1、4.5 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 最新考纲 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)1两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos()cos cos sin sin (C()cos()_(C()sin()_(S()sin()_(S()cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos
2、sin【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)存在实数，使等式sin()sin sin 成立()(2)在锐角ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(3)公式 tan()tan tan 1tan tan 可以变形为 tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立()(4)存在实数，使 tan 2 2tan .()(5)设 sin 2 sin ，2，则 tan 2 3.()1(2015全国卷)sin 20cos 10cos 160sin 10()A 32 B.32C12D.12【答案】D
3、【解析】利用诱导公式将 cos 160化为cos 20，然后利用两角和的正弦公式求解 sin 20cos 10cos 160sin 10 sin 20cos 10cos 20sin 10 sin(2010)sin 3012，故选 D.2若sin cos sin cos 12，则 tan 2 等于()A34B.34C43D.43【答案】B【解析】由sin cos sin cos 12，等式左边分子、分母同除 cos 得，tan 1tan 112，解得 tan 3，则 tan 2 2tan 1tan234.3(2015四川)sin 15sin 75_【解析】首先利用诱导公式化简，再运用两角和与差的
4、三角公式进行求值 sin 15sin 75sin 15cos 15 222 sin 15 22 cos 15 2(sin 15cos 45cos 15sin 45)2sin 60 2 32 62.【答案】624 (2014 课 标 全 国)函 数 f(x)sin(x 2)2sincos(x)的最大值为_【解析】f(x)sin(x2)2sin cos(x)sin(x)2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin 2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin sin(x)sin x，f(x)的最大值为1.【答案】1题型一 三角函数公式的基本应用【例 1】(1)设 t
5、an ，tan 是方程 x23x20 的两根，则 tan()的值为()A3 B1C1D3(2)若 02，2 0，cos4 13，cos4 2 33，则 cos 2 等于()A.33 B 33C.5 39 D 69【解析】(1)由根与系数的关系可知 tan tan 3，tan tan 2.tan()tan tan 1tan tan 3123.故选 A.(2)cos2 cos4 4 2 cos4 cos4 2 sin4 sin4 2.【答案】(1)A(2)C02，则4 4 34，sin4 2 23.又2 0，则4 4 2 2，则 sin4 2 63.故 cos2 13 33 2 23 63 5 3
6、9.故选 C.【思维升华】三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系 跟踪训练 1(1)(2016山东师大附中高三月考)若 2，tan 4 17，则 sin 等于()A.35B.45C35D45(2)(2016三明模拟)计算：1cos 202sin 20 sin 101tan 5tan 5_【解析】(1)tan4 tan 11tan 17，tan 34sin cos，cos 43sin.又sin2cos21，sin2 925.又2，sin 35.(2)原式2cos2104sin 10cos 10sin 10cos25sin25sin 5cos
7、5 cos 102sin 10sin 20sin 10cos 102sin 202sin 10 cos 102sin（3010）2sin 10 cos 102sin 30cos 102cos 30sin 102sin 10 32.【答案】(1)A(2)32题型二 三角函数公式的灵活应用【例 2】(1)sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos(110 x)的值为()A.2B.22C.12D.32(2)化简：2cos4x2cos2x122tan4 x sin24x_(3)求值：cos 15sin 15cos 15sin 15_【解析】(1)原式sin(65x)cos(x20)cos(
8、65x)cos90(x20)sin(65x)cos(x20)cos(65x)sin(x20)sin(65x)(x20)sin 45 22.故选 B.(2)原式12（4cos4x4cos2x1）2sin4 xcos4 xcos24 x（2cos2x1）24sin4 x cos4 xcos22x2sin2 2x cos22x2cos 2x12cos 2x.(3)原式1tan 151tan 15 tan 45tan 151tan 45tan 15 tan(4515)3.【答案】(1)B(2)12cos 2x(3)3【思维升华】运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变
