1、四川省成都外国语学校2019-2020学年高二数学5月月考试题 理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数，若是实数，则实数的值（ ）ABCD2命题“，”的否定为（ ）A，B，C，D，3曲线 在点 处的切线方程为（ ）A B C D4已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则的渐近线方程为（ ）ABCD5执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）A BC D6已知命题若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则直线与抛物线相切，命题若，则方程表示椭圆.下列命题是真命题的是（ ）ABCD7某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替
2、出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）ABCD8阿基米德（公元前287年公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为（ ）ABCD9直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）ABCD10设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）ABCD11.已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在
3、第一象限和第三象限的交点分别为，设四边形的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的离心率为（ ）A.BCD12（理）已知函数恰有一个极值点为，则实数的取值范围是（ ）ABCD非选择题部分（共90分）二、 填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分.13在复平面内，与复数对应的点位于 象限.14已知函数，则的单调递增区间为_15已知，则方程恰有2个不同的实根，实数取值范围_.16（理）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（本小题满分10分）已知函数在点处的切线方程为(
4、1)求函数的解析式；(2)求函数在区间上的最大值与最小值18（本小题满分12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组90，100），100，110），140，150后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在120，130）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（3）用分层抽样的方法在分数段为110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段120，130）内的概率19（理）（本小题满分12分）已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，
5、和均为正三角形，在三棱锥中：（I）证明：平面平面；（）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值. 图一 图二 20（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求，交点的直角坐标；（2）设点的极坐标为，点是曲线上的点，求面积的最大值.21（本小题满分12分）已知点，直线为平面内的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，且. （1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作直线（与轴不重合）交轨迹于，两点，求三角形面积的取值范围.（为坐标原点）22（理）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若方程有两个不相等的
6、实数根，求证：成都外国语学校2019-2020下期高2018级5月月考卷（答案）高二数学参考答案1-5CABAC 6-10.BBDAB 11-12(文).CC 11-12(理).CC13第四象限 14 15 16.(文) 16.(理) 617 （1）（2）当时，取得最大值19， 当时，取得最小值是.18（1）0.3；（2）（3）【详解】（1）分数在120，130）内的频率为1（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=10.7=0.3；（2）由于图中前3个小矩形面积之和为0.4，则设中位数，则，则（3） 依题意，110，120）分数段的人数为600.15=9（人），120，130）分数
7、段的人数为600.3=18（人）；用分层抽样的方法在分数段为110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，需在110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m，n；在120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段120，130）内”为事件A，则基本事件有共15种；则事件A包含的基本事件有共9种；P（A）=18 (文)（1）由已知可得，=90，又BAAD，且，所以AB平面ACD 又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA= 又，所以作QEAC，垂足为E，则 由已知及（1）可得DC平面ABC，所以QE
8、平面ABC，QE=1因此，三棱锥的体积为19.(理)（）设的中点为，连接，.由题意，得，.因为在中，为的中点，所以，因为在中，所以.因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（）由（）知，平面，所以是直线与平面所成的角，且，所以当最短时，即是的中点时，最大.由平面，所以，于是以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则 由得：.令，得，即.同理，设平面的法向量为， . .由图可知，二面角的余弦值为.20【解析】()，.联立方程组得，解得，所求交点的坐标为，.()设，则.的面积 当时，.21（1）；（2）【解析】（1）设动点，则 由，即 ， ，化简得 （2
9、）由(1)知轨迹的方程为，当直线斜率不存在时，当直线斜率存在时，设直线方程为 ，设 由得.则， 令，则 令，则，当时，在上单调递增，综上所述，三角形面积的取值范围是22(文)（1），. 当时，在恒成立，在是单减函数. 当时，令，解之得.从而，当变化时，随的变化情况如下表： -0+ 单调递减单调递增由上表中可知，在是单减函数，在是单增函数. 综上，当时，的单减区间为；当时，的单减区间为，单增区间为. （2）当，为整数，且当时，恒成立.令，只需； 又，又因为在有且仅有一个实数根，在上单减，在上单增； 又，且，即代入式，得. 而在为增函数，即.而，即所求的最大值为0.22（理）【答案】（1）易知的定义域为，且，时，在上恒正，所以在上单调递增，时，对于，当，即时，在上是增函数；当，即时，有两个正根，所以，单调递增，单调递减综上，时，在上是增函数，时，在和上是增函数,在上是减函数 （2）令，方程有两个不相等的实根函数有两个零点，由定义域为且当时，恒成立，在上单调递增，则至多有一个零点，不符合题意；当时，得，在上单调递增，在上单调递减要使有两个零点，则，由解得 ，此时 易知当时，令，所以，时，在为增函数，在为增函数，所以，即，所以函数在与各存在一个零点，综上所述，. 证明证明时，成立设，则易知在上递减，在上单调递减，所以.