1、高考资源网（） 您身边的高考专家2021年浙江省宁波市宁海中学高考数学适应性试卷（3月份）一、选择题（共10小题）.1设集合Ax|x22x30，B2，2，则（RA）B（）ARB1，2C2，1D2，32在平面直角坐标系中，F1（2，0），F2（2，0），|PF1|PF2|a（aR），若点P的轨迹为双曲线，则a的取值范围是（）A（0，4）B（0，4C（4，+）D（0，4）（4，+）3已知三个不同的平面，和直线m，n，若m，n，则“”是“mn”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4对于二项式（x2）6的展开式，下列命题为真的是（）A第3项的系数为160B第4项的系数
2、为160C奇数项的系数之和是364D偶数项的系数之和是3655已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则其体积（）（单位：cm3）AB4CD56已知函数f（x），g（x）满足，则h（x）的图象大致是（）ABCD7已知随机变量的分布列如表：101pp1p2p3其中，则D（）的最大值是（）ABCD8如图，矩形ABCD中，2AB3AD6，点Ei，Fi（i1，2）在CD，AD上，满足E1F12，E1F2E2F1，将DE1F1沿E1F1向上翻折至DE1F1，使得D在平面ABCD上的射影落在DE2F2的重心G处，设二面角DABC的大小为，直线DA，DC与平面ABCD所成角分别为，则（）ABCD9已知公
3、差d0的等差数列an的前n项和为Sn，若a2021a20220a2021+a2022，则（）Aa1d0B|S2021|S2022|CS4042S40430Da2022S4042S4043010对于n，kN*，若正整数组F（a1，a2，ak）满足a1a2ak，a1+a2+akn，则称F为n的一个拆，设F中全为奇数，偶数时拆的个数分别为s（n），T（n），则（）A存在n2021，使得S（n）0B不存在n2021，使得T（n）0C存在n2021，使得S（n）T（n）D不存在n2021，使得S（n）T（n）二、填空题（共7小题）.11Euler公式：exicosx+isinx（e为自然对数的底数，i虚
4、数单位）被评为最完美的公式根据此公式，可得到sini ；|e2+i| 12已知两点A，B在圆C：（x1）2+（y+2）2r2上，P点坐标为（1，y0），若APB的最大值是60，且此时，则y0 ；r 13已知实数x，y满足条件，则z2xy的取值范围是 14已知平面向量，满足|，则的取值范围是 ；若|1，则|的最小值是 15小明与3位男生、3位女生在排队购物，已知每位女生需2分钟，男生需1分钟，若小明（不排在首位）的前后不同时为女生，且他的等待时间不多于4分钟，则不同的排队情况共有 种16已知a0，b0，若f（x）b|ax+b|a2x+b2|2b2有两零点x1，x2，且x1+x20，则的取值范围是
5、 17如图，已知F1，F2为椭圆C：（a1）的两焦点，O为坐标原点，H1，H2分别F1，F2在C的切线l上的射影，则点H1的轨迹方程是 ；若有且仅有2条l使得OH1H2的面积最大，则C离心率的最大值是 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，BC3，如图所示，点D在线段AC上，满足ABAD（）求A的值；（）若BD2CD，求的值19如图，在斜四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DABAA1B，A1AAD，ABAA12AD（）证明：平面A1AD1D平面B1BD1；（）求二面角B1AD1A1的正切值20已知Sn为
6、数列（1）nan的前n项和，且a11（）若数列an为公差d0的等差数列，若Sk0，证明：k是奇数；（）若数列an为公比q2的等比数列，证明：21已知点A，B在直线l：yx+2上（B在A上方），P（2，0），斜率为k1的直线AP交抛物线：y24x于点M，N，直线BP交于点R，S（）求k1的取值范围；（）若，求SMPRSSPN的取值范围22已知aR，函数f（x）ax2+lnx，（x）f（x）2lnx（）若2ae，（）求函数（x）的单调区间；（）证明：2f（x）e；（）若2a0，（）若存在正整数k，使非空集合x|（x）1x|f（kx）k，求a的取值范围；（）若对任意正整数k，非空集合x|（kx）kx