9、形，如tan tan tan()(1tan tan)和二倍角的余弦公式的多种变形等公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力 跟踪训练 2(1)化简：sin 2 2cos2sin 4_(2)在ABC 中，已知三个内角 A，B，C 成等差数列，则 tan A2tan C2 3tan A2tan C2的值为_【解析】(1)原式2sin cos 2cos2sin cos 4 cos sin 4 2cos（sin cos）22（sin cos）2 2cos.(2)因为三个内角 A，B，C 成等差数列，且 ABC，所以 AC23，AC23，tan AC2 3，所以 tan A2
10、tan C2 3tan A2tan C2 tanA2C2 1tan A2tan C2 3tan A2tan C2 31tan A2tan C2 3tan A2tan C2 3.【答案】(1)2 2cos (2)3题型三 三角函数公式运用中角的变换【例 3】(1)已知，均为锐角，且 sin 35，tan()13.则 sin()_，cos _(2)(2015重庆)若 tan 13，tan()12，则 tan ()A.17B.16C.57D.56【解析】(1)，0，2，从而2 2.又tan()130，2 0.sin()1010，cos()3 1010.为锐角，sin 35，cos 45.cos co
11、s()cos cos()sin sin()453 1010 35 1010 9 1050.(2)将所求角用已知角表示为()，运用两角差的正切公式求解 tan tan()tan（）tan 1tan（）tan 12131121317.【答案】(1)1010 950 10(2)A【思维升华】1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”2常见的配角技巧：2()()，()，22，22，22
12、2 等跟踪训练 3(1)设、都是锐角，且 cos 55，sin()35，则 cos 等于()A.2 525B.2 55C.2 525 或2 55D.55 或 525(2)已知 cos 6 sin 45 3，则 sin 76的值是_【解析】(1)依题意得 sin 1cos22 55，cos()1sin2（）45.又，均为锐角，所以 0cos()因为45 55 45，所以 cos()45.于是 cos cos()cos()cos sin()sin 45 55 352 55 2 525.(2)cos6 sin 45 3，32 cos 32sin 45 3，312cos 32 sin 45 3，3si
13、n6 45 3，sin6 45，sin76sin6 45.【答案】(1)A(2)45高频小考点 5高考中的三角函数求值、化简问题【典例】(1)若 tan 2 2 2，2 2，则2cos22 sin 12sin 4_(2)(2014课标全国)设 0，2，0，2，且 tan 1sin cos，则()A3 2B2 2C3 2D2 2(3)(2015江苏)已知 tan 2，tan()17，则 tan 的值为_(4)(2015广东)已知 tan 2.求 tan 4 的值；求sin 2sin2 sin cos cos 2 1的值【思维点拨】(1)注意和差公式的逆用及变形(2)“切化弦”，利用和差公式、诱导
14、公式找，的关系(3)将化为()，利用两角差的正切公式求解(4)利用两角和的正切公式求解 将正余弦转化为正切后求值【解析】(1)原式cos sin sin cos 1tan 1tan，又 tan 2 2tan 1tan22 2，即 2tan2tan 20，解得 tan 12或 tan 2.22，2.tan 12，故原式1 121 1232 2.(2)由 tan 1sin cos 得sin cos 1sin cos ，即 sin cos cos cos sin，sin()cos sin2 .0，2，0，2，2，2，2 0，2，由 sin()sin2 ，得 2，22.(3)tan tan()tan（
15、）tan 1tan（）tan 17（2）117（2）3.(4)tan4 tan tan 41tan tan 4 211213.sin 2sin2sin cos cos 21 2sin cos sin2sin cos 2cos2 2tan tan2tan 2 224221.【答案】(1)32 2(2)B(3)3(4)3 1【温馨提醒】(1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式(2)三角求值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧 方法与技巧1巧用公式变形：和差角公式变形：tan xtan ytan(xy)(1tan xtan y)；倍角公式变形：降幂公式 cos2 1cos 22，
16、sin2 1cos 22，配方变形：1sin sin 2 cos 22，1cos 2cos22，1cos 2sin22.2重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形 失误与防范1运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通2在(0，)范围内，sin()22 所对应的角 不是唯一的3在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值