1、2015-2016学年浙江省杭州四中吴山校区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列四个集合中，是空集的是（）AB0Cx|x8或x4DxR|x2+2=02tan（330）的值为（）ABCD3函数y=的定义域为（）A（，+）B，1）C，1）D（，14要得到函数的图象，只需将函数y=cos3x的图象（）A向右平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向左平移个单位5当a0且a1时，函数y=ax1+3的图象一定经过点（）A（4，1）B（1，4）C（1，3）D（1，3）6直线y=2016与正切曲线y=tan3x相
2、交的相邻两点间的距离是（）ABCD7已知函数f（x）=2x2+mx+4，它在（，2上单调递减，则f（1）的取值范围是（）Af（1）=14Bf（1）14Cf（1）14Df（1）148设（0，），（0，），且tan=，则（）A3=B3+=C2=D2+=9已知实数x，y满足axay（0a1），则下列关系式恒成立的是（）ABln（x2+1）ln（y2+1）CsinxsinyDx3y310已知函数f（x）=且方程f2（x）af（x）+=0恰有四个不同实根，则实数a的取值范围是（）A（，）（，+）B（，）C（2，4）D（，二、填空题：本大题有5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卷中的横线上11已
3、知tanx=，则=12已知全集U=R，集合A=0，1，2，B=xZ|x23，如图阴影部分所表示的集合为13f（x1）=x22x，则=14设，则函数的最大值为15设函数，则方程有个实数根三、解答题：本大题有5小题，共10分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知函数f（x）=Asin（x+），xR（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为（）求f（x）的解析式；（）当，求f（x）的值域17已知集合A=x|1，xR，B=x|x22xm0（）当m=3时，求；A（RB）；（）若AB=x|1x4，求实数m的值18在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个钝角，
4、它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，（1）求tan（+）的值；（2）求+2的值19已知函数是奇函数（1）求实数m的值；（2）是否存在实数p，a，当x（p，a2）时，函数f（x）的值域是（1，+）若存在，求出实数p，a；若不存在，说明理由；（3）令函数g（x）=ax2+6（x1）af（x）5，当x4，5时，求函数g（x）的最大值20已知函数g（x）=asinx+bcosx+c（1）当b=0时，求g（x）的值域；（2）当a=1，c=0时，函数g（x）的图象关于对称，求函数y=bsinx+acosx的对称轴（3）若g（x）图象上有一个最低点，如果图象上每点纵坐标不变，横
5、坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，又知f（x）=3的所有正根从小到大依次为x1，x2，x3，xn，且xnxn1=3（n2），求f（x）的解析式2015-2016学年浙江省杭州四中吴山校区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列四个集合中，是空集的是（）AB0Cx|x8或x4DxR|x2+2=0【考点】空集的定义、性质及运算【分析】直接利用空集的定义与性质判断选项的正误即可【解答】解：空集是没有任何元素的集合，A中含有元素，所以A不正确；B中含有运算0，所以不正
6、确；C中集合是无限集，所以不正确；D中方程无解，所以D是空集，正确故选：D2tan（330）的值为（）ABCD【考点】运用诱导公式化简求值【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果【解答】解：tan（330）=tan30=，故选：A3函数y=的定义域为（）A（，+）B，1）C，1）D（，1【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域【解答】解：要使函数有意义，则log0.5（4x3）0，即04x31，解得x1，故函数的定义域为（，1，故选：D4要得到函数的图象，只需将函数y=cos3x的图象（）A向右平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向左平移个单
7、位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用诱导公式化简函数解析式，然后利用平移原则判断选项即可【解答】解：=cos（3x）=cos（3x）=cos3（x），将函数y=cos3x的图象向右平移个单位即可得到函数的图象故选：A5当a0且a1时，函数y=ax1+3的图象一定经过点（）A（4，1）B（1，4）C（1，3）D（1，3）【考点】指数函数的图象与性质【分析】利用指数型函数的性质，令x1=0即可求得点的坐标【解答】解：y=ax1+3（a0且a1），当x1=0，即x=1时，y=4，函数y=ax1+3（a0且a1）的图象过定点（1，4）故选B6直线y=2016与正切曲线y=tan3x
8、相交的相邻两点间的距离是（）ABCD【考点】正切函数的图象【分析】根据直线y=2016与正切曲线y=tan3x相交的两点间的距离正好等于y=tan3x的一个周期，得出结论【解答】解：直线y=2016与正切曲线y=tan3x相交的两点间的距离正好等于y=tan3x的一个周期，即，故选C7已知函数f（x）=2x2+mx+4，它在（，2上单调递减，则f（1）的取值范围是（）Af（1）=14Bf（1）14Cf（1）14Df（1）14【考点】函数单调性的性质【分析】由已知得到对称轴x=2，解出m范围，得到f（1）的范围【解答】解：由已知函数f（x）=2x2+mx+4，mR，它在（，2上单调递减，则对称轴