7、|f（x）1，求a的取值范围参考答案一、选择题（共10小题）.1设集合Ax|x22x30，B2，2，则（RA）B（）ARB1，2C2，1D2，3解：Ax|x1或x3，B2，2，RA1，3，（RA）B1，2故选：B2在平面直角坐标系中，F1（2，0），F2（2，0），|PF1|PF2|a（aR），若点P的轨迹为双曲线，则a的取值范围是（）A（0，4）B（0，4C（4，+）D（0，4）（4，+）解：因为点P的轨迹为双曲线，所以c2，由双曲线的定义知，|PF1|PF2|a2c224，所以a的取值范围是（0，4）故选：A3已知三个不同的平面，和直线m，n，若m，n，则“”是“mn”的（）A充分不必要条
8、件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：由m，n，mn；反之不成立，可能与相交m，n，则“”是“mn”的充分不必要条件故选：A4对于二项式（x2）6的展开式，下列命题为真的是（）A第3项的系数为160B第4项的系数为160C奇数项的系数之和是364D偶数项的系数之和是365解：在二项式（x2）6的展开式中，对于A，第3项的系数为（2）260，故A错误；对于B，第4项的系数为（2）3160，故B正确；对于C，奇数项的系数之和是+（2）2+（2）4+（2）61+60+240+64365，故C错误；对于D，偶数项的系数之和是（2）1+（2）3+（2）512160192364，故D错误；
9、故选：B5已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则其体积（）（单位：cm3）AB4CD5解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为倒放的四棱柱使用分割法，把几何体分割成一个三棱柱和一个四棱柱；如图所示：故故选：D6已知函数f（x），g（x）满足，则h（x）的图象大致是（）ABCD解：由，得f（x），g（x），则f（x）g（x），则h（x），则x0，h（x）h（x），则h（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，当0x时，cosx0，f（x）g（x）0，则h（x）0，排除A，故选：C7已知随机变量的分布列如表：101pp1p2p3其中，则D（）的最大值是（）ABCD解：E（）（1
10、）p1+0p2+1p3p3p1，又E（2）p1+p3，所以D（）E（2）E（）2，因为，所以，所以D（），因为0p1+p31，所以当时，D（）的最大值是故选：C8如图，矩形ABCD中，2AB3AD6，点Ei，Fi（i1，2）在CD，AD上，满足E1F12，E1F2E2F1，将DE1F1沿E1F1向上翻折至DE1F1，使得D在平面ABCD上的射影落在DE2F2的重心G处，设二面角DABC的大小为，直线DA，DC与平面ABCD所成角分别为，则（）ABCD解：作GHAB，交AB于H，tan，tan，tan，且GCGAGH，tantantan故选：A9已知公差d0的等差数列an的前n项和为Sn，若a2
11、021a20220a2021+a2022，则（）Aa1d0B|S2021|S2022|CS4042S40430Da2022S4042S40430解：a2121a20220a2021+a2022，或，当d0时，a10，此时a1d0，|S2021|S2022|，故选项A、B错误；由a2021+a20220可得：S40420，又S40434043a2022，当d0时，有S4042S40430，故选项C错误；又当d0时，有a20220，S4042S40430，此时a2022S4042S40430；当d0时，有a20220，S4042S40430，此时a2022S4042S40430，故选项D正确，故选
