，即4b2c=2a，即2b=c+a，4b2=（c+a）2，即4（c2a2）=（c+a）2，4（ca）=c+a，即3c=5a，则e=故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，运用中位线定理和双曲线的定义是解题的关键14已知f（x
22、）=，若f（f（t）0，1，则实数t的取值范围是log32，1【考点】分段函数的应用 【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可【解答】解：当t（0，1，所以f（t）=3t（1，3，又函数f（x）=，则f（f（t）=log2（3t1），因为f（f（t）0，1，所以0log2（3t1）1，即13t12，解得：log32t1，则实数t的取值范围log32，1；当1t3时，f（t）=log2（t1）（，1，由于f（f（t）0，1，即有01，解得1t2此时f（t）=log2（t1）
23、0，f（f（t）不存在综上可得t的取值范围为log32，1故答案为：log32，1【点评】本题考查分段函数的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，考查计算能力，属于中档题和易错题15设非零向量与的夹角是，且|=|+|，则的最小值是【考点】平面向量数量积的运算 【专题】平面向量及应用【分析】由已知利用模的等式两边平方得到|=|，将所求平方利用此关系得到关于t的二次函数解析式，然后求最小值【解答】解：因为非零向量与的夹角是，且|=|+|，所以|2=|+|2=|2+2+|2，所以|=|，则（）2=t2+2t+=（t+1）2+，所以当t=1时，的最小值是；故答案为：【点评】本题考
24、查了向量的数量积以及向量的平方与模的平方相等的运用三、解答题：本大题共5小题，满分74分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16已知函数 f（x）=sin2xcos2x，xR（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=，f（C）=0若sinB=2sinA，求a，b的值【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理 【专题】计算题；三角函数的图像与性质；解三角形【分析】（1）先化简函数f（x），再求函数的单调递减区间和最小正周期；（2）先求C，再利用余弦定理、正弦定理，建立方程，即可求a、b的值【解答】解：（1）f（x）=
25、sin2xcos2x，xR=sin2x=sin（2x）1T=由2k+2x2k+，kZ可解得：xk，k+，kZf（x）单调递减区间是：k，k+，kZ（2）f（C）=sin（2C）1=0，则sin（2C）=10C，C=sinB=2sinA，由正弦定理可得b=2ac=，由余弦定理可得c2=a2+b2ab=3由可得a=1，b=2【点评】本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，考查余弦定理、正弦定理的运用，属于中档题17（14分）设数列an的前n项的和为Sn，且是等差数列，已知a1=1，+=12（）求an的通项公式an；（）当n2时，an+1+恒成立，求的取值范围【考点】数列与不等式的综合；等差数列的性
26、质 【专题】等差数列与等比数列【分析】（）由已知得，从而，Sn=，由此能求出an=3n2（）由已知得3n+1+，从而，设bn=，由bn的最小值为，能求出【解答】解：（）是等差数列，a1=1，+=123=12，Sn=，an=SnSn1=3n2，n2，当n=1时也成立，an=3n2（）n2时，an+1+恒成立，3n+1+，设bn=，bn+1bn=0，bn的最小值为，（14分）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用18如图，四边形ABCD为菱形，ACFE为平行四边形，且面ACFE面ABCD，AB=BD=2，AE=，设B
27、D与AC相交于点G，H为FG的中点（）证明：CH面BFD；（）若CH=，求EF与面EDB所成角的大小【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定 【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）首先根据已知条件利用菱形的性质求出垂直的关系，进一步利用面面垂直得到线线垂直，最后利用线面垂直的判定求出结论（）利用上步的结论，先确定线面的夹角，进一步求出角的大小【解答】（）证明：四边形ABCD为菱形所以：BDAC又面ACEF面ABCD所以：BD平面ACFE所以：BDCH即：CHBD又H为FG的中点，CG=CF=所以：CHFG所以：CH面BFD（）连接EG，由（）知BD平面ACFE所以：面EFG面B
28、ED所以：EF与平面EDB所成的角即为FEG在FCG中，CG=CF=，CH=，CHGF所以GCF=120，GF=3所以EG=，又因为EF=2所以在EFG中，可求得FEG=60【点评】本题考查的知识要点：线面垂直的判定，线面的夹角的应用属于基础题型19如图，已知抛物线C：y2=2px（p0）上有两个动点A，B，它们的横坐标分别为a，a+2，当a=1时，点A到x轴的距离为，M是y轴正半轴上的一点（）求抛物线C的方程；（）若A，B在x轴上方，且|OA|=|OM|，直线MA交x轴于N，求证：直线BN的斜率为定值，并求出该定值【考点】抛物线的简单性质 【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（
29、）求出A的坐标，代入，即可求抛物线C的方程；（）求得直线MA的方程，可得N的坐标，即可证明直线BN的斜率为定值，并求出该定值【解答】（）解：由题意得当a=1时，点A坐标为，由题有，p=1抛物线C的方程为：y2=2x（）证明：由题，|OA|=|OM|，直线MA的方程为：y=，=，直线BN的斜率为定值，该定值为1【点评】本题考查抛物线方程，考查直线斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20已知二次函数f（x）=x2+bx+c，方程f（x）x=0的两个根x1，x2满足0x1x21（）当x（0，x1）时，证明：xf（x）x1；（）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明：x0【考点】
30、二次函数的性质 【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；函数的性质及应用【分析】（1）方程f（x）x=0的两个根x1，x2，所以构造函数，当x（0，x1）时，利用函数的性质推出xf （x），然后作差x1f（x），化简分析出f（x）x1，即可（2）方程f（x）x=0的两个根x1，x2，函数f（x）的图象，关于直线x=x0对称，利用放缩法推出x0；【解答】证明：（1）令F（x）=f（x）x因为x1，x2是方程f（x）x=0的根，所以F（x）=（xx1）（xx2）当x（0，x1）时，由于x1x2，得（xx1）（xx2）0，又10，得F（x）=（xx1）（xx2）0，即xf（x）x1f（x）=x1x+F（x）=x1x+（x1x）（xx2）=（x1x）1+（xx2）因为0xx1x21所以x1x0，1+（xx2）=1+xx21x20得x1f（x）0由此得f（x）x1综上xf（x）x1；（2）依题意知x0=因为x1，x2是方程f（x）x=0的根，即x1，x2是方程x2+（b1）x+c=0的根x1+x2=b+1，x0=因为x21，所以x0【点评】本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力