9、x=2，所以m8，又f（1）=6+m，所以f（1）68，所以f（1）14，故选C8设（0，），（0，），且tan=，则（）A3=B3+=C2=D2+=【考点】三角函数的化简求值【分析】化切为弦，整理后得到sin（）=cos，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（）=cos，则答案可求【解答】解：由tan=，得：，即sincos=cossin+cos，sin（）=cos=sin（），（0，），（0，），当时，sin（）=sin（）=cos成立故选：C9已知实数x，y满足axay（0a1），则下列关系式恒成立的是（）ABln（x2+1）ln（y2+1）Csinxsin
10、yDx3y3【考点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键【解答】解：实数x，y满足axay（0a1），xy，A若x=1，y=1时，满足xy，但=，故不成立B若x=1，y=1时，满足xy，但ln（x2+1）=ln（y2+1）=ln2，故ln（x2+1）ln（y2+1）不成立C当x=，y=0时，满足xy，此时sinx=sin=0，siny=sin0=0，有sinxsiny，但sinxsiny不成立D函数y=x3为增函数，故当xy时，x3y3，恒成立，故选：D10已知函数f（x）=且方程f2（x）af（x）+=0恰有四
11、个不同实根，则实数a的取值范围是（）A（，）（，+）B（，）C（2，4）D（，【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】作函数f（x）=的图象，从而化为x2ax+=0在（1，2上有两个不同的根，从而解得【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，结合图象可知，当1b2时，f（x）=b有两个不同的解，故x2ax+=0在（1，2上有两个不同的根，故，解得，a，故选：B二、填空题：本大题有5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卷中的横线上11已知tanx=，则=10【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】原式分子分母除以cosx，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanx的值代入计算即可求出值
12、【解答】解：tanx=，原式=10故答案为：1012已知全集U=R，集合A=0，1，2，B=xZ|x23，如图阴影部分所表示的集合为2【考点】Venn图表达集合的关系及运算【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成，所以用集合表示为A（UB）B=xZ|x23=1，0，1，则UB=xZ|x0且x1，则A（UB）=2，故答案为：213f（x1）=x22x，则=1【考点】函数的值【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可【解答】解：f（x1）=x22x，则=f（）1= 22=3+2=1故答案为：114设，则函数的最大值为【考
13、点】三角函数的最值【分析】变形可得2x（0，），y=，表示点（cos2x，sin2x）和（2，0）连线斜率的相反数，点（cos2x，sin2x）在单位圆的上半圆，数形结合可得【解答】解：，2x（0，），变形可得y=，表示点（cos2x，sin2x）和（2，0）连线斜率的相反数，而点（cos2x，sin2x）在单位圆的上半圆，结合图象可得当直线倾斜角为150（相切）时，函数取最大值tan150=，故答案为：15设函数，则方程有2n+1个实数根【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】分别n=1，2，3，再归纳法即可求出答案【解答】解：当n=1时，f1（x）=|（）|x|=，即当1x1时，（）|x|
14、=，或x1或x1时，（）|x|=，此时方程有22个解，当n=2时，f2（x）=|f1（x）|=，即f1（x）=，f1（x）=，此时方程有23个解，当n=3时，f3（x）=|f2（x）|=，即f2（x）=，f2（x）=，此时方程有24个解，依此类推，方程有2n+1个解故答案为：2n+1三、解答题：本大题有5小题，共10分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知函数f（x）=Asin（x+），xR（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为（）求f（x）的解析式；（）当，求f（x）的值域【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值
15、域【分析】（1）根据最低点M可求得A；由x轴上相邻的两个交点之间的距离可求得；进而把点M代入f（x）即可求得，把A，代入f（x）即可得到函数的解析式（2）根据x的范围进而可确定当的范围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值确定函数的值域【解答】解：（1）由最低点为得A=2由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即T=，由点在图象上的故又，（2），当=，即时，f（x）取得最大值2；当即时，f（x）取得最小值1，故f（x）的值域为1，217已知集合A=x|1，xR，B=x|x22xm0（）当m=3时，求；A（RB）；（）若AB=x|1x4，求实数m的值【考点】集合关系中的参数取值问题；交
