1、考案4综合学业质量标准自测(时间：120分钟满分：150分)第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1(2019全国卷理，1)已知集合A1,0,1,2，Bx|x21，则AB(A)A1,0,1B0,1C1,1D0,1,2解析因为Bx|x21x|1x1，又A1,0,1,2，所以AB1,0,1故选A2若Sn是等差数列an的前n项和，a2a104，则S11的值为(C)A12B18C22D44解析S1122.选C3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C30，c5，a8，则cosA等于(
2、B)ABCD解析由正弦定理得，sinA，又a8c5，A30，cosA，故选B4当x1时，不等式xa恒成立，则实数a的取值范围是(D)A(，2B2，)C3，)D(，3解析x1，x10.又xx11213(当且仅当x2时取“”)，要使xa恒成立，只需a3.故选D5已知pa(a2)，q()x22(xR)，则p、q的大小关系为(A)ApqBpqCp0，Sn为前n项和，则Sn中最大的是(B)AS21BS20CS11DS10解析设数列an的公差为d，因为3a85a13，所以2a139d0，即a1a400，所以a20a210，又a10，d0，a210，所以Sn中最大的是S20.11在ABC中，a，b，c分别是
3、角A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B60，ABC的面积为3，那么b等于(B)A2B2CD解析a，b，c成等差数列，2bac，平方得a2c24b22ac.又SABC3且B60.acsinBacsin60ac3.解得ac12，a2c24b224.由余弦定理得，cosB.解得b212.b2.12x , y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(D)A或1B2或C2或1D2或1解析本题考查线性规划问题如图，zyax的最大值的最优解不唯一，即直线与直线2xy20，xy20重合，a2或1.画出可行域，平移直线是线性规划问题的根本解法第卷(非选择题共90分)二、填空题(本
4、大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13在R上定义运算：abab2ab，则满足x(x2)0的实数x的取值范围为(2,1).解析由定义得x(x2)2xx20，即x2x20，2x1.即x(2,1)14(2017北京理，10)若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，则_1.解析设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，则由a4a13d，得d3，由b4b1q3得q38，q2.1.15如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的
5、高度CD100m.解析由题意可知，在ABC中，BAC30，ABC105，所以ACB45.故由正弦定理，得，即有，解得BC300.又由题意可知，在RtBCD中，BCD90，CBD30，所以由tan CBD可得，解得CD100.16设点P(x，y)在函数y42x的图像上运动，则9x3y的最小值为18.解析P(x，y)在y42x上运动，2xy4.9x3y32x3y22218.当且仅当2xy，即x1，y2时取等号当x1，y2时，9x3y取得最小值18.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知等差数列an满足a32，前3项和S3.(1)
6、求an的通项公式；(2)设等比数列bn满足b1a1，b4a15，求bn的前n项和Tn.解析(1)设an的公差为d，则由已知条件得a12d2,3a1d，化简得a12d2，a1d，解得a11，d，故通项公式an1，即an.(2)由(1)得b11，b4a158.设bn的公比为q，则q38，从而q2.故bn的前n项和Tn2n1.18(本小题满分12分)正项数列an满足：a(2n1)an2n0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，求数列bn的前n项和Tn.解析(1)由a(2n1)an2n0，得(an2n)(an1)0.由于an是正项数列，所以an2n.(2)an2n，bn，则bn()Tn(1)
7、(1).19(本小题满分12分)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知cosC(cosAsinA)cosB0.(1)求角B的大小；(2)若ac1，求b的取值范围解析(1)由已知得cos(AB)cosAcosBsinAcosB0，即有sinAsinBsinAcosB0.因为sinA0，所以sinBcosB0.又cosB0，所以tanB.又0B，所以B.(2)由余弦定理，有b2a2c22accosB因为ac1，cosB，有b23(a)2.又0a1，于是有b21，即有b1.20(本小题满分12分)已知正常数a、b和正实数x、y，满足ab10，1，xy的最小值为18，求a，b的值解析x
8、y(xy)1(xy)()abab2()2，当且仅当即时等号成立，xy的最小值为()218，又ab10，ab16.a，b是方程x210x160的两根，a2，b8或a8，b2.21(本小题满分12分)设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图像上(nN*)(1)若a12，点(a8,4b7)在函数f(x)的图像上，求数列an的前n项和Sn；(2)若a11，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线方程为y2a2(2a2ln2)(xa2)，此切线在x轴上的截距为2，求数列的前n项和Tn.解析(1)由已知，b72a7，b82a84b7，有2a842a72a72，解得da8a72，
9、所以Snna1d2nn(n1)n23n.(2)函数f(x)2x在(a2，b2)处的切线方程为y2a2(2a2ln2)(xa2)，它在x轴上的截距为a2.由题意，a22，解得a22.所以，da2a11.从而ann，bn2n.所以Tn，2Tn.因此，2TnTn12.所以，Tn.22(本小题满分12分)某工厂有旧墙一面，长14米，现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形、面积为126平方米的厂房，工程条件是：建1米新墙的费用为a元；修1米旧墙的费用为元；拆去1米旧墙，用所得的材料建1米新墙的费用为元，经讨论有两种方案：(1)利用旧墙的一段x米(x14)为矩形厂房一面的边长；(2)矩形厂房利用旧墙的一面
10、边长x14.问如何利用旧墙，即x为多少米时，建造费用最省？(1)、(2)两种方案哪个更好？解析以建造总费用为目标函数，通过函数求最小值来解本题设利用旧墙的一面矩形边长为x米，则矩形的另一面边长为米(1)利用旧墙的一段x米(x14)为矩形一面边长，则修旧墙费用为x元将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14x)元，其余建新墙的费用为(2x14)a元故总费用为yxa(2x14)aa7a(1)(0x14)7a(21)35a，当且仅当，即x12时，ymin35a元(2)若利用旧墙的一面矩形边长x14，则修旧墙的费用为14a元建新墙的费用为(2x14)a，故总费用为ya(2x14)aa2a(x7)(x14)设14x1x2，则(x1)(x2)(x1x2)(1)14x1x2，x1x2196.从而10，所以函数y在14，)上为增函数故当x14时，ymina2a(147)35.5a35a.综上所述，采用第(1)种方案，利用旧墙12米为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为35a元