12、：D10对于n，kN*，若正整数组F（a1，a2，ak）满足a1a2ak，a1+a2+akn，则称F为n的一个拆，设F中全为奇数，偶数时拆的个数分别为s（n），T（n），则（）A存在n2021，使得S（n）0B不存在n2021，使得T（n）0C存在n2021，使得S（n）T（n）D不存在n2021，使得S（n）T（n）解：对于任意的n2021，至少存在一个全为1的拆分，故A错误；当n为奇数时，T（n）0，故B错误；当n为偶数时，（a1，a2，ak）是每个数均为偶数的分拆，则它至少对应了（1，1，1）和（1，1，a11，a21，ak1）的均为奇数的拆，当n2时，偶数拆为（2），奇数拆为（1，1）
13、，S（2）T（2）1；当n4时，偶数拆为（2，2），（4），奇数拆为（1，1，1，1），（1，3）；故当n6时，对于偶数的拆，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的拆，故S（n）T（n），故C错误，D正确，故选：D二、填空题（共7小题）.11Euler公式：exicosx+isinx（e为自然对数的底数，i虚数单位）被评为最完美的公式根据此公式，可得到sini；|e2+i|e2解：当xi时，e1cosi+isini，当xi时，ecosiisini，i；|e2+i|故答案为：；e212已知两点A，B在圆C：（x1）2+（y+2）2r2上，P点坐标为（1，y0），若APB的最大值是
14、60，且此时，则y00或4；r1解：由圆的对称性易得，当PA，PB为圆的两条切线时，APB取最大值60，RtPAC中，rPAtan301，所以PC2，故|2y0|2，解得y00或y04故答案为：0或4；113已知实数x，y满足条件，则z2xy的取值范围是6，4解：实数x，y满足条件，即，画出可行域，如图所示：解得B（2，2）、A（2，0），把z2xy变形为y2xz，则直线经过点B时z取得最小值；经过点A时z取得最大值所以zmin2（2）26，zmax2204即z的取值范围是：6，4故答案为：6，414已知平面向量，满足|，则的取值范围是1，0；若|1，则|的最小值是解：|cos|cos|，则|
15、cos|，|cos|1，0，|cos|，|2|22+|2|22|+|2|22|+2|+|2（|1）2+（|+1）22，则当|1且|1时取得最小值，此时|2422，即|，当且仅当|1且cos1时取得最小值，故答案为：1，0；15小明与3位男生、3位女生在排队购物，已知每位女生需2分钟，男生需1分钟，若小明（不排在首位）的前后不同时为女生，且他的等待时间不多于4分钟，则不同的排队情况共有1440种解：由题设可知小明等待的时间有以下情况：等待1分钟，有360种排队方案；等待2分钟，有+360种排队方案；等待3分钟，有A+360种排队方案；等待4分钟，有+360种排队方案，不同的排队情况共有36041
16、440种，故答案为：144016已知a0，b0，若f（x）b|ax+b|a2x+b2|2b2有两零点x1，x2，且x1+x20，则的取值范围是解：由f（x）0，得b|ax+b|a2x+b2|2b20，|2，|+2，如图（1），t0，大致作出y|tx+1|，y|t2x+1|+2的图象，此时若有两个交点，则必有t2t，解得t1，与t0矛盾，舍；（2）t0，t1，t2t，不可能有2个交点；t1，不可能有两个交点；如图（2）0t1，|tx+1|t2x+1|+2，当|tx+1|t2x+1|+2，当x时，y|tx+1|tx1，当x时，y，a：时，此时若有两个交点，且x1+x20，则，解得，x1+x20，t
17、b：时，同a，也不可能c：时，0t，此时若有2个交点，则，x1+x20，t+1t1恒成立，综上，0故答案为：（0，）17如图，已知F1，F2为椭圆C：（a1）的两焦点，O为坐标原点，H1，H2分别F1，F2在C的切线l上的射影，则点H1的轨迹方程是x2+y2a2；若有且仅有2条l使得OH1H2的面积最大，则C离心率的最大值是解：如图，延长OH2至H2，使得OH2OH2H2FH1F1，故F1，H1，H2三点H1O为RtH2H1H2斜边上的中线，故OH1OH2OH2，取切点P，连PF1，PF2，作OH3l，由椭圆的光学性质得PF1H1PF2H2，同理可得，即点H1的轨迹方程是x2+y2a2；由上分