16、集及其运算【分析】（1）通过解一元二次不等式求得集合B；（2）解分式不等式求得集合Q，根据AB=（1，4），A=（1，5）得4是方程x22xm=0的一个根，求得m=8，再验证是否满足条件【解答】解：（1）当m=3时，由x22x301x3，由11x5，AB=x|1x3；（2）若AB=x|1x4，A=（1，5），4是方程x22xm=0的一个根，m=8，此时B=（2，4），满足AB=（1，4）m=818在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个钝角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，（1）求tan（+）的值；（2）求+2的值【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三
17、角函数的定义【分析】（1）先求出A、B的纵坐标，利用任意角的三角函数的定义求出tan和 tan，再利用两角和的正切公式求得tan（+）的值（2）先求出 tan2，tan（+2）=1由（1）可得（，）、（，），可得+2（2，），从而求得 +2 的值【解答】解：（1）平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个钝角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，则A，B的横坐标分别为=， =tan=7，tan=，tan（+）=（2）由于tan2=，tan（+2）=1由（1）可得（，）、（，），故+2（2，），+2=19已知函数是奇函数（1）求实数m的值；（2）是否存在实数p，a
18、，当x（p，a2）时，函数f（x）的值域是（1，+）若存在，求出实数p，a；若不存在，说明理由；（3）令函数g（x）=ax2+6（x1）af（x）5，当x4，5时，求函数g（x）的最大值【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的最值及其几何意义【分析】（1）利用奇函数的定义，即可求实数m的值；（2）分类讨论，利用当x（p，a2）时，函数f（x）的值域是（1，+），可得结论；（3）g（x）=ax2+6x+1x4，5且a0，a1，分类讨论，求出函数g（x）的最大值【解答】解：（1）函数是奇函数f（x）+f（x）=0解得m=1又 m=1时，表达式无意义，所以m=1（2）由题设知：函数f（x）的定义域为（1
19、，+）（，1），当pa21时，有0a1此时f（x）为增函数，其值域为（与题设矛盾，无解）；当1pa2时，有a3此时f（x）为减函数，其值域为（1，+）知符合题意综上：存在这样的实数p，a满足条件，（3）g（x）=ax2+6（x1）af（x）5，g（x）=ax2+6x+1x4，5且a0，a1当时，函数g（x）在4，5上单调递减所以g（x）max=g（4）=16a+25当时，函数g（x）在4，5上单调递增 所以g（x）max=g（5）=25a+31当时，函数g（x）在上单调递增，在上单调递减所以15分综上，20已知函数g（x）=asinx+bcosx+c（1）当b=0时，求g（x）的值域；（2）当
20、a=1，c=0时，函数g（x）的图象关于对称，求函数y=bsinx+acosx的对称轴（3）若g（x）图象上有一个最低点，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，又知f（x）=3的所有正根从小到大依次为x1，x2，x3，xn，且xnxn1=3（n2），求f（x）的解析式【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】（1）当b=0时，函数g（x）=asinx+c，分a=0和a0两种情况，分别求出函数g（x）的值域（2）当a=1，c=0时，由 g（x）=sinx+bcosx，且图象关于x=对称，求出b的
21、值，可得函数 y=cos（x+），由 x+=k，kz，求出x的解析式，即可得到函数的对称轴方程（3）由g（x）图象上有一个最低点 （，1），求得g（x）=（c1）sin（x）+c再由函数图象的变换规律求得f（x）=（c1）sinx+c由题意可得，直线y=3要么过f（x）的最高点或最低点，或过f（x）的对称中心分别求出c的值，再检验得出结论【解答】解：（1）当b=0时，函数g（x）=asinx+c当a=0时，值域为：c当a0时，值域为：c|a|，c+|a|（2）当a=1，c=0时，g（x）=sinx+bcosx 且图象关于x=对称，|=，b=函数 y=bsinx+acosx 即：y=sinx+c
22、osx= cos（x+） 由 x+=k，kz，可得函数的对称轴为：x=k，kz（3）由g（x）=asinx+bcosx+c= sin（x+）+c，其中，sin=，cos=由g（x）图象上有一个最低点 （，1），所以，g（x）=（c1）sin（x）+c又图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，则f（x）=（c1）sinx+c又f（x）=3的所有正根从小到大依次为 x1、x2、x3xn、，且 xnxn1=3 （n2 ），所以y=f（x）与直线y=3的相邻交点间的距离相等，根据三角函数的图象与性质，直线y=3要么过f（x）的最高点或最低点，要么是y=，即：2c1=3或 1c+c=3（矛盾）或 =3，解得c=2 或 c=3当c=2时，函数的 f（x）=sin+2，T=6直线 y=3和 f（x）=sin+2相交，且 xnxn1=3 （n2 ），周期为3（矛盾）当c=3时，函数 f（x）=2sin+3，T=6 直线直线 y=3和 f（x）=2sin+3相交，且 xnxn1=3 （n2 ），周期为6（满足条件）综上：f（x）=2sin+22017年2月23日