18、析可得，要使有且仅有2条l使得OH1H2的面积最大，即有且仅有两个P点使得F1PF2最接近，即b2c2，可得2c2a2，故故答案为：x2+y2a2；三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，BC3，如图所示，点D在线段AC上，满足ABAD（）求A的值；（）若BD2CD，求的值解：（），由正弦定理得：，故，即，（）由于ABAD，即ABD为正三角形，故不妨设DCx，则BAADBD2x，由余弦定理，故，即19如图，在斜四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DABAA1B，A1AAD，ABAA12AD（）证明：平面A1
19、AD1D平面B1BD1；（）求二面角B1AD1A1的正切值【解答】（1）证明：不妨设AD1，则ABAA12，由余弦定理：，AD2+BD2AB2，ADDB，DD1AD，DD1BDD，AD平面BDD1B1，AD平面AAD1D，平面AAD1D平面BDD1B1，证毕（2）解法一：由（1）可知：平面AAD1D平面BDD1B1，如下图，连DB1，作B1HDD1，故B1H平面A1AD1D，AD1H即A1D1B1在平面A1AD1D的射影，ADDB1，故H为DD1的中点，故，ADDD1，AB12，由余弦定理：，故，设二面角B1AD1A1的大小为，则，故解法二：如下图，以D1为原点，D1A1为x轴，D1D为y轴，
20、建立空间直角坐标系，连DB1，ADDB1，故得到A（2，0），A1（1，0，0），设平面A1AD1D的法向量，平面AD1B1的法向量为，得取；取，设二面角B1AD1A1的大小为，则，故20已知Sn为数列（1）nan的前n项和，且a11（）若数列an为公差d0的等差数列，若Sk0，证明：k是奇数；（）若数列an为公比q2的等比数列，证明：【解答】证明：（）由S2n（a2a1）+（a4a3）+（a2na2n1）nd0，S2n1a1+（a2a3）+（a4a5）+（a2n2a2n1）1（n1）d0，该式有正整数解，故当Sk0时，k是奇数（）由题意得，故，设，q2，故，故21已知点A，B在直线l：yx+
21、2上（B在A上方），P（2，0），斜率为k1的直线AP交抛物线：y24x于点M，N，直线BP交于点R，S（）求k1的取值范围；（）若，求SMPRSSPN的取值范围解：（）由题意可设AP：yk1（x2），由于AP与抛物线，直线均有交点，故k11，k10，联立直线l与直线AP得到，得A（，），而，得到B（+1，+1）（，），得，由于BP与抛物线，直线均有交点，故，k1，1，综上，（）设M（x1，y1），N（x2，y2），R（x3，y3），S（x4，y4），则，故，记R，S到直线AP的距离分别为d3，d4，则，设AP：xm1y+2，其中，与抛物线联立得y24my80，由韦达定理得，同理设BP：xm2
22、y+2，由韦达定理得，故，由（1）可知，故当且仅当m19，即 取等号，故SMPRSSPN的取值范围是4096，+）22已知aR，函数f（x）ax2+lnx，（x）f（x）2lnx（）若2ae，（）求函数（x）的单调区间；（）证明：2f（x）e；（）若2a0，（）若存在正整数k，使非空集合x|（x）1x|f（kx）k，求a的取值范围；（）若对任意正整数k，非空集合x|（kx）kx|f（x）1，求a的取值范围解：（）（i）由题意得：（x）f（x）2lnxax2lnx，令（x）0，解得：x，x，（x），（x）的变化如下：x（0，）（，+）（x）+0（x）递增极小值递减故（x）在上单调递减，在上单调递
23、增（ii），故，由复合函数的单调性得，故2f（x）e，证毕（）（i）由于x|（x）1是非空集合，故，记f（kt）k，要使x|（x）1x|f（kx）k，需满足ktkx1f（kx0）k，即，得，当k2时，矛盾！故k1，设f（x1）1，得，从而记，由于x|（x）1x|f（x）1，故（x1）1，而，故x11，故L（x1）在0，1上单调递减，由，得a1，即，所以a的取值范围为1，（ii）x|（x）k是非空集合，故，得，下面考虑x|（x）kx|f（kx）1，由于，（x0）k，故x2，x30（x2x0x3），使得（x2）（x3）k，由于（x）在（x0，+）上单调递增，x3x0，故要使x3kx1，只需（kx1）k，对于前者，即，由yk2+2klnk递增，g（1）0，故lnx1g（1）0，即0x11，故aL（1）1，综上：所以a的取值范围为1，- 23 - 版权所有高考资源网